2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第二講 三角變換與解三角形 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第二講 三角變換與解三角形 理 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式． sin 2α＝2sin_αcos_α，tan 2α＝， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． 它的雙向應(yīng)用分別起到了縮角升冪和擴(kuò)角降冪的作用． 三角恒等式的證明方法有： 1．從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊，一般是化繁為簡(jiǎn)． 2．等式的兩邊同時(shí)變形為同一個(gè)式子． 3．將式子變形后再證明． 1．正弦定理及其變形． ＝＝＝2R(其中R為△ABC外接圓的半徑)．

2、(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin_B＝，sin C＝； (3)asin B＝bsin_A，bsin C＝csin B，asin C＝csin_A； (4)abc＝sin_Asin_Bsin_C． 2．余弦定理及其變形． (1)a2＝b2＋c2－2bccos_A，cos A＝； (2)b2＝c2＋a2－2cacos B，cos B＝； (3)c2＝a2＋b2－2abcos_C，cos C＝． 3．△ABC的面積公式． (1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高)； (2)S＝absin_C＝acsin_B＝bcsin_

3、A＝(R為△ABC外接圓半徑)； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)． 　　　　　　　　　　　　　　　 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)． (1)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(×) (2)設(shè)α∈(π，2π)，則 ＝sin.(×) (3)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(×) (4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，三角形ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，三角形為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時(shí)，三角形為鈍角三角形．(×) (5)在△ABC中，AB＝，AC＝

4、1，B＝30°，則△ABC的面積等于.(×) 1．已知α為第二象限角，sin α＝，則sin 2α＝(A) A．－　　　B．－　　　C.　　　D. 2．(xx·新課標(biāo)Ⅱ卷) 函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值為1． 解析：由已知得，f(x)＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2cos xsin φ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)≤1，故函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值為1. 3．(xx·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝1． 解析：由正弦定理得＝， 由

5、余弦定理得cos A＝， ∵ a＝4，b＝5，c＝6， ∴ ＝＝2··cos A＝2××＝1. 4．(xx·新課標(biāo)Ⅰ卷)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是(－，＋)． 解析：如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F，則BF＜AB＜BE. 在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°， CF＝BC＝2， ∴ BF＝＝－. 在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°， BE＝CE，BC＝2，＝， ∴ BE＝×＝＋. ∴ －＜AB＜＋. 一、選擇題 1．定義運(yùn)算＝ad－bc，則函數(shù)f(x)

6、＝的圖象的一條對(duì)稱軸是(B) A. B. C．π D．0 2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(A) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定 解析：先由正弦定理將角關(guān)系化為邊的關(guān)系得：a2＋b2＜c2，再由余弦定理可求得角C的余弦值為負(fù)，所以角C為鈍角．故選A. 3．(xx·浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的(B) A．充分不必要條件　　　B．必要不充分條件 C．充分必要條件　　　　D．既不充分也不必要條件 解析：先判斷

7、由f(x)是奇函數(shù)能否推出φ＝，再判斷由φ＝能否推出f(x)是奇函數(shù)． 若f(x)是奇函數(shù)，則f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ＝不成立； 若φ＝，則f(x)＝Acos＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函數(shù)．所以f(x)是奇函數(shù)是φ＝的必要不充分條件． 4．若△ABC的內(nèi)角A滿足sin 2A＝，則sin A＋cos A等于(A) A. B．－ C. D．－ 解析：∵sin 2A＝，∴2sin Acos A＝，即sin A、cos A同號(hào)．∴A為銳角，∴sin A＋cos A＝＝＝＝＝. 5. 若＝，則tan 2

8、α＝(B) A．－ B. C．－ D. 解析：先由條件等式＝，左邊分子分母同除以cos α，得＝，解得tan α＝－3，又由于tan 2α＝＝.故選B. 6．C是曲線y＝(x≤0)上一點(diǎn)，CD垂直于y軸，D是垂足，點(diǎn)A坐標(biāo)是(－1，0)．設(shè)∠CAO＝θ(其中O表示原點(diǎn))，將AC＋CD表示成關(guān)于θ的函數(shù)f(θ)，則f(θ)＝(A) A．2cos θ－cos 2θ B．cos θ＋sin θ C．2cos θ(1＋cos θ) D．2sin θ＋cos θ－ 解析：依題意，畫(huà)出圖形．△CAO是等腰三角形， ∴∠DCO＝∠COA

9、＝π－2θ. 在Rt△COD中， CD＝CO·cos∠DCO＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ， 過(guò)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，則 CA＝2AH＝2OAcos θ＝2cos θ. ∴f(θ)＝AC＋CD＝2cos θ－cos 2θ.故選A. 二、填空題 7．(xx·廣東卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，則b＝1． 解析：在△ABC中，∵ sin B＝，0

10、值為2． 解析：因?yàn)閒(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2cos， 當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取得最大值為2. 三、解答題 9．已知0<α<<β<π，tan ＝，cos (β－α)＝. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 解析：(1)∵tan ＝， ∴sin α＝sin ＝2sin cos ＝＝＝＝. (2)∵0＜α＜，sin α＝，∴cos α＝. 又0＜α＜＜β＜π，∴0＜β－α＜π. 由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α

11、 ＝×＋×＝＝. 由＜β＜π得β＝π. 10．(xx·安徽卷)在ΔABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝BD，求AD的長(zhǎng)． 解析：設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝3. 又由正弦定理得sin B＝＝＝， 由題設(shè)知0

12、θ∈(0，π)． (1)求a，θ的值； (2)若f＝－，α∈，求sin的值． 解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即(a＋2cos2x)·cos(－2x＋θ)＝－(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)，因?yàn)閤∈R，所以cos (－2x＋θ)＝－cos(2x＋θ)，cos 2xcos θ＝0，cos θ＝0.又θ∈(0，π)，所以θ＝.因?yàn)閒＝0，所以cos＝0，a＝－1.因此a＝－1，θ＝. (2)由(1)得： f(x)＝(－1＋2cos2x)cos＝cos 2x(－sin 2x)＝－sin 4x，所以由f＝－，得－sin α＝－，sin α＝，又α∈，所以cos α＝－，因此sin＝sin αcos ＋sin cos α＝.