2022年高三數學上學期第三次模擬考試試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數學上學期第三次模擬考試試題 文（含解析）新人教A版 辨性、靈活性,基礎性充分體現了考素質,考基礎,考方法,考潛能的檢測功能. 一、 選擇題：（共60分，每小題5分） 【題文】1.已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1＜x≤1｝,則A∩B= A｛0｝ B｛-1，,0｝ C {0，1} D｛1} 【知識點】集合運算. A1 【答案解析】C 解析：因為集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1＜x≤1｝，所以A∩B={0，1}， 故選C. 【思路點撥】由交集的意義求結果. 【題文】2. 對于非零向量a，b，“a

2、∥b”是“a＋b＝0”的 (　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識點】充分條件；必要條件. A2 【答案解析】B 解析：因為：若“a∥b”則“a＋b＝0”是假命題；若“a＋b＝0”則 “a∥b”是真命題.所以“a∥b”是“a＋b＝0”的必要不充分條件.故選B. 【思路點撥】根據原命題、逆命題的真假判定充分性與必要性. 【題文】3．已知正項等比數列{}中 ,則 (　　) A．5　　　　　　　B．6 C．7 D.8 【知識點】等比數列. D3 【答

3、案解析】C 解析：因為正項等比數列{}中 ，所以， 所以，所求= = ，故選C. 【思路點撥】利用等比數列的性質及對數的運算性質求解. 【題文】4．下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x 【知識點】函數的奇偶性與單調性. B3 B4 【答案解析】A 解析：由偶函數排除選項C,D，由單調性排除選項B，故選A. 【思路點撥】根據函數奇偶性、單調性的意義確定結論. 【題文】5．已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2

4、，則扇形的圓心角的弧度數是(　　) A．1或4 B．1 C．4 D．8 【知識點】扇形面積公式；弧度的意義. C1 【答案解析】A 解析：設扇形弧長,半徑r，則，所以 扇形的圓心角的弧度數==4或1.故選A. 【思路點撥】根據題意得關于弧長與半徑的方程組，確定弧長和半徑，再利用弧長與半徑的比為弧度數得結論. 【題文】6．對于任意的直線l與平面α，在平面α內必有直線m，使m與l(　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．互為異面直線 【知識點】空間直線位置關系情況分析. G3

5、 【答案解析】C 解析：當直線l與平面α相交時A不成立；當直線l與平面α平行時B不成立；當直線l在平面α內時D不成立.故選D. 【思路點撥】采用排除法確定結論. 【題文】7. 某幾何體的三視圖如右圖所示，則其體積為 (　　) A． B. C． D． 【知識點】幾何體的三視圖. G2 【答案解析】B 解析：由三視圖可知此幾何體是底面半徑1，高2的半圓錐，所以其體積為，故選B. 【思路點撥】由幾何體的三視圖，分析此幾何體的結構，從而求得此幾何體的體積. 【題文】8

6、．若sin＝，則cos＝(　　)． A. B. C. D. 【知識點】誘導公式. C2 【答案解析】D 解析：因為sin＝，所以cos＝sin ，故選D. 【思路點撥】利用誘導公式求解. 【題文】9．設a＞0，b＞0.若4a＋b＝ab，則a＋b的最小值是 (　　)． A. 1 B.5 C. 7 D. 9 【知識點】基本不等式求最值. E6 【答案解析】D 解析：由4a＋b＝

7、ab得，又a＞0，b＞0，所以a>1，所以 a+b= ,當且僅當a=3時等號成立. 故選D. 【思路點撥】將已知等式化為用b表示a，并求得a范圍，代入a+b得，a+b=，再用基本不等式求解. 【題文】10．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是(　　) A． B. C． D． 【知識點】簡單的線性規(guī)劃. E5 【答案解析】C 解析：畫出圖形如下，可得a的取值范圍是. 【思路點撥】畫出描述性圖形，易得a范圍. 【題文】12題 11．設函數f(x)在R上可導，其導函數是f′(x)，且

8、函數f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數 y＝xf′(x)的圖像可能是(　　) 【知識點】函數的極值點與該點兩邊導函數值的符號的關系. B12 【答案解析】C 解析：因為函數f(x)在x＝－2處取得極小值，所以時， 時，所以時>0，時 <0, 時>0，故選C. 【思路點撥】由已知分析的取值符號，進一步分析的取值符號. 【題文】12. 已知是定義在R上且周期為3的函數，當x∈[0，3)時， .若函數y＝－a在區(qū)間[－3，4]上有10個零點(互不相同)，則實數a的取值范圍是（ ） A． B. C．

9、 D． 【知識點】函數的零點. B9 【答案解析】A 解析：畫出函數在[－3，4]上 的圖像，分析它與直線y=a有10個不同交點的條件為.故選 A. 【思路點撥】畫出圖像分析結果. 二、 填空題：（共20分，每個小題5分） 【題文】13. 已知函數f(x)＝則f的值是_________． 【知識點】分段函數的函數值. B1 【答案解析】 解析：因為，所以 【思路點撥】先求，再求f的值. 【題文】14. 函數(A，ω，φ為常數，A＞0，ω＞0)的部分圖像如右圖所示，則 ________． 【知識點】由所給圖像求函數的解析式. C4 【答案解析】 解析

10、：， A= ,由， 取，則，所以. 【思路點撥】由所給圖像求得A，，得，所以. 【題文】15. 設數列{an}的通項公式為an＝2n－11(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝______． 【知識點】等差數列前n項絕對值的和. D4 【答案解析】 解析：由得 數列{an}的前5項是負數，第6項以后都是正數，所以 【思路點撥】先求出此等差數列的正負轉換項，進而得結論. 【題文】16. 已知P,A,B,C,D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為的正方形，若PA=,則三棱錐B-AOP的體積________. 【知識點】幾何體的結構；錐體體

11、積. G1 【答案解析】 解析:如圖，易知O為線段PC中點，O到平面PAB的距離為， 所以. 【思路點撥】利用等體積轉化法求解. 三、解答題： 【題文】17 （本題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量m＝（2 b - c, a)，n＝(cosA，-cosC) 且 m⊥n (1)求角A的大??； (2)若a＝，S△ABC＝，試判斷△ABC的形狀，并說明理由． 【知識點】正弦定理；余弦定理的應用. C8 【答案解析】(1) ；（2）等邊三角形，理由：見解析. 解析：(1) 向量m＝（2 b - c, a），n＝(cosA，

12、-cosC) 且 m⊥n , ，由正弦定理得： , , ， . （本小題還可以用余弦定理求解） （2）△ABC為等邊三角形. 即① , ② 由①②得，△ABC為等邊三角形. 【思路點撥】（1）由已知得，再把正弦定理或余弦定理代入此等式求得∠A；（2）由面積公式得bc=3，由余弦定理得，解得，又∠A =,所以△ABC為等邊三角形. 【題文】18.（本題滿分12分） 已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2. (1)求數列{an}的通項公式； (2)記Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an，求Sn. 【知識點】已知遞推公式求通項；數列前n項和求法.

13、 D1 D4 【答案解析】(1) 2n；（2）(2n－3)·2n＋1＋6. 解析：(1)∵Sn＝2an－2， ∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)， 即an＝2an－2an－1，∵an≠0，∴＝2(n≥2，n∈N*)． ∵a1＝S1，∴a1＝2a1－2，即a1＝2. 數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列． ∴an＝2n. (2)Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n， ① ∴2Sn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1， ② ①－②得－Sn＝1×2＋(2

14、×22＋2×23＋…＋2×2n)－(2n－1)2n＋1， 即－Sn＝1×2＋(23＋24＋…＋2n＋1)－(2n－1)2n＋1 ∴Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6. 【思路點撥】(1) 利用公式變形已知遞推公式，從而求得數列的通項公式；（2）由（1）求得，則Sn是一個等差數列通項，與一個等比數列通項的積，構成的新數列的前n項和，所以用錯位相減法求Sn. 【題文】19.（本題滿分12分） 如圖，在正三棱柱中，點D在邊BC上，AD⊥C1D. (1)求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； (2)設E是B1C1上的一點，當的值為多少時，A1E∥平面ADC1？ 請給出證明． 【知識點】面

15、面垂直的判定；線面平行的條件. G4 G5 【答案解析】(1)證明：見解析；（2）當的值為1時，A1E∥平面ADC1， 證明：見解析. 解析：（1）證明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC , ADC, 又AD,,平面,平面, 平面. 又平面, 平面平面. (2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中點， 當,即E為得中點時，平面. 證明如下：（如圖）四邊形是矩形，且D,E分別是BC, 的中點，所以 又,, 四邊形為平行四邊形， 而平面,平面, 故平面. 【思路點撥】（1）根據面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1 找到直線與平面

16、BCC1B1垂直即可，此直線為AD；（2）由（1）得D是線段BC的中點，所以E為得中點時，有 ，進而得A1E∥平面ADC1. 【題文】20.（本題滿分12分） 函數f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的圖象過點(16,3)和(1，－1)． (1)求函數f(x)的解析式； (2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值時x的值． 【知識點】待定系數法求函數解析式；基本不等式法求最值. B1 E6 【答案解析】(1) f(x)＝－1＋log2x；（2）當x＝2時，函數g(x)取得最小值1. 解析：　(1)由得 解得m＝－1，a＝2， 故

17、函數解析式為f(x)＝－1＋log2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]＝log2－1(x＞1)． ∵＝＝(x－1)＋＋2≥2 ＋2＝4. 當且僅當x－1＝，即x＝2時，等號成立． 而函數y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞增， 則log2 －1≥log24－1＝1， 故當x＝2時，函數g(x)取得最小值1. 【思路點撥】(1)把已知兩點的坐標，代入函數解析式，得關于a,m的方程組，解得a,m值即可；（2）由（1）得函數，因為 =（x－1)＋＋2 ≥2 ＋2＝4，所以，當且僅當x=2時等號成立. 【題文】21

18、. （本題滿分12分） 已知函數f(x)＝ax2－ex(a∈R，e為自然對數的底數)，f′(x)是f(x)的導函數． (1)解關于x的不等式：f(x)>f′(x)； (2)若f(x)有兩個極值點x1，x2，求實數a的取值范圍． 【知識點】導數運算；導數應用. B11 B12 【答案解析】(1) 當a＝0時，無解； 當a>0時，解集為{x|x<0或x>2}；當a<0時，解集為{x|0 . 解析：(1)f′(x)＝2ax－ex，f(x)－f′(x)＝ax(x－2)>0. 當a＝0時，無解； 當a>0時，解集為{x|x<0或x>2}； 當a<0時，

19、解集為{x|00時，由g′(x)＝0，得x＝ln 2a， 當x∈(－∞，ln 2a)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增， 當x∈(ln 2a，＋∞)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減． ∴當g(x)max>0時，方程g(x)＝0才有兩個根，∴g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>. 【思路點撥】(1)求得函數的導函數后，代入不等式f(x

20、)>f′(x)，整理得ax(x－2)>0. 再由a的取值條件得不等式的解；（2）若f(x)有兩個極值點x1，x2，則有兩個不等實根x1，x2，然后利用導數確定此方程有兩個不等實根的條件. 四、選做題（從22～24題中任選一題，在答題卡相應的位置涂上標志，多涂、少涂以22題計分） 【題文】22、選修4-1：幾何證明選講 如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F. (1)求證：AB為圓的直徑； (2)若AC＝BD，求證：AB＝ED. 【知識點】直徑所對圓周角是直角；全等三角形的判定與性質. N

21、1 【答案解析】 解析：(1)證明：因為PD=PG,所以. 由于PD為切線，故. 又由于,故, 所以,從而 因為,所以, 所以,故AB為圓的直徑. (2)連接BC、DC. 由于AB是直徑，故 在與中，AB=BA, AC=BD,所以≌， 所以. 又因為,所以, 故. 因為,所以,為直角. 所以ED為直徑. 又由（1）知AB為圓的直徑，所以ED=AB. 【思路點撥】(1)證明∠BDA是直角，或者用垂徑定理證明結論；（2）利用證明三角形全等證明結論. 【題文】23．選修4－4：坐標系與參數方程 已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數)． (1)寫出曲線C

22、的參數方程、直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 【知識點】參數方程與普通方程的互化；點到直線的距離；三角函數式的最值. N3 【答案解析】（1）見解析；（2）最大值為，最小值為. 解析：(1)曲線C的參數方程為(θ為參數)， 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到直線l的距離d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tan α＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，

23、最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值， 最小值為. 【思路點撥】（1）由橢圓參數方程公式寫出橢圓參數方程，把直線參數方程中的參數消去得其普通方程；（2）設出)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)，利用點到直線的距離公式，Rt三角形的邊角關系得|PA|關于的三角函數式，再用三角函數的最值求結論. 【題文】24、選修4-5：不等式選講 設函數f(x)＝＋|x－a|(a＞0)． (1)證明：f(x)≥2； (2)若f(3)＜5，求a的取值范圍． 【知識點】絕對值不等式的性質；基本不等式；絕對值不等式的解法. N4 【答案解析】（1）證明：見解析；（2）. 解析：(1)證明：因為a>0， 所以， 所以. (2) 。 當a>3時，，由f(3)<5得， 當時，，由f(3)<5得， 綜上，a的取值范圍是. 【思路點撥】（1）利用絕對值不等式的性質及均值不等式證明結論；（2）對a分類討論去掉絕對值，求得a范圍.