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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 直線方程的概念與直線的斜率教案 理教材分析這節(jié)內(nèi)容從一個(gè)具體的一次函數(shù)及其圖像入手，引入直線方程和方程的直線的概念從研究直線方程的需要出發(fā)，引入直線在平面直角坐標(biāo)系中的傾斜角和斜率的概念然后建立了過兩點(diǎn)的直線的斜率公式直線方程的概念是通過初中學(xué)過的一次函數(shù)的圖像引入的，是將一次函數(shù)與其圖像的關(guān)系轉(zhuǎn)換成直線方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)這種關(guān)系的學(xué)習(xí)，要通過觀察圖像，研究圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想，歸納和概括出什么是直線的方程和方程的直線，使學(xué)生對(duì)直線和直線方程的關(guān)系有一個(gè)初步了解傾斜角和斜率公式都是反映直線相對(duì)于軸正方向的傾斜程度的，確切地說，傾斜角是直接反映這種傾斜程度的，斜
2、率公式是利用直線上點(diǎn)的坐標(biāo)來研究直線的傾斜程度的解析幾何是用數(shù)來研究形的，在研究直線時(shí)，使用斜率公式比使用傾斜角更方便，因此正確理解斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，是學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)，也是學(xué)好平面解析幾何的關(guān)鍵教學(xué)目標(biāo)1. 通過對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)，了解直線的方程和方程的直線的概念，理解直線的傾斜角和斜率的概念，會(huì)準(zhǔn)確地表述直線的傾斜角和斜率的意義2. 理解并掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，并能用其解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題3. 初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，提高學(xué)生聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、歸納、概括的思維能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和分析問題、解決問題的能力任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過研究一次函數(shù)和
3、它的圖像的關(guān)系，而引入的直線和方程的關(guān)系對(duì)于直線和方程的關(guān)系，學(xué)生接受起來可能比較困難，因此在學(xué)習(xí)時(shí)要始終結(jié)合具體的直線方程和它的圖像來研究，以增強(qiáng)直觀性，便于被學(xué)生理解直線的傾斜角和斜率是描述直線傾斜程度的，在學(xué)習(xí)過程中，一方面要注意有關(guān)概念之間的區(qū)別，另一方面要突出它們之間的聯(lián)系，要充分利用圖像進(jìn)行具體分析，讓學(xué)生注意斜率的變化和傾斜角的關(guān)系，特別是當(dāng)直線的傾斜角為直角時(shí)，直線的斜率不存在的情況，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：有斜率必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)；反之，有傾斜角必有斜率與之對(duì)應(yīng)是不夠確切的在這節(jié)的學(xué)習(xí)中，要讓學(xué)生體會(huì)“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生分析、聯(lián)想、抽象、概括的能力教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境1
4、. 在初中，我們學(xué)習(xí)過一次函數(shù)ykxb，（k0），知道它的圖像是一條直線l，那么滿足ykxb的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）與直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？能否把它推廣到一般的二元一次方程和直線？2. 作出函數(shù)y2x1的圖像，研究滿足y2x1的有序?qū)崝?shù)對(duì)與y2x1的圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系二、建立模型1. 學(xué)生分析討論，師生共同總結(jié)（1）有序?qū)崝?shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù)y2x1，在直線l上就有一點(diǎn)A，它的坐標(biāo)是（0，1）；又如有序?qū)崝?shù)對(duì)（2，5）滿足函數(shù)y2x1，在直線l上就有一點(diǎn)B，它的坐標(biāo)是（2，5）（2）在直線l上取一點(diǎn)P（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足函數(shù)y2x1；又如在直線l上取一點(diǎn)Q（1，1
5、），則有序?qū)崝?shù)（1，1）就滿足函數(shù)y2x1結(jié)論：一般地，滿足函數(shù)式y(tǒng)kxb的每一對(duì)x，y的值，都是直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)；反之，直線l上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足函數(shù)式y(tǒng)kxb，因此，一次函數(shù)ykxb的圖像是一條直線，它是以滿足ykxb的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的2. 教師明晰從方程的角度看，函數(shù)ykxb可以看作二元一次方程ykxb0，這樣“滿足一次函數(shù)ykxb的每一對(duì)（x，y）的值”，就是“二元一次方程ykxb0的解x，y”；以方程ykxb0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就在函數(shù)ykxb的圖像上；反過來，函數(shù)ykxb的圖像上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程ykxb0，這樣直線和方程就建立了聯(lián)系一般地，如果以一個(gè)方
6、程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之，這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，那么這個(gè)方程叫作這條直線的方程；這條直線叫這個(gè)方程的直線由于方程ykxb的圖像是一條直線，因而我們今后就常說直線ykxb練習(xí)：已知方程2x3y60（1）把這個(gè)方程改寫成一次函數(shù)（2）畫出這個(gè)方程對(duì)應(yīng)的直線l（3）判定點(diǎn)（，1），（3，0）是否在直線上進(jìn)一步思考如下問題：哪些條件可以確定一條直線？在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的任何一條直線l，對(duì)x軸的相應(yīng)位置有哪些情形？如何刻畫它們的相對(duì)位置？3. 通過學(xué)生討論，師生共同總結(jié)直線相對(duì)x軸的情形有四種，如圖所示：通過分析四種情形，師生共同得出：直線相對(duì)軸的位置情形，可用直線l
7、和x軸所成的角來描述我們規(guī)定：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫作這條直線的傾斜角，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角問題：（1）在直角坐標(biāo)系中，畫出過點(diǎn)P（1，2），傾斜角分別為45，150，0，90的四條直線（2）直線的傾斜角的取值范圍是怎樣的？通過討論師生共同明確：直線的傾斜角的取值范圍是0180在此范圍的直角坐標(biāo)平面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個(gè)傾斜角確定一條直線的方向傾斜角直觀地表示了直線相對(duì)x軸正方向的傾斜程度從上面的討論可以看出，直線在坐標(biāo)系中的傾斜程度可以用傾斜角直觀地來表示我們知道，當(dāng)一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)確定時(shí)，這條直線也就隨之確定了，那么現(xiàn)在的問題是：如果已知
8、直線上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y來量化直線P1P2的傾斜程度呢？在教師的啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生作如下探索：直線ykxb被其上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)唯一確定（如圖22-3）因此，由該直線上任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）的坐標(biāo)可以計(jì)算出k的值由于x1，y1和x2，y2是直線方程的兩組解，所以y1kx1b，y2kx2b兩式相減，得y2y1kx2kx2k（x2x1）所以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求該直線的斜率與這兩點(diǎn)在直線上的順序無關(guān)，可知如果令xx2x1，yy2y1，則x表示變量x的改變量，y表示相應(yīng)的y的改變量于是因此，我們把直線ykxb中的系數(shù)k叫作該直
9、線的斜率垂直于x軸的直線不存在斜率想想看：（1）在函數(shù)方程ykx中，如果表示某物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（t），y表示在時(shí)刻x時(shí)運(yùn)動(dòng)過的距離（m），那么k表示的意義是什么？k60，120，的具體意義是什么？（2）如果在函數(shù)方程y120x中，x表示某商店銷售某個(gè)商品的數(shù)量，y表示銷售所得的總收入（元），那么斜率k120表示的意義是什么？進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明確下列事實(shí)：除去垂直于x軸的直線外，只要知道直線上兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)，由（*）式就可以算出這條直線的斜率方程ykxb的圖像是通過點(diǎn)（0，b）且斜率為k的直線對(duì)一次函數(shù)確定的直線，它的斜率等于相應(yīng)函數(shù)值的改變量與自變量改變量的比值直觀上可使我們感知到斜率k的值決定
10、了這條直線相對(duì)于x軸的傾斜程度當(dāng)k0時(shí)，直線平行于x軸或與x軸重合，直線的傾斜角等于0當(dāng)k0時(shí)，直線的傾斜角為銳角；k值增大，直線的傾斜角也隨著增大當(dāng)k0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角；k值增大，直線的傾斜角也隨著增大垂直于軸的直線的傾斜角等于90三、解釋應(yīng)用例題1. 求經(jīng)過A（2，0），B（5，3）兩點(diǎn)的直線的斜率k解：x12，x25，y10，y23；x2（5）3，y033故k1，即k12. 畫出方程3x6y80的圖像解：由已知方程解出y，得y這是一次函數(shù)的表達(dá)式，它的圖像是一條直線當(dāng)x0時(shí)，y；當(dāng)x2時(shí)y在坐標(biāo)平面內(nèi)描出點(diǎn)A（0，），B（2，），則經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的直線即為所求一次方程的圖像（如圖2
11、2-4）3. 若三點(diǎn)A（2，3），B（3，2），C（，m）共線，求m的值解：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以kACkAB，即，解得m.思考總結(jié)：研究三點(diǎn)共線的常用方法練習(xí)1. 經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率（1）（1，1），（3，2）（2）（1，2），（5，2）（3）（3，4），（2，5）（4）（3，0），（0，）2. 已知過點(diǎn)P（2，m）和Q（m，4）的直線的斜率等于1，求m的值3. 過點(diǎn)P（1，2）的直線l與x軸和y軸分別交于A，B兩點(diǎn)若點(diǎn)P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的斜率四、拓展延伸1. 直線的斜率k與直線的傾斜角之間的關(guān)系怎樣？2. 已知點(diǎn)P1（x1，y1），P2（
12、x2，y2），P1P2的斜率為k，求證：P1P2x1x2y1y23. 某城市出租汽車所收租車費(fèi)y（元）與行駛路程x（km）之間的關(guān)系可用下列關(guān)系式表示你能用斜率來解釋這一實(shí)際問題嗎？點(diǎn)評(píng)這篇案例首先通過實(shí)例一次函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的解析式的關(guān)系，引入了直線的方程和方程的直線的概念，在概念的建立上充分利用了圖像的直觀性，注重了數(shù)形結(jié)合的思想，注意了概念的嚴(yán)謹(jǐn)性接著由直線相對(duì)x軸的位置關(guān)系引入了直線的傾斜角和斜率的概念，為了用數(shù)研究形，又引入了過兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線的斜率公式k，通過師生共同探索明確了傾斜角和斜率是表現(xiàn)直線在坐標(biāo)系中傾斜程度的例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)由淺入深，有利于鞏固所學(xué)內(nèi)容拓展延伸的設(shè)計(jì)注意了前瞻性和創(chuàng)新，有利于加深理解所學(xué)內(nèi)容和培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力總之，這篇案例的設(shè)計(jì)比較好地體現(xiàn)了新課程的理念
2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 直線方程的概念與直線的斜率教案 理
