2022年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題 理

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1、2022年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題 理 一、 選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分） 1．已知集合，則 (A) (B) (C) (D) 2．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為 (A) (B) (C) (D) 3．在等差數(shù)列中，已知?jiǎng)t此數(shù)列的公差為 (A) (B)3 (C) (D) 4. 如果雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的一條漸近線(xiàn)方程為，那么該雙曲線(xiàn)的方程是 (A) (B) (C

2、) (D) 5．利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間 (0,1)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，則不等式成立的概率是 (A) (B) (C) (D) 6．設(shè)是兩個(gè)非零向量,則“”是“”的 (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分又不必要條件 7．已知奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且， 則的值為 (A) (B) (C) (D) 8．函數(shù)的最大值和最小正周期分別為 (A) (B

3、) (C) (D) 9．某人以15萬(wàn)元買(mǎi)了一輛汽車(chē)，此汽車(chē)將以每年20%的速度 折舊，圖1是描述汽車(chē)價(jià)值變化的算法流程圖，則當(dāng)時(shí)， 最后輸出的S為 (A) (B) (C) (D) 10．如圖2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是一正方體被截去一部分后所得幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 (A) 54 (B)162 (C) (D) 11．7人站成兩排隊(duì)列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為（ ） （

4、A）120 （B）240 （C）360 （D）480 12．已知函數(shù)，，若方程在有三個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分） 13. 已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 ． 14.在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是 ． 15．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的一個(gè)面A1B1C1 D1在半徑為的半球底面上，A、B、C、D四個(gè)頂點(diǎn)都在此半球面上，則正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為

5、 ． 16．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ． 三、 解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．） 17．（本小題滿(mǎn)分12分） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和． 18．（本小題滿(mǎn)分12分） 某中學(xué)隨機(jī)抽取50名高一學(xué)生調(diào)查其每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖2.5），其中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為 . （Ⅰ）求直方圖中的值； （Ⅱ）定義運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生稱(chēng)為“熱愛(ài)運(yùn)動(dòng)”，

6、若該校有高一學(xué)生1200人，請(qǐng)估計(jì)有多少學(xué)生“熱愛(ài)運(yùn)動(dòng)”； （Ⅲ）設(shè)表示在抽取的50人中某兩位同學(xué)每天運(yùn)動(dòng)的 時(shí)間，且已知，求事件“”的概率. 19．（本小題滿(mǎn)分12分） 圖2.5 如圖3，在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的 等邊三角形，D為AB中點(diǎn)． （I）求證：BC1∥平面A1CD； (II) 若四邊形BCC1B1是正方形，且求直線(xiàn)A1D與 平面CBB1C1所成角的正弦值． 20．（本小題滿(mǎn)分12分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)

7、在x軸上，且短軸的長(zhǎng)為2，離心率等于． （I）求橢圓C的方程； （II）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，，求證：為定值． 21．（本小題滿(mǎn)分12分） 已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為． （I）求、的值； （II）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 請(qǐng)考生在第（22），（23），（24）題中任選一題做答．注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分。做答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑． 22．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—1：幾何證明選講 如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的

8、切線(xiàn)EP 交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，已知． （I）若BC是⊙O的直徑，求的大小； (II）若，求證：． 23．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是． （I）寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)系方程； （II）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，求的值． 24．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-5不等式選講 已知函數(shù). （I）解不等式； （II）若,求證： 數(shù)學(xué)試卷（理科）（

9、本試卷滿(mǎn)分150分） 二、 選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分） 1—4 D D A B 5—8 A C C B 9—12 C D C D 三、 填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分） 13. 9； 14. 20； 15.； 16. 三、解答題： 17、【解】 （Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ………………………………………（2分） 由，得， ∴ ∴ ………………………（6分） （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，∴ ………………………………（7分） 當(dāng)時(shí)，

10、 ……………………………（8分） +…+… +…+… ……………………………………………………（11分） 上式對(duì)于也成立，所以． ………………（12分） 18.解： （1）由得；-------------------2分 （Ⅱ）運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為，-------------3分 不少于1小時(shí)的頻數(shù)為1200，所以該校估計(jì)“熱愛(ài)運(yùn)動(dòng)”的學(xué)生有120人；--5分 （Ⅲ）由直方圖知，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，設(shè)為；--6分 成績(jī)?cè)?的人數(shù)為人，設(shè)為.-------------------7分 若時(shí)，有三種情況； 若時(shí)，只有一種情況；----------------

11、------------------8分 若分別在內(nèi)時(shí)，則有共有6種情況.所以基本事件總數(shù)為10種，---------------------------------------------------10分 事件“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有6種. ∴P（）=-------------------------------------------12分 19.解 （I)證法1：連結(jié)AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)E，連接DE， 則E為AC1中點(diǎn)，-------------------------------2分 ∵D為AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC1，------------------4

12、分 ∵BC1平面A1CD，DE平面A1CD，-------------5分 ∴BC1∥平面A1CD. ------------------------------6分 【證法2：取中點(diǎn)，連結(jié)和，------1分 ∵平行且等于 ∴四邊形為平行四邊形 ∴ ---------------------------------------------------2分 ∵平面，平面 ∴平面,------------------------------3分 同理可得平面------------------------4分 ∵ ∴平面平面 又∵平面 ∴BC1∥平面A1CD. --

13、------------------------6分】 (II) --------------------------7分 又 ， 又 面----------------------------------8分 法一：設(shè)BC的中點(diǎn)為O，的中點(diǎn)為，以O(shè)為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.----------------9分 則，. ∴--------------------10分 平面的一個(gè)法向量 所以直線(xiàn)A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值為-----------------------12分 【法二：取的中點(diǎn)，連

14、結(jié)，則-----------------------7分 ∵面，故, ,面------9分 延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，連結(jié)， 則為直線(xiàn)與平面所成的角. --------------------------10分 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，又 即直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.---------------------12分】 【法三：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則-----------------------7分 ∵面，故, ,平面-------------------------------9分 取中點(diǎn)M，連結(jié)BM，過(guò)點(diǎn)M作，則平面， 連結(jié)BN，∵, ∴為直線(xiàn)與平面所成的角，---10分 ∵,

15、 即直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.---------------------12分】 20.解： （I）設(shè)橢圓C的方程為， 由題意知----------------------------------------2分 解得，--------------------------------------------------4分 ∴橢圓C的方程為 ---------------------------------------5分 （II）證法1：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， 易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. ------------------------------------

16、----------6分 顯然直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，則直線(xiàn)l的方程是，------7分 將直線(xiàn)的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得 ----------------------------------------9分 --------------------------------10分 又 -------12分 【證法二：設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為 易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. ---------------------------------------------6分 ∴------------7分 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得去分母整理得

17、 ---------------------------------------------9分 同理，由可得------------------------10分 0 5 5 10 2 0 2 = - + + y l l 即 是方程 的兩個(gè)根，-------------12分】 21．解： （I）∵且直線(xiàn)的斜率為0，又過(guò)點(diǎn)， ∴------------------------------------------------------2分 即解得------------------------------

18、---------3分 （II）當(dāng)時(shí)，不等式 ----------5分 令，-----------7分 令， ①當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增且，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，即恒成立．----------9分 ②當(dāng)即時(shí)，在上上單調(diào)遞減，且，故當(dāng)時(shí)，即 所以函數(shù)在單調(diào)遞減，-----------------------------------10分 當(dāng)時(shí)，與題設(shè)矛盾, 綜上可得的取值范圍為----------------------------------------12分 22.解： （I）EP與⊙O相切于點(diǎn)A，，----------------------1分 又BC是⊙O的直徑，-

19、-----------------------------------3分 四邊形ABCD內(nèi)接一于⊙O， --------------------------------------------------------5分 （II） ------------------------------------------------------7分 -----------------------------------------------------------8分 又-------------------------------------------10分 23.解： （I

20、）直線(xiàn)的普通方程為，---------------------------2分 曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)系方程為-----------------------------------4分 （II）⊙C的圓心（0，0）到直線(xiàn)的距離 ---------------------------------------------------6分 ∴ ----------------------------------------------8分 ∵ 故．------------------------------------10分 24.解： （I）由題意，得， 因此只須解不等式 ------

21、-------------------------------1分 當(dāng)x≤1時(shí)，原不式等價(jià)于-2x+3≤2，即；-----------------------------2分 當(dāng)時(shí)，原不式等價(jià)于1≤2，即；---------------------------3分 當(dāng)x>2時(shí)，原不式等價(jià)于2x-3≤2，即.-----------------------------4分 綜上,原不等式的解集為. ----------------------------------5 分 （II）由題意得----------------------------6分 =-------------------------------------8分 ------------------------------------------------------9分 所以成立．----------------------------------------10分