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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 4.2 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 平面向量基本定理的應(yīng)用
【例1】如圖?ABCD中,M,N分別是DC，BC中點(diǎn).已知=a,=b,試用a，b表示，與
【解析】易知＝＋
＝＋，
＝＋＝＋，
即
所以＝(2b－a)， ＝(2a－b).
所以＝＋＝(a＋b).
【點(diǎn)撥】運(yùn)用平面向量基本定理及線性運(yùn)算，平面內(nèi)任何向量都可以用基底來(lái)表示.此處方程思想的運(yùn)用值得仔細(xì)領(lǐng)悟.
【變式訓(xùn)練1】已知D為△ABC的邊BC上的中點(diǎn)，△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足＋＋＝0，則等于( )
A. B.
2、 C.1 D.2
【解析】由于D為BC邊上的中點(diǎn)，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知＋＝2，因此結(jié)合＋＋＝0即得＝2，因此易得P，A，D三點(diǎn)共線且D是PA的中點(diǎn)，所以＝1，即選C.
題型二 向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【例2】 已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
【解析】因?yàn)閍＝(1，1)，b＝(x，1)，
所以u(píng)＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).
(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)
?(2x
3、＋1，3)＝(6－3x，3)，
所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.
(2)u∥v ?(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
?
?(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.
【點(diǎn)撥】對(duì)用坐標(biāo)表示的向量來(lái)說(shuō)，向量相等即坐標(biāo)相等，這一點(diǎn)在解題中很重要，應(yīng)引起重視.
【變式訓(xùn)練2】已知向量an＝(cos，sin)(n∈N*)，|b|＝1.則函數(shù)y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值為 .
【解析】設(shè)b＝(cos θ，sin θ)，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(cos，s
4、in)(cos θ，sin θ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(cos，sin)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(－θ)，所以y的最大值為284.
題型三 平行(共線)向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【例3】已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；
(2)若m⊥p，邊長(zhǎng)c＝2，角C＝，求△ABC的面積.
【解析】(1)證明：因?yàn)閙∥n，所以asin A＝bsin B.
由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC為等腰三角形.
(2)因?yàn)閙⊥p，
5、所以m·p＝0，即
a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.
由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
所以(ab)2－3ab－4＝0.
所以ab＝4或ab＝－1(舍去).
所以S△ABC＝absin C＝×4×＝.
【點(diǎn)撥】設(shè)m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，則
①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.
【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為( )
A.10－5
6、 B.10＋5
C.10－2 D.10＋2
【解析】由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－或cos C＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2?ab≤25，所以c2≥75，即c≥5，所以a＋b＋c≥10＋5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時(shí)，等號(hào)成立.故選B.
總結(jié)提高
1.向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示，在引入向量的坐標(biāo)表示后，即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái).向量方法是幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合體，很多幾何問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為熟知的向量運(yùn)算.
2.向量的運(yùn)算中要特別注意方程思想的運(yùn)用.
3.向量的運(yùn)算分為向量形式與坐標(biāo)形式.向量形式即平行四邊形法則與三角形法則，坐標(biāo)形式即代入向量的直角坐標(biāo).
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