2022年高中數(shù)學(xué) 模塊綜合檢測卷 新人教A版選修4-5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 模塊綜合檢測卷 新人教A版選修4-5 一、選擇題(每小題5分，共60分) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n>n3(n≥3，n∈N)第一步應(yīng)驗證(　　)　　 　　　　　 　　　 　　　 A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 答案: C 2．不等式|3x－2|<4的解集是(　　) A. B. C. D. 答案: D 3．已知a，b，c，d∈R，且ab＞0，－＜－，則下列各式恒成立的是(　　) A．bc＜ad B．bc＞ad C.＞ D.＜ 答案: B 4．若a，b，x，y∈R，則是成立的(　　) A．充分而不必要條件

2、B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案: C 5．給出三個條件：①ac2＞bc2；②＞；③a2＞b2.其中能分別成為a＞b的充分條件的個數(shù)為(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 答案: B 6．若a＞0，使不等式|x－4|＋|x－3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值范圍是(　　) A．0＜a＜1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞1 答案: D 7．設(shè)x>0，y>0且x＋y≤4，則下列不等式中恒成立的是(　　) A.≤ B.＋≥1 C.≥2 D.≥ 答案: D 8．若k棱柱有f(k)個對角面，則

3、k＋1棱柱有對角面的個數(shù)為(　　) A．2f(k) B．k－1＋f(k) C．f(k)＋k D．f(k)＋2 答案: B 9．已知f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立 B．若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)＜k2成立 C．若f(7)≥49成立，則當(dāng)k＜7時，均有f(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4時，均有f(k)≥k2成立 解析：∵f(k)≥k2成立時f(k＋1)

4、≥(k＋1)2成立．當(dāng)k＝4時，f(4)＝25>16＝42成立，∴當(dāng)k≥4時，有f(k)≥k2恒成立． 答案：D 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明對一切大于1的自然數(shù)n，不等式·…·>成立，當(dāng)n＝2時驗證的不等式是(　　) A．1＋> B.> C.≥ D．以上都不對 解析：當(dāng)n＝2時，左邊＝1＋＝1＋，右邊＝＝，∴應(yīng)驗證1＋>. 答案：A 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于任意x>0時的正整數(shù)n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”時，需驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為(　　) A．n0＝1 B．n0＝2 C．n0＝1，2 D．以上答案均不正確 解析：∵n∈N＋，

5、∴n的最小值為1，即n0＝1. 答案：A 12．記滿足下列條件的函數(shù)f(x)的集合為M，當(dāng)|x1|≤1，|x2|≤1時，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1(|x|≤1)，則g(x)與M的關(guān)系是(　　) A．g(x)M B．g(x)∈M C．g(x)?M D．不能確定 解析：因為g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M. 答案：B 二、填空題(每小題5分，共

6、20分) 13．函數(shù)y＝3x＋(x>0)的最小值為________． 答案：3 14．x，y∈R，若x＋y＝1，則x2＋y2的最小值為________． 答案： 15．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an＝4×2n－1－2的第二步中，設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即ak＝4×2k－1－2，那么當(dāng)n＝k＋1時，______________________________________． 答案：ak＋1＝2ak＋2＝2(4×2k－1－2)＋2＝4×2k－2＝4×2(k＋1)－1－2 16．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的

7、取值范圍為________． 答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞) 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(本小題滿分11分)已知a、b、c∈R＋，求證：＋＋≥3. 證明：∵a、b、c∈R＋，＋＋＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋－3≥3＋3－ 3＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立． 18．(本小題滿分11分)已知關(guān)于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時，求此不等式的解集； (2)若不等式的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝1時，得2|x－1|≥1. ∴x≥或x≤. ∴不等式的解集為∪. (2)∵原不等式的解

8、集為R， ∴|ax－1|＋|ax－a|≥1對一切實數(shù)x恒成立． 又∵|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|， ∴|a－1|≥1， ∴a≥2或a≤0. ∵a>0， ∴a的取值范圍為[2，＋∞)． 19．(本小題滿分12分)設(shè)x>0，y>0，證明：(x2＋y2)>(x3＋y3). 證明：證法一(分析法)　所證不等式等價于(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)>x6＋y6＋2x3y3， 即3x2y2(x2＋y2)>2x3y3， 只需證：x2＋y2>xy， ∵x2＋y2≥2xy>xy成立， ∴(x2＋y2)>(x3＋y3)， 證法二(綜

9、合法)　∵(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3>x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2， ∵x>0，y>0，∴(x2＋y2)>(x3＋y3). 20．(本小題滿分12分)已知a＞b＞c＞0，方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，若該方程有實根，求證：a，b，c不能成為一個三角形的三邊長． 證明：∵方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0有實根， ∴Δ＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca) ＝a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca) ＝(a－b)2－2(a＋b)c＋c2 ＝[(＋)2－c]·[(－)2－c]

10、?。?＋＋)(＋－)(－＋)(－－)≥0. 若a，b，c為一個三角形的三邊長，由＋＋＞0， ＋－＞0，－＋＞0得－－≥0， 即＋≤，即b＋c＜a.這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾． ∴a，b，c不能成為一個三角形的三邊長． 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝(x≠－1)，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)，數(shù)列{bn}滿足bn＝|an－|，Sn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)． (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：bn≤； (2)求證：Sn＜. 證明：(1)當(dāng)x≥0時，f(x)＝1＋≥1， 因為a1＝1，所以an≥1(n∈N*)， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等

11、式bn≤： ①當(dāng)n＝1時，b1＝－1，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，不等式成立，即 bk≤， 那么n＝k＋1時， bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤ . 所以，當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立． 由①②可知不等式對任意n∈N*都成立．(2)由(1)知bn≤， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤ (－1)＋＋…＋＝(－1)×＜(－1)×＝. 故對任意n∈N*，Sn＜. 22．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145(n∈N*)． (1)求數(shù)列{bn}的通項； (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項an＝lo

12、ga(其中a>0且a≠1)，設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn＋1的大小，并證明你的結(jié)論． 解析：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由題意，得10×1＋×d＝145，∴d＝3，bn＝3n－2. (2)由bn＝3n－2，知 Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga(1＋)?。絣oga， logabn＋1＝loga， 因此要比較Sn與logabn＋1的大小，可先比較(1＋1)·…與的大小， 取n＝1，有(1＋1)>， 猜想取n≥1，n∈N*， 有(1＋1)…(1＋)>， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之： ①當(dāng)n＝1時，已驗證不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時不等式成立， 即(1＋1)…>， 則當(dāng)n＝k＋1時， (1＋1)…> ＝·(3k＋2)， ∵－()3＝ ＝>0. ∴·(3k＋2)>＝， 因此(1＋1)(1＋)…(1＋)[1＋]>. 這說明，當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立． 由①②知，對一切n∈N*，不等式(1＋1)(1＋)…>都成立． 再由對數(shù)性質(zhì)，可得： 當(dāng)a>1時，Sn>logabn＋1； 當(dāng)0