2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第三講 平面向量 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第三講 平面向量 理 1．向量的加法運(yùn)算符合平行四邊形法則和三角形法則；向量的減法運(yùn)算符合三角形法則． 1．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共線向量e1，e2叫做基底． 2．平面向量數(shù)量積的定義． 已知兩非零向量a，b，則a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)為_|a||b|cos_θ，記作a·b＝ |a||b|cos_θ，其中θ＝〈a，b〉，|b|cos_θ叫做向量b在向量a方向上的投影． 3．

2、兩非零向量平行、垂直的充要條件． 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?a＝λb(λ≠0)?x1y2－x2y1＝0． (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0． 4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝ . 　判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)． (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(×) (2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)．(√) (3)已知兩向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝2.(×) (4)△ABC中，D是BC中

3、點(diǎn)，則＝(＋)．(√) (5)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(×) (6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(√) 1．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋＝2，則(B) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 解析：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B. 2．(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝(A) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由已知得，a2＋2a·b＋b2＝10，a2－2a·b＋b2＝6，兩式相減得，4a·b＝4，故a·b＝1. 3．(

4、xx·北京卷)設(shè)a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(A) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：因?yàn)閍·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以當(dāng)a·b＝|a||b|時(shí)，有cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0°，此時(shí)a，b同向，所以a∥b.反過來，當(dāng)a∥b時(shí)，若a，b反向，則〈a，b〉＝180°，a·b＝－|a||b|；若a，b同向，則〈a，b〉＝0°，a·b＝|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要條件． 4．(xx·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四

5、邊形，＝(1，－2)，＝(2，1)，則·＝(D) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：試題分析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)所以·＝2×3＋1×(－1)＝5，故選D. 一、選擇題 1．已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是(B) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b 解析：解法一　 由|a＋b|＝|a－b|，平方可得a·b＝0, 所以a⊥b.故選B. 解法二　根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a＋b|與|a－b|分別為以向量a，b為鄰邊的平

6、行四邊形的兩條對(duì)角線的長，因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以該平行四邊形為矩形，所以a⊥b.故選B. 2. (xx·北京卷)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a－b＝(A) A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9) 解析：因?yàn)?a＝(4，8)，所以2a－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．故選A. 3．設(shè)向量a、b滿足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a－b)＝0，則a與b的夾角是(B) A．30° B．60° C．90° D．120° 4．(xx·福建卷)設(shè)a＝(1，2)，b

7、＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，則實(shí)數(shù)k的值等于(A) A．－ B．－ C. D. 解析：c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－. 5．已知：＝(－3，1)，＝(0，5)，且∥，⊥，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(B) A. B. C. D. 解析：設(shè)點(diǎn)C(x，y)， ＝－＝(x＋3，y－1)， ∵∥，∴x＋3＝0.∴x＝－3. 又＝－＝(x，y－5)，＝(3，4)， 又∵⊥， ∴3x＋4(y－5)＝0. ∴y＝.∴C. 6．(xx·福建卷)已知⊥，||＝，

8、||＝t，若P點(diǎn)是ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＝＋，·的最大值等于(A) A．13 B．15 C．19 D．21 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則B，C，＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P(1，4)，所以＝，＝(－1，t－4)，因此·＝1－－4t＋16＝17－，因?yàn)椋?t≥2＝4, 所以·的最大值等于13，當(dāng)＝4t，即t＝時(shí)取等號(hào)． 二、填空題 7．(xx·北京卷)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝；y＝－． 解析：∵ ＝2，∴ ＝. ∵ ＝，∴ ＝(＋)， ∴ ＝－＝(＋)－＝－. 又＝x＋y，∴ x＝，y＝

9、－. 8．如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，則x＝________，y＝________． 解析：如圖，作DF⊥AB交AB延長線于D，設(shè)AB＝AC＝1?BC＝DE＝， ∵∠DEB＝60°，∴BD＝.由∠DBF＝45°， 得DF＝BF＝×＝，故x＝1＋，y＝. 答案：1＋　 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點(diǎn)A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－2)． 解析：平行四邊形ABCD中，＝＝－＝－?＋＝＋， ∴＝＋－＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)，即點(diǎn)D坐標(biāo)為(

10、0，－2)． 三、解答題 10．已知向量＝(cos x，sin x), ＝，定義函數(shù)f(x)＝·. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當(dāng)⊥時(shí)，求銳角x的值． 解析：(1)f(x)＝－sin xcos x＋sin 2x ＝－ ＝－sin， ∴2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)當(dāng)⊥時(shí)，f(x)＝0， 即－sin＝0, sin＝， 又<2x＋＜，故2x＋＝，故x＝. 11．已知向量a＝(sin θ，－2)與b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈. (1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cos φ的值． 解析：(1)∵a與b互相垂直，則a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin2 θ＋cos2 θ＝1得sin θ＝±，cos θ＝±， 又θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝. (2)∵0＜φ＜，0＜θ＜，∴－＜θ－φ＜. ∴cos(θ－φ)＝＝. ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝×＋×＝.