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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十二講 方程與函數(shù) 方程思想是指在解決問題時(shí)，通過等量關(guān)系將已知與未知聯(lián)系起來，建立方程或方程組，然后運(yùn)用方程的知識(shí)使問題得以解決的方法；函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關(guān)系，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是剔除問題的非本質(zhì)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)研究問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系去解決 方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問題，也可以用函數(shù)思想討論方程問題，在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等問題時(shí)，常將問題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個(gè)數(shù)、解的分布情況等問題時(shí)，借助函數(shù)圖象能獲得直觀簡(jiǎn)捷的解答【例題求解】【例1】 若關(guān)于的方程
2、有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 思路點(diǎn)撥 可以利用絕對(duì)值知識(shí)討論，也可以用函數(shù)思想探討：作函數(shù)，函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，依此確定m的取值范圍【例2】設(shè)關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ，且1，那么取值范圍是( ) A B C D 思路點(diǎn)撥 因根的表達(dá)式復(fù)雜，故把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，即求對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)滿足1的的值，注意判別式的隱含制約 【例3】 已知拋物線 ()與軸交于兩點(diǎn)A(，0)，B(，0)( ) (1)求的取值范圍，并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)O的左側(cè)； (2)若拋物線與軸交于點(diǎn)C，且OA+OBOC一2，求的值 思路點(diǎn)撥 、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，于是二次函數(shù)問
3、題就可以轉(zhuǎn)化為二次方程問題加以解決，利用判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的切入點(diǎn)【例4】 拋物線與軸的正半軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)，并且點(diǎn)B在A的右邊，ABC的面積是OAC面積的3倍 (1)求這條拋物線的解析式； (2)判斷OBC與OCA是否相似，并說明理由 思路點(diǎn)撥 綜合運(yùn)用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，可判定對(duì)應(yīng)方程根的符號(hào)特征、兩實(shí)根的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵對(duì)于(1)，建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對(duì)于(2)依m(xù)的值分類討論【例5】 已知拋物線上有一點(diǎn)M(，)位于軸下方 (1)求證：此拋物線與軸交于兩點(diǎn)； (2)設(shè)此拋物線與軸的交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，且 ，求證： 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(
4、1)，即要證；對(duì)于(2)，即要證 注：(1)拋物線與軸交點(diǎn)問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的個(gè)數(shù)、根的符號(hào)特征、根的關(guān)系來探討，需綜合運(yùn)用判別式、韋達(dá)定理等知識(shí) (2)對(duì)較復(fù)雜的二次方程實(shí)根分布問題，常轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的觀點(diǎn)來討論，基本步驟是：在直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象，由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組 (3) 一個(gè)關(guān)于二次函數(shù)圖象的命題：已知二次函數(shù)（）的圖象與軸交于A（，0），B(，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C ABC是直角三角形的充要條件是：= ABC是等邊三角形的充要條件是：= 學(xué)歷訓(xùn)練1已知關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是 2已知拋物線與軸交于A (，0)，B(，0)兩點(diǎn)，且，則
5、 3已知二次函數(shù)y=kx2+(2k1)x1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1x2，時(shí)，yO；方程kx2+l(2k1)xl=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2；x1l；x2x1=，其中所有正確的結(jié)論是 (只需填寫序號(hào)) 4設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A、B兩點(diǎn)，且線段OA與OB的長(zhǎng)的比為1：4，則( ) A8 B一4 C1l D一4或115已知：二次函數(shù)yx2+bx+c與x軸相交于A(x1,0)、B(x2，0)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(，)，ABx1x2|，若SAPB1，則b與c的關(guān)系式是 ( ) Ab24c+1= 0 Bb24c1=0 Cb24c+4=0 Db24c4=0 6已知方程有一個(gè)負(fù)根
6、而且沒有正根，那么的取值范圍是( ) A-1 B1 C1 D非上述答案7已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖，二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C（1）a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系？（2）如果線段OC的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)，試證a、c互為倒數(shù)；（3）在（2）的條件下，如果b=4，AB=4，求a、c的值 8已知：拋物線過點(diǎn)A(一1，4)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與軸分別交于B(x1,0)、C(x2，0)兩點(diǎn)(其中且 )，且(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)設(shè)此拋物線與軸交于D點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)
7、，若MBO的面積為DOC面積的倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo) 9已知拋物線交x軸于A（，0）、B（，0），交y軸于C點(diǎn)，且0，.（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點(diǎn)P，使APB為銳角，若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由. 10設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則= . 11函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 12已知、為拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則的值為 13是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定的取值范圍；如果沒有，試述理由14設(shè)拋物線的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn) (1)求的值； (2)求的值15已知以為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的平方等于關(guān)于的方程的一整數(shù)根，求的值 16已知二次函數(shù)的圖象開口向上且不過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，一2)，與軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足關(guān)系式 (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)求ABC的面積 17設(shè)是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（，0）、B（，0）(1)求證：；(2)若A、B兩點(diǎn)之間的距離不超過，求P的最大值 參考答案
九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十二講 方程與函數(shù)
