（全國通用版）2019版高考數(shù)學一輪復習 選考部分 坐標系與參數(shù)方程學案 文

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1、坐標系與參數(shù)方程第1課坐標系過雙基1平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換2極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示，在平面內取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系(2)極坐標極徑：設M是平面內一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為.極坐標：有序數(shù)對(，)叫

2、做點M的極坐標，記作M(，)3極坐標與直角坐標的互化設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則它們之間的關系為：4常見曲線的極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程r(02)圓心為，半徑為r的圓的極坐標方程2rsin (0)過極點，傾斜角為的直線的極坐標方程(R)或(R)過點(a,0)，與極軸垂直的直線的極坐標方程cos a過點，與極軸平行的直線的極坐標方程sin a(01，所以點P在圓外，所以|AP|的最小值為dr211.答案：14(2017天津高考)在極坐標系中，直線4cos10與圓2sin 的公共點的個數(shù)為_解析：依題意，得410，即2cos 2sin 10

3、，所以直線的直角坐標方程為2x2y10.由2sin ，得22sin ，所以圓的直角坐標方程為x2y22y，即x2(y1)21，其圓心(0,1)到直線2x2y10的距離d1，則直線與圓相交，故直線與圓的公共點的個數(shù)是2.答案：25在極坐標系中，過點A引圓8sin 的一條切線，則切線長為_解析：點A的極坐標化為直角坐標為A(0，1)，圓8sin 的直角坐標方程為x2y28y0，圓的標準方程為x2(y4)216，點A與圓心C(0,4)的距離為|AC|5，所以切線長為3.答案：3清易錯1極坐標方程與直角坐標方程的互化易錯用互化公式在解決此類問題時考生要注意兩個方面：一是準確應用公式，二是注意方程中的限

4、制條件2在極坐標系下，點的極坐標不唯一性易忽視注意極坐標(，)(，2k)(kZ)，(，2k)(kZ)表示同一點的坐標1若圓C的極坐標方程為24cos10，若以極點為原點，以極軸為x軸的正半軸建立相應的平面直角坐標系xOy，則在直角坐標系中，圓心C的直角坐標是_解析：因為24cos10，所以22cos 2sin 10，即x2y22x2y10，因此圓心坐標為(1，)答案：(1，)2圓5cos 5sin 的圓心的極坐標為_解析：將方程 5cos 5sin 兩邊都乘以得：25cos 5sin ，化成直角坐標方程為x2y25x5y0.圓心的坐標為，化成極坐標為.答案：(答案不唯一)平面直角坐標系下圖形的

5、伸縮變換典例(1)在同一平面直角坐標系中，已知伸縮變換：求點A經過變換所得的點A的坐標(2)求直線l：y6x經過：變換后所得到的直線l的方程解(1)設A(x，y)，由伸縮變換：得到由于點A的坐標為，于是x31，y(2)1，A(1，1)為所求(2)設直線l上任意一點P(x，y)，由上述可知，將代入y6x得2y6，yx，即yx為所求方法技巧伸縮變換的解題方法平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下得到的方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程即時演練1求橢圓y21，經過伸縮變換后的曲線方程解：由得將代入y21，得y21，即x2y21.因此橢圓y21經伸縮變換

6、后得到的曲線方程是x2y21.2若函數(shù)yf(x)的圖象在伸縮變換：的作用下得到曲線的方程為y3sin，求函數(shù)yf(x)的最小正周期解：由題意，把變換公式代入曲線y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期為.極坐標與直角坐標的互化典例在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系直線l的極坐標方程為sin，直線與曲線C：sin28cos 相交于不同的兩點A，B，求|AB|的值解l：sincos sin xy10，C的直角坐標方程是y28x.由可得x210x10，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x210，x1x21，

7、所以AB的長為8.方法技巧1極坐標與直角坐標互化公式的3個前提條件(1)取直角坐標系的原點為極點(2)以x軸的非負半軸為極軸(3)兩種坐標系規(guī)定相同的長度單位2直角坐標化為極坐標的注意點(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角的表示方法具有周期性，故點M的極坐標(，)的形式不唯一，即一個點的極坐標有無窮多個當限定0，0,2)時，除極點外，點M的極坐標是唯一的(2)當把點的直角坐標化為極坐標時，求極角應注意判斷點M所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角0,2)的值即時演練在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos1(00)，直線l：cos，C與l有

8、且只有一個公共點(1)求a的值；(2)若原點O為極點，A，B為曲線C上兩點，且AOB，求|OA|OB|的最大值解：(1)由已知在直角坐標系中，C：x2y22ax0(xa)2y2a2(a0)；l：xy30.因為C與l只有一個公共點，所以l與C相切，即a，則a1.(2)設A(1，)，則B，|OA|OB|122cos 2cos3cos sin 2cos.所以，當時，(|OA|OB|)max2.6在平面直角坐標系xOy中，直線C1：xy40，曲線C2：x2(y1)21，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若曲線C3的極坐標方程為，且曲線C3分別交C1，C2

9、于點A，B，求的最大值解：(1)xcos ，ysin ，C1：cos sin 40，C2：2sin .(2)曲線C3為，設A(1，)，B(2，)，1，22sin ，則2sin (cos sin )2sin21，當時，max.7平面直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y21，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4sin，射線OM的極坐標方程為0(0)(1)寫出曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；(2)若射線OM平分曲線C2，且與曲線C1交于點A，曲線C1上的點滿足AOB，求|AB|.解：(1)曲線C1的極坐標方程為2，曲線C2的直角坐標方程為(x)2

10、(y1)24.(2)曲線C2是圓心為(，1)，半徑為2的圓，射線OM的極坐標方程為(0)，代入2，可得2.又AOB，|AB|.8已知在一個極坐標系中點C的極坐標為.(1)求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標方程(寫出解題過程)并畫出圖形；(2)在直角坐標系中，以圓C所在極坐標系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，點P是圓C上任意一點，Q(5，)，M是線段PQ的中點，當點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程解：(1)作出圖形如圖所示，設圓C上任意一點A(，)，則AOC或.由余弦定理得，424cos4，圓C的極坐標方程為4cos.(2)在直角坐標系中，點C的坐標為(1，)，可設圓

11、C上任意一點P(12cos ，2sin )，設M(x，y)，由Q(5，)，M是線段PQ的中點，得點M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，即(為參數(shù))，點M的軌跡的普通方程為(x3)2y21.第2課參數(shù)方程過雙基1參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線C上任意一點P的坐標x，y是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由函數(shù)式所確定的點P(x，y)都在曲線C上，那么方程叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程2直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)過點M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓心在點M

12、0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))1參數(shù)方程(t為參數(shù))與極坐標方程sin 所表示的圖形分別是_解析：將參數(shù)方程消去參數(shù)t，得2xy50，對應圖形為直線由sin ，得2sin ，即x2y2y，即x22，對應圖形為圓答案：直線、圓2曲線(為參數(shù))與直線yx2的交點坐標為_解析：曲線的直角坐標方程為yx2.將其與直線方程聯(lián)立得x2x20，x1或x2.由xsin 知，x2不合題意x1，y1，交點坐標為(1,1)答案：(1,1)3設曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的方程為x3y20，則曲線C上到直線l距離為的點的個數(shù)為_解析：曲線C的參

13、數(shù)方程為(為參數(shù))，(x2)2(y1)29，圓心(2，1)到直線l的距離d.又3，有2個點答案：24參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為_解析：x，y4343x.又x20,2)，x0,2)，所求的普通方程為3xy40(x0,2)答案：3xy40(x0,2)清易錯1在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則不等價2直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|t|.1直線yx1上的點到曲線上的點的最近距離是_解析：由得(x2)2(y1)21，圓心坐標為(2,1)，故圓心到直

14、線xy10的距離d2，直線上的點到圓上的點的最近距離是dr21.答案：212直線(t為參數(shù))與圓(為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為_解析：直線的普通方程為bxay4b0，圓的普通方程為(x2)2y23，因為直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有 ，即3a23b24b2，所以ba，而直線的傾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切線的傾斜角或.答案：或參數(shù)方程與普通方程的互化典例已知橢圓C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(2)設A(1,0)，若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等，求點P的坐標解(1)橢圓C：(為參數(shù))，直線l

15、：xy90.(2)設P(2cos ，sin )，則|AP| 2cos ，點P到直線l的距離d.由|AP|d，得3sin 4cos 5，又sin2cos21，得sin ，cos .故P.方法技巧將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關系式消參，如sin2cos21等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解即時演練將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(k為參數(shù))；(2)(為參數(shù))解：(1)兩式相除，得k，將其代入x

16、，得x，化簡得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，故所求的普通方程為y22x，x0,2參數(shù)方程典例在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度已知曲線C：sin22acos (a0)，過點P(2，4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C分別交于M，N，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值解曲線C的直角坐標方程為y22ax(a0)，將直線l的參數(shù)方程化為(t為參數(shù))，代入曲線C的方程得：t2(4a)t164a0，則0，

17、即a0或a4.設交點M，N對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t22(4a)，t1t22(164a)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，則|t1t2|2|t1t2|，解得a1或a4(舍去)，所以滿足條件的a1.方法技巧(1)解決直線與圓的參數(shù)方程的應用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關系來解決問題(2)對于形如(t為參數(shù))當a2b21時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題即時演練已知直線l：xy10與拋物線yx2相交于A，B兩點，求線段AB的長度和點M(1,2)到A，B兩點的距離之積解：因為直線l過定點M，且l的傾斜角為，所以它的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為

18、參數(shù))，把它代入拋物線的方程，得t2t20，由根與系數(shù)的關系得t1t2，t1t22，由參數(shù)t的幾何意義可知|AB|t1t2|，|MA|MB|t1t2|2.極坐標、參數(shù)方程的綜合應用典例(2017全國卷)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：(cos sin )0，M為l3與C的交點，求M的極徑解(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y(x2)設P(x，y)，由題

19、設得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標方程為2(cos2sin2)4(02，)聯(lián)立得cos sin 2(cos sin )故tan ，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交點M的極徑為.方法技巧處理極坐標、參數(shù)方程綜合問題的方法(1)涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程(2)數(shù)形結合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的即時演練在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極

20、點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為：，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，0)(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)設直線與曲線C交于兩點A，B，且線段AB的中點為M(2，2)，求.解：(1)曲線C：，即sin24cos ，于是有2sin24cos ，化為直角坐標方程為y24x. (2)法一： 把x2tcos ，y2tsin 代入y24x，得(2tsin )24(2tcos )，即t2sin2(4sin 4cos )t40.由AB的中點為M(2,2)得t1t20，有4sin 4cos 0，所以ktan 1.由0，得.法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(y1y2)(y1y

21、2)4(x1x2)y1y24，k1tan 1，由00，t20，所以|PA|t1，|PB|t2，所以|PA|PB|t1t2|.5已知直線l：(t為參數(shù))，曲線C1：(為參數(shù))(1)設l與C1相交于A，B兩點，求|AB|；(2)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線C2，設點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l距離的最小值解：(1)由已知得l的普通方程為y(x1)，C1的普通方程為x2y21，聯(lián)立方程解得l與C1的交點為A(1,0)，B，則|AB|1.(2)由題意，得C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，故點P的坐標為，從而點P到直線l的距離是dsin2，當sin1時，d

22、取得最小值，且最小值為.6在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為.(1)直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標方程；(2)設曲線C上的點到直線l的距離為d，求d的取值范圍解：(1)直線l的普通方程為xy30，曲線C的直角坐標方程為3x2y23.(2)曲線C的直角坐標方程為3x2y23，即x21，曲線C上的點的坐標可表示為(cos ，sin )，d.d的最小值為，d的最大值為.d，即d的取值范圍為.7平面直角坐標系xOy中，曲線C：(x1)2y21.直線l經過點P(m,0)，且傾斜角為，以O為極點，x軸正半軸

23、為極軸，建立極坐標系(1)寫出曲線C的極坐標方程與直線l的參數(shù)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|PB|1，求實數(shù)m的值解：(1)曲線C的直角坐標方程為：(x1)2y21，即x2y22x，即22cos ，所以曲線C的極坐標方程為2cos .直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2y22x中，得t2(m)tm22m0，所以t1t2m22m，由題意得|m22m|1，解得m1或m1或m1.8已知直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，圓C的極坐標方程為4cos.(1)求圓心C的直角坐標；(2)由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值解：(1)4cos2cos 2sin ，22cos 2sin ，圓C的直角坐標方程為x2y22x2y0，即(x)2(y)24，圓心的直角坐標為(，)(2)直線l上的點向圓C引切線，則切線長為4，直線l上的點向圓C引的切線長的最小值為4.24