2022年高中數學 第三講《柯西不等式與排序不等式》教案（1） 新人教版選修4-5

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1、2022年高中數學 第三講柯西不等式與排序不等式教案（1） 新人教版選修4-5教學要求：認識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會證明二維柯西不等式及向量形式. 教學重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學難點：理解幾何意義.教學過程：一、復習準備：1. 提問： 二元均值不等式有哪幾種形式？答案：及幾種變式.2. 練習：已知a、b、c、d為實數，求證 證法：（比較法）=.=二、講授新課：1. 教學柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d為實數，則. 即二維形式的柯西不等式 什么時候取等號？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二：（綜合法） . （要點：展開配方

2、） 證法三：（向量法）設向量，則，. ，且，則. . 證法四：（函數法）設，則0恒成立. 0，即. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式： 或 或. 提出定理2：設是兩個向量，則. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 討論：上面時候等號成立？（是零向量，或者共線） 練習：已知a、b、c、d為實數，求證. 證法：（分析法）平方 應用柯西不等式 討論：其幾何意義？（構造三角形）2. 教學三角不等式： 出示定理3：設，則.分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式：若，則結合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？ 3. 小結：二維柯西不等式的代數形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（

3、兩點、三點）三、鞏固練習：1. 練習：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式 2. 作業(yè)：教材P37 4、5題.第二課時 3.1 二維形式的柯西不等式（二）教學要求：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會運用經典不等式的一般方法發(fā)現具體問題與經典不等式之間的關系，經過適當變形，依據經典不等式得到不等關系.教學重點：利用二維柯西不等式解決問題.教學難點：如何變形，套用已知不等式的形式.教學過程：一、復習準備：1. 提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？ 幾何意義？ 答案：；2. 討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3. 如何利用二維柯西不等式求函數的最大值?

4、 要點：利用變式.二、講授新課：1. 教學最大（?。┲担?出示例1：求函數的最大值？ 分析：如何變形？ 構造柯西不等式的形式 板演 變式： 推廣： 練習：已知，求的最小值. 解答要點：（湊配法）. 討論：其它方法 （數形結合法）2. 教學不等式的證明： 出示例2：若，求證：.分析：如何變形后利用柯西不等式？ （注意對比 構造） 要點： 討論：其它證法（利用基本不等式） 練習：已知、，求證：.3. 練習： 已知，且，則的最小值. 要點：. 其它證法 若，且，求的最小值. （要點：利用三維柯西不等式）變式：若，且，求的最大值.3. 小結：比較柯西不等式的形式，將目標式進行變形，注意湊配、構造等技巧

5、.三、鞏固練習：1. 練習：教材P37 8、9題 2. 作業(yè)：教材P37 1、6、7題第三課時 3.2 一般形式的柯西不等式教學要求：認識一般形式的柯西不等式，會用函數思想方法證明一般形式的柯西不等式，并應用其解決一些不等式的問題.教學重點：會證明一般形式的柯西不等式，并能應用.教學難點：理解證明中的函數思想.教學過程：一、復習準備：1. 練習： 2. 提問：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？ 答案：；二、講授新課：1. 教學一般形式的柯西不等式： 提問：由平面向量的柯西不等式，如果得到空間向量的柯西不等式及代數形式？ 猜想：n維向量的坐標？n維向量的柯西不等式及代數

6、形式？ 結論：設，則 討論：什么時候取等號？（當且僅當時取等號，假設）聯想：設，則有，可聯想到一些什么？ 討論：如何構造二次函數證明n維形式的柯西不等式？ （注意分類）要點：令 ，則.又，從而結合二次函數的圖像可知，0即有要證明的結論成立. （注意：分析什么時候等號成立.） 變式：. （討論如何證明）2. 教學柯西不等式的應用： 出示例1：已知，求的最小值. 分析：如何變形后構造柯西不等式？ 板演 變式： 練習：若，且，求的最小值. 出示例2：若，求證：. 要點：3. 小結：柯西不等式的一般形式及應用；等號成立的條件；根據結構特點構造證明.三、鞏固練習：1. 練習：教材P41 4題 2. 作業(yè)

7、：教材P41 5、6題第四課時 3.3 排序不等式教學要求：了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題，體會運用經典不等式的一般方法.教學重點：應用排序不等式證明不等式.教學難點：排序不等式的證明思路.教學過程：一、復習準備：1. 提問： 前面所學習的一些經典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 舉例：說說兩類經典不等式的應用實例.二、講授新課：1. 教學排序不等式： 看書：P42P44. 提出排序不等式（即排序原理）：設有兩個有序實數組:;.是，的任一排列,則有 + (同序和)+ (亂序和)+ (反序和) 當且僅當=或=時，反序和等于同序和. （要點：理解其思想，記住其形式）2. 教學排序不等式的應用： 出示例1：設是n個互不相同的正整數，求證：. 分析：如何構造有序排列？ 如何運用套用排序不等式？ 證明過程： 設是的一個排列，且，則. 又，由排序不等式，得 小結：分析目標，構造有序排列. 練習：已知為正數，求證：. 解答要點：由對稱性，假設，則，于是 ， 兩式相加即得.3. 小結：排序不等式的基本形式.三、鞏固練習：1. 練習：教材P45 1題2. 作業(yè)：教材P45 3、4題