《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 立體幾何限時(shí)檢測(cè)（文、理）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 立體幾何限時(shí)檢測(cè)（文、理）（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 立體幾何限時(shí)檢測(cè)（文、理）一、選擇題(本大題共8小題，每小題6分，共48分；在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(xx福建省質(zhì)檢)如圖，AB是O的直徑，VA垂直O(jiān)所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，M、N分別為VA、VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()AMNABBMN與BC所成的角為45COC平面VACD平面VAC平面VBC答案D解析依題意，MNAC，又直線AC與AB相交，因此MN與AB不平行；注意到ACBC，因此MN與BC所成的角是90；注意到直線OC與AC不垂直，因此OC與平面VAC不垂直；由于BCAC，BCVA，因此BC平面VAC.又BC
2、平面VBC，所以平面VBC平面VAC.綜上所述可知選D.2(xx菱湖月考)若某多面體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此多面體的體積是()A.cm3 B.cm3C.cm3D.cm3答案C解析由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)正方體割去一個(gè)角所得到的多面體，如圖，其正方體的棱長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為1313cm3.3(文)已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3答案C解析由三視圖知幾何體為三棱錐，底面等腰三角形底邊長(zhǎng)2，高為2，棱錐高為2，V(22)2cm3.(理)正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的
3、動(dòng)點(diǎn)，則直線A1D與直線C1E所成的角等于()A60B90C30D隨點(diǎn)E的位置而變化答案B解析A1DAB，A1DAD1，A1D平面AD1C1B，A1DC1E.4(文)(xx河北名校名師俱樂(lè)部模擬)一簡(jiǎn)單組合體的三視圖及尺寸如圖所示(單位：cm)，該組合體的體積為()A42cm3B48cm3C56cm3D44cm3答案D解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為6、4、1的長(zhǎng)方體和一個(gè)直三棱柱組合而成，直三棱柱的底面是等腰三角形，三角形的底邊長(zhǎng)為4，高為5，棱柱的高為2，其體積V14645244(cm3)(理)(xx鄭州市質(zhì)檢)如圖，四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.將四邊形
4、ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()AACBDBBAC90CCA與平面ABD所成的角為30D四面體ABCD的體積為答案B解析取BD的中點(diǎn)O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面BCD，CDBD，OC不垂直于BD.假設(shè)ACBD，OC為AC在平面BCD內(nèi)的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD，A錯(cuò)誤；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD內(nèi)的射影為AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正確；CAD為直線CA與平面ABD所成的角，CAD45，C錯(cuò)誤；VABCDSABDCD，
5、D錯(cuò)誤，故選B.5(文)(xx濟(jì)南四校聯(lián)考)已知m、n是兩條不同直線，、為兩個(gè)不同平面，那么使m成立的一個(gè)充分條件是()Am，Bm，Cmn，n，mDm上有不同的兩個(gè)點(diǎn)到的距離相等答案C解析對(duì)于A，直線m可能位于平面內(nèi)；對(duì)于B，直線m可能位于平面內(nèi)；對(duì)于D，當(dāng)直線m與平面相交時(shí)，顯然在該直線上也能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等故選C.(理)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA平面ABCD.若PABA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30B45C60D90答案B解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平
6、面ABP與平面CDP所成二面角(銳角)的余弦值為，故所求的二面角的大小是45.6如圖，在正四面體PABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC答案D解析D、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，BCDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A正確；在正四面體中，E為BC中點(diǎn)，易知BCPE，BCAE，BC平面PAE，DFBC，DF平面PAE，故B正確；DF平面PAE，DF平面PDF，平面PDF平面PAE，C正確，故選D.7(文)如圖，在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段
7、，且EF2，Q是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積()A是變量且有最大值B是變量且有最小值C是變量且有最大值和最小值D是常量答案D解析因?yàn)镋F2，點(diǎn)Q到AB的距離為定值，所以QEF的面積為定值，設(shè)為S，又因?yàn)镈1C1AB，所以D1C1平面QEF；點(diǎn)P到平面QEF的距離也為定值，設(shè)為d，從而四面體PQEF的體積為定值Sd.(理)一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)、(1,2,0)、(0,2,2)、(3,0,1)，則該四面體中以yOz平面為投影面的正視圖的面積為()A3B.C2D.答案A解析四個(gè)點(diǎn)在yOz平面上的正投影依次為(0,0
8、,0)，(0,2,0)，(0,2,2)，(0,0,1)，故其面積S(12)23.8(文)已知、是三個(gè)不同的平面，命題“，且”是真命題，如果把、中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有()A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)答案C解析若、換成直線a、b，則命題化為“ab，且ab”，此命題為真命題；若、換為直線a、b，則命題化為“a，且abb”，此命題為假命題；若、換為直線a、b，則命題化為“a，且bab”，此命題為真命題，故選C.(理)如圖，在ABC中，ABAC，若ADBC，則AB2BDBC；類(lèi)似地有命題：在三棱錐ABCD中，AD平面ABC，若A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影為M，則有S
9、SBCMSBCD.上述命題是()A真命題B增加條件“ABAC”才是真命題C增加條件“M為BCD的垂心”才是真命題D增加條件“三棱錐ABCD是正三棱錐”才是真命題答案A解析因?yàn)锳D平面ABC，所以ADAE，ADBC，在ADE中，AE2MEDE，又A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影為M，所以AM平面BCD，AMBC，所以BC平面ADE，所以BCDE，將SABC、SBCM、SBCD分別表示出來(lái)，可得SSBCMSBCD，故選A.二、填空題(本大題共2小題，每小題6分，共12分，將答案填寫(xiě)在題中橫線上)9(文)已知四棱錐PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，點(diǎn)E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，則棱AB與
10、PD所在直線垂直；平面PBC與平面ABCD垂直；PCD的面積大于PAB的面積；直線AE與平面BF是異面直線以上結(jié)論正確的是_(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))答案解析由條件可得AB平面PAD，ABPD，故正確；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，從而PAPB，這是不可能的，故錯(cuò)；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA知正確；由E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE與BF共面，錯(cuò)，故填.(理)如圖，正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a，已知ABBC，將直角ABE沿BE邊折起，A點(diǎn)在面BCDE上的射影為D點(diǎn)，則翻折后的幾何體中有如下描述：AB
11、與DE所成角的正切值是；VBACE的體積是a3；ABCD；平面EAB平面ADE；直線BA與平面ADE所成角的正弦值為.其中正確的敘述有_(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))答案解析由題意可得如圖所示的幾何體，對(duì)于，AB與DE所成角為ABC，在ABC中，ACB90，ACa，BCa，所以tanABC，故正確；對(duì)于，VBACEVAECBaaaa3，故正確；明顯錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)锳D平面BCDE，所以ADBE，又因?yàn)镈EBE，所以BE平面ADE，可得平面EAB平面ADE，故正確；對(duì)于，由可知，BAE即為直線BA與平面ADE所成的角，在ABE中，AEB90，ABa，BEa，所以sinBAE，故正確10(xx邯鄲一模
12、)已知直角梯形ABCD，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2沿AC折成三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求此時(shí)三棱錐外接球的體積_答案解析在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，AB2，AD1，CD1，AC，BC，BCAC，取AC的中點(diǎn)E，AB中點(diǎn)O，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面DCA平面ACB，OAOBOCOD，OB1，VR3.三、解答題(本大題共3小題，共40分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)11(本小題滿(mǎn)分13分)(文)如圖，已知矩形ABCD中，AB10，BC6，沿對(duì)角線BD把ABD折起，使A點(diǎn)移到A1點(diǎn)，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上(1)求證：BCA
13、1D；(2)求證：平面A1BC平面A1BD；(3)求三棱錐A1BCD的體積解析(1)A1在平面BCD上的射影O在CD上，A1O平面BCD，又BC平面BCD，BCA1O.又BCCO，COA1OO，CO平面A1CD，A1O平面A1CD，BC平面A1CD，又A1D平面A1CD，BCA1D.(2)四邊形ABCD為矩形，A1DA1B，由(1)知BCA1D.又BCA1BB，BC平面A1BC，A1B平面A1BC，A1D平面A1BC，又A1D平面A1BD，平面A1BC平面A1BD.(3)A1D平面A1BC，A1DA1C.CD10，A1D6，A1C8，VA1BCDVDA1BC68648.(理)(xx大興區(qū)模擬)
14、如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)(1)求證：直線A1DB1C1；(2)判斷A1B與平面ADC1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解析(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AA1BC，在等邊ABC中，D是BC中點(diǎn)，所以ADBC，因?yàn)樵谄矫鍭1AD中，A1AADA，所以BC平面A1AD，又因?yàn)锳1D平面A1AD，所以A1DBC，在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形BCC1B1是平行四邊形，所以B1C1BC，所以，A1DB1C1.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形ACC1A1是平行四邊形，在平行四邊形ACC1A1中連接A1C，交AC1于
15、點(diǎn)O，連接DO.故O為A1C的中點(diǎn)在三角形A1CB中，D為BC中點(diǎn)，O為A1C中點(diǎn)，故DOA1B.因?yàn)镈O平面ADC1，A1B平面ADC1，所以，A1B平面ADC1，故A1B與平面ADC1平行12(本小題滿(mǎn)分13分)(文)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求證：AC平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP和平面BCB1、平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論解析(1)直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC，CAB4
16、5，BC，BCAC，又BB1BCB，BB1、BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C；(2)存在符合條件的點(diǎn)P，且P為A1B1的中點(diǎn)證明：P為A1B1的中點(diǎn)，所以PB1AB，且PB1AB，又DCAB，DCAB，DCPB1，且DCPB1.四邊形CDPB1為平行四邊形，從而CB1DP.又CB1平面ACB1，DP平面ACB1.DP平面ACB1，同理DP平面BCB1.點(diǎn)評(píng)(2)問(wèn)中假如存在點(diǎn)P，使得DP平面BCB1，DP平面ACB1，又平面BCB1平面ACB1CB1，DPCB1，又CDPB1，故四邊形CDPB1為平行四邊形，A1B12CD，故只須P為A1B1的中點(diǎn)，即有PB1綊DC，而獲解對(duì)于存在性
17、命題，常常是先假設(shè)存在，把其作為一個(gè)條件與其他已知條件結(jié)合加以分析，探尋解題的思路(理)(xx哈三中一模)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點(diǎn)(1)若PAPD，求證：平面PQB平面PAD；(2)若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，點(diǎn)M在線段PC上，試確定點(diǎn)M的位置，使二面角MBQC大小為60，并求出的值解析(1)PAPD，Q為AD的中點(diǎn)，PQAD，又底面ABCD為菱形，BAD60，BQAD，又PQBQQ，AD平面PQB，又AD平面PAD，平面PQB平面PAD；(2)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQAD, PQ平面ABCD.以
18、Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖則Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，0)，C(2，0)，設(shè)(0BCD答案B解析如圖，設(shè)底面BCD的中心為點(diǎn)O，連接AO，BO，易知ABO，取BC的中點(diǎn)E，連接AE、OE，易知AEO，在正三角形BCD中，OBOE，因此0.8(文)在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面A1DM的距離為()A.aB.aC.aD.a答案A解析設(shè)點(diǎn)C到平面A1DM的距離為h，則由已知得DMA1Ma，A1Da，SA1DMaa2，連接CM，SCDMa2，由VCA1DMVA1CDM，得SA1DMhSCDMa
19、，即a2ha2a，得ha，所以點(diǎn)C到平面A1DM的距離為a，選A.(理)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將ABC沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如右圖所示的三棱錐BACD.若O為AC邊的中點(diǎn)，M、N分別為線段DC、BO上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，且BNCM.設(shè)BNx，則三棱錐NAMC的體積yf(x)的函數(shù)圖象大致是()答案B解析由條件知，AC4，BO2，SAMCCMADx，NO2x，VNAMCSAMCNOx(2x)，即f(x)x(2x)，故選B.二、填空題9如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐PABC的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積
20、的比值為_(kāi)答案1解析依題意得三棱錐PABC的主視圖與左視圖均為三角形，且這兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)都等于正方體的棱長(zhǎng)，底邊上的高也都相等，因此三棱錐PABC的主視圖與左視圖的面積之比等于1.10(文)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)m3.答案30解析本題考查三視圖及柱體體積公式由三視圖知該幾何體由一個(gè)棱長(zhǎng)為3,4,2的長(zhǎng)方體和一個(gè)底面是直角梯形高為4的直棱柱組成，則體積V3421430.點(diǎn)評(píng)解決三視圖問(wèn)題應(yīng)弄清圖中各量與原幾何體的量的關(guān)系(理)設(shè)C是AOB所在平面外的一點(diǎn)，若AOBBOCAOC，其中是銳角，而OC和平面AOB所成角的余弦值等于，則的值為_(kāi)答案60解析作CC
21、1平面AOB于點(diǎn)C1，C1A1OA于點(diǎn)A1，C1B1OB于點(diǎn)B1，連接OC1，則COC1為直線OC與平面AOB所成的角，且OC1是AOB的平分線，設(shè)OA1x，則OC，OC1，易求得cosCOC1，即2cos2cos10，解之得cos或cos(舍去)，故30，所以60.三、解答題11(文)(xx威海兩校質(zhì)檢)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA2，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)(1)求四棱錐PABCD的體積；(2)如果E是PA的中點(diǎn)，求證PC平面BDE；(3)是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE？證明你的結(jié)論解析(1)PA平面ABCD，VPABCDS正方形
22、ABCDPA122.即四棱錐PABCD的體積為.(2)連接AC交BD于O，連接OE.四邊形ABCD是正方形，O是AC的中點(diǎn)又E是PA的中點(diǎn)，PCOE.PC平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.(3)不論點(diǎn)E在何位置，都有BDCE.證明如下：四邊形ABCD是正方形，BDAC.PA底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPA.又ACPAA，BD平面PAC.不論點(diǎn)E在何位置，都有CE平面PAC.不論點(diǎn)E在何位置，都有BDCE.(理)(xx成都一診)如圖，PO平面ABCD，點(diǎn)O在AB上，EAPO，四邊形ABCD為直角梯形，BCAB，BCCDBOPO，EAAOCD.(1)求證：PE平面PBC；(2)
23、直線PE上是否存在點(diǎn)M，使DM平面PBC，若存在，求出點(diǎn)M；若不存在，說(shuō)明理由(3)求二面角EBDA的余弦值解析(1)證明：EAOP，AO平面ABP，點(diǎn)A，B，P，E共面PO平面ABCD，PO平面PEAB.平面PEAB平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面PEAB平面ABCDAB，BC平面PEAB，PEBC.由平面幾何知識(shí)知PEPB，又BCPBB，PE平面PBC.(2)點(diǎn)E即為所求的點(diǎn)，即點(diǎn)M與點(diǎn)E重合取PB的中點(diǎn)F，連接EF、CF、DE，延長(zhǎng)PE交BA的延長(zhǎng)線于H，則E為PH的中點(diǎn)，O為BH的中點(diǎn)，EF綊OB，又OB綊CD，EFCD，且EFDC，四邊形DCFE為平行四邊形，所以DEC
24、F.CF在平面PBC內(nèi)，DE不在平面PBC內(nèi)，DE平面PBC.(3)由已知可知四邊形BCDO是正方形，顯然OD、OB、OP兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC1，則B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0，)，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n1(x，y，z)，(1，1,0)，(0，)，即取y1，則x1，z3，從而n1(1,1,3)取平面ABD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)cosn1，n2，故二面角EBDA的余弦值為.12(文)已知四棱錐PABCD的直觀圖和三視圖如圖所示，E是PB的中點(diǎn)(1)求三棱錐CPBD的體積；(2)若F是BC上任一點(diǎn)，求證：AEPF；(3)邊PC上是否存在一點(diǎn)M，使D
25、M平面EAC，并說(shuō)明理由解析(1)由該四棱錐的三視圖可知，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為2和1的矩形，側(cè)棱PA平面ABCD，且PA2，VCPBDVPBCD122.(2)證明：BCAB，BCPA，ABPAA.BC平面PAB，BCAE，又在PAB中，PAAB，E是PB的中點(diǎn)，AEPB.又BCPBB，AE平面PBC，且PF平面PBC，AEPF.(3)存在點(diǎn)M，可以使DM平面EAC.連接BD，設(shè)ACBDO，連接EO.在PBD中，EO是中位線PDEO，又EO平面EAC，PD平面EAC，PD平面EAC，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，可以使DM平面EAC.(理)如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、B
26、C的中點(diǎn)，將BEF剪去，將AED、DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得一三棱錐如圖所示(1)求證：PDEF；(2)求三棱錐PDEF的體積；(3)求DE與平面PDF所成角的正弦值解析(1)依題意知圖折前ADAE，CDCF，折起后PDPE，PFPD，PEPFP，PD平面PEF.又EF平面PEF，PDEF.(2)依題意知圖中AECF，PEPF，在BEF中EFBE，在PEF中，PE2PF2EF2，PEPF，SPEFPEPF，VPDEFVDPEFSPEFPD1.(3)由(2)知PEPF，又PEPD，PE平面PDF，PDE為DE與平面PDF所成的角在RtPDE中，DE，PE，sinPDE
27、.13(文)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1BC，AC1平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)(1)求證：B1C平面A1BD；(2)求證：B1C1平面ABB1A1；(3)在CC1上是否存在一點(diǎn)E，使得BA1E45，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析(1)連接AB1，交A1B于M，則MD就是平面A1BD內(nèi)與B1C平行的直線；(2)需在平面ABB1A1中找兩條相交直線都與B1C1垂直，由直三棱柱的概念，知BB1B1C1，另一條的尋找，從AC1平面A1BD，以平行四邊形ABB1A1為正方形入手，證明A1B平面AB1C1從而得出A1BB1
28、C1.(3)用余弦定理解A1BE.解析(1)連接AB1與A1B相交于M，則M為A1B的中點(diǎn)連接MD，又D為AC的中點(diǎn)，B1CMD，又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)ABB1B，平行四邊形ABB1A1為正方形，A1BAB1.又AC1平面A1BD，AC1A1B，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)設(shè)ABa，CEx，B1C1A1B1，在RtA1B1C1中有A1C1a，同理A1B1a，C1Eax，A1E，BE，在A1BE中，由余弦定理得BE2A1B2A1E22A1BA1Ecos45，即a
29、2x22a2x23a22ax2a，2ax，xa，即E是C1C的中點(diǎn)，D、E分別為AC、C1C的中點(diǎn)，DEAC1.AC1平面A1BD，DE平面A1BD.又DE平面BDE，平面A1BD平面BDE.點(diǎn)評(píng)空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一種垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系為線線垂直線面垂直面面垂直(理)(xx齊魯名校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中點(diǎn)(1)求證：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)試問(wèn)線段A1B1上是否存在點(diǎn)E，使得AE與DC1成
30、60角？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由解析(1)證明：連接A1C，交AC1于點(diǎn)O，連接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱得四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點(diǎn)又D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為A1BC中位線，所以A1BOD，所以O(shè)D平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(2)由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，故BA、BC、BB1兩兩垂直如圖建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.設(shè)BA2，則B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)所以(1，2,0)，(2，2,1)設(shè)平面ADC1的法向量為n(x，y，z)，則有所以取y1，得n(2,1，2)易知平面ADC的法向量為v(0,0,1)由二面角C1ADC的平面角是銳角，得cosn，v.所以二面角C1ADC的余弦值為.(3)假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E.因?yàn)镋在線段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可設(shè)E(0，1)，其中02.所以(0，2,1)，(1,0,1)因?yàn)锳E與DC1成60角，所以.即，解得1，舍去3.所以當(dāng)點(diǎn)E為線段A1B1中點(diǎn)時(shí)，AE與DC1成60角
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四 立體幾何限時(shí)檢測(cè)（文、理）
