（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文

坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1課坐標(biāo)系過(guò)雙基1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換2極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為.極坐標(biāo)：有序數(shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則它們之間的關(guān)系為：4常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程r(0<2)圓心為，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程2rsin (0<)過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程(R)或(R)過(guò)點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程cos a過(guò)點(diǎn)，與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程sin a(0<<)1點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)在第四象限，與原點(diǎn)的距離為2，且OP與x軸所成的角為，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.答案：2在極坐標(biāo)系中，圓2cos 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為_解析：把圓2cos 的方程化為(x1)2y21知，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為x0和x2，從而得這兩條切線的極坐標(biāo)方程為(R)和cos 2.答案：(R)和cos 23(2017·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓22cos 4sin 40上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為_解析：將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圓心為(1,2)，半徑r1.因?yàn)辄c(diǎn)P(1,0)到圓心的距離d2>1，所以點(diǎn)P在圓外，所以|AP|的最小值為dr211.答案：14(2017·天津高考)在極坐標(biāo)系中，直線4cos10與圓2sin 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_解析：依題意，得410，即2cos 2sin 10，所以直線的直角坐標(biāo)方程為2x2y10.由2sin ，得22sin ，所以圓的直角坐標(biāo)方程為x2y22y，即x2(y1)21，其圓心(0,1)到直線2x2y10的距離d<1，則直線與圓相交，故直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.答案：25在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A引圓8sin 的一條切線，則切線長(zhǎng)為_解析：點(diǎn)A的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為A(0，1)，圓8sin 的直角坐標(biāo)方程為x2y28y0，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y4)216，點(diǎn)A與圓心C(0,4)的距離為|AC|5，所以切線長(zhǎng)為3.答案：3清易錯(cuò)1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化易錯(cuò)用互化公式在解決此類問(wèn)題時(shí)考生要注意兩個(gè)方面：一是準(zhǔn)確應(yīng)用公式，二是注意方程中的限制條件2在極坐標(biāo)系下，點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一性易忽視注意極坐標(biāo)(，)(，2k)(kZ)，(，2k)(kZ)表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)1若圓C的極坐標(biāo)方程為24cos10，若以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系xOy，則在直角坐標(biāo)系中，圓心C的直角坐標(biāo)是_解析：因?yàn)?4cos10，所以22cos 2sin 10，即x2y22x2y10，因此圓心坐標(biāo)為(1，)答案：(1，)2圓5cos 5sin 的圓心的極坐標(biāo)為_解析：將方程 5cos 5sin 兩邊都乘以得：25cos 5sin ，化成直角坐標(biāo)方程為x2y25x5y0.圓心的坐標(biāo)為，化成極坐標(biāo)為.答案：(答案不唯一)平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換典例(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：求點(diǎn)A經(jīng)過(guò)變換所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)(2)求直線l：y6x經(jīng)過(guò)：變換后所得到的直線l的方程解(1)設(shè)A(x，y)，由伸縮變換：得到由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是x3×1，y×(2)1，A(1，1)為所求(2)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x，y)，由上述可知，將代入y6x得2y6×，yx，即yx為所求方法技巧伸縮變換的解題方法平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下得到的方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程即時(shí)演練1求橢圓y21，經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線方程解：由得將代入y21，得y21，即x2y21.因此橢圓y21經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2y21.2若函數(shù)yf(x)的圖象在伸縮變換：的作用下得到曲線的方程為y3sin，求函數(shù)yf(x)的最小正周期解：由題意，把變換公式代入曲線y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期為.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化典例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系直線l的極坐標(biāo)方程為sin，直線與曲線C：sin28cos 相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|的值解l：sincos sin xy10，C的直角坐標(biāo)方程是y28x.由可得x210x10，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x210，x1x21，所以AB的長(zhǎng)為·8.方法技巧1極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的3個(gè)前提條件(1)取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)(2)以x軸的非負(fù)半軸為極軸(3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長(zhǎng)度單位2直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的注意點(diǎn)(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角的表示方法具有周期性，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)(，)的形式不唯一，即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)窮多個(gè)當(dāng)限定0，0,2)時(shí)，除極點(diǎn)外，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的(2)當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，求極角應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角0,2)的值即時(shí)演練在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1(0<2)，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程解：(1)由cos1，得1.從而C的直角坐標(biāo)方程為xy1，即xy20.當(dāng)0時(shí)，2，所以M(2,0)當(dāng)時(shí)，所以N.(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為.所以直線OP的極坐標(biāo)方程為(R)極坐標(biāo)方程的應(yīng)用典例已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離解(1)C1：sin，C2：2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的極坐標(biāo)方程為，把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q兩點(diǎn)間的距離為1.方法技巧曲線的極坐標(biāo)方程的求解策略在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決即時(shí)演練在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的普通方程為(x1)2y21.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的極坐標(biāo)方程是(sin cos )3，射線OM：與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)解：(1)因?yàn)閳AC的普通方程為(x1)2y21，又xcos ，ysin ，所以圓C的極坐標(biāo)方程是2cos .(2)設(shè)(1，1)為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，則有解得設(shè)(2，2)為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，則有解得由于12，所以|PQ|12|2，即線段PQ的長(zhǎng)為2.1(2017·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16，得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)，由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos ·22.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.2(2015·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積解：(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.3(2016·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，直線cos sin 10與圓2cos 交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解：xcos ，ysin ，直線的直角坐標(biāo)方程為xy10.2cos ，2(sin2cos2)2cos ，x2y22x.圓的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21.圓心(1,0)在直線xy10上，AB為圓的直徑，|AB|2.4(2015·安徽高考改編)在極坐標(biāo)系中，求圓8sin 上的點(diǎn)到直線(R)距離的最大值解：圓8sin 即28sin ，化為直角坐標(biāo)方程為x2(y4)216，直線 即tan ，化為直角坐標(biāo)方程為xy0，圓心(0,4)到直線的距離為2，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為246.5(2015·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)到直線(cos sin )6的距離解：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線(cos sin )6的直角坐標(biāo)方程為xy60.所以點(diǎn)(1，)到直線的距離d1.1在極坐標(biāo)系中，直線(sin cos )a與曲線2cos 4sin 相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，求實(shí)數(shù)a的值解：直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為xya0，曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y2)25，所以圓心C的坐標(biāo)為(1，2)，半徑r，所以圓心C到直線的距離為 ，解得a5或a1.故實(shí)數(shù)a的值為5或1.2在極坐標(biāo)系中，求直線cos1與圓4sin 的交點(diǎn)的極坐標(biāo)解：cos1化為直角坐標(biāo)方程為xy2，即yx2.4sin 可化為x2y24y，把yx2代入x2y24y，得4x28x120，即x22x30，所以x，y1.所以直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，化為極坐標(biāo)為.3(2018·長(zhǎng)春模擬)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22cos2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程解：(1)由2知24，所以x2y24；因?yàn)?2cos2，所以222，所以x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為xy1.化為極坐標(biāo)方程為cos sin 1，即sin.4已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)l1：，l2：，若l1，l2與曲線C相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn) A，B ，求AOB的面積解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C的普通方程為(x2)2(y1)25，將代入并化簡(jiǎn)得4cos 2sin ，即曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos 2sin .(2)在極坐標(biāo)系中，C：4cos 2sin ，由得|OA|21，同理：|OB|2.又AOB，SAOB|OA|·|OB|sinAOB，即AOB的面積為.5在坐標(biāo)系中，曲線C：2acos (a>0)，直線l：cos，C與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(1)求a的值；(2)若原點(diǎn)O為極點(diǎn)，A，B為曲線C上兩點(diǎn)，且AOB，求|OA|OB|的最大值解：(1)由已知在直角坐標(biāo)系中，C：x2y22ax0(xa)2y2a2(a>0)；l：xy30.因?yàn)镃與l只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以l與C相切，即a，則a1.(2)設(shè)A(1，)，則B，|OA|OB|122cos 2cos3cos sin 2cos.所以，當(dāng)時(shí)，(|OA|OB|)max2.6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：xy40，曲線C2：x2(y1)21，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若曲線C3的極坐標(biāo)方程為，且曲線C3分別交C1，C2于點(diǎn)A，B，求的最大值解：(1)xcos ，ysin ，C1：cos sin 40，C2：2sin .(2)曲線C3為，設(shè)A(1，)，B(2，)，1，22sin ，則×2sin (cos sin )2sin21，當(dāng)時(shí)，max.7平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y21，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin，射線OM的極坐標(biāo)方程為0(0)(1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若射線OM平分曲線C2，且與曲線C1交于點(diǎn)A，曲線C1上的點(diǎn)滿足AOB，求|AB|.解：(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為2，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x)2(y1)24.(2)曲線C2是圓心為(，1)，半徑為2的圓，射線OM的極坐標(biāo)方程為(0)，代入2，可得2.又AOB，|AB|.8已知在一個(gè)極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為.(1)求出以C為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過(guò)程)并畫出圖形；(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，Q(5，)，M是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的普通方程解：(1)作出圖形如圖所示，設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(，)，則AOC或.由余弦定理得，424cos4，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(2)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，)，可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P(12cos ，2sin )，設(shè)M(x，y)，由Q(5，)，M是線段PQ的中點(diǎn)，得點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，即(為參數(shù))，點(diǎn)M的軌跡的普通方程為(x3)2y21.第2課參數(shù)方程過(guò)雙基1參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由函數(shù)式所確定的點(diǎn)P(x，y)都在曲線C上，那么方程叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)過(guò)點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))1參數(shù)方程(t為參數(shù))與極坐標(biāo)方程sin 所表示的圖形分別是_解析：將參數(shù)方程消去參數(shù)t，得2xy50，對(duì)應(yīng)圖形為直線由sin ，得2sin ，即x2y2y，即x22，對(duì)應(yīng)圖形為圓答案：直線、圓2曲線(為參數(shù))與直線yx2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_解析：曲線的直角坐標(biāo)方程為yx2.將其與直線方程聯(lián)立得x2x20，x1或x2.由xsin 知，x2不合題意x1，y1，交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)答案：(1,1)3設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的方程為x3y20，則曲線C上到直線l距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_解析：曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，(x2)2(y1)29，圓心(2，1)到直線l的距離d.又<3，>3，有2個(gè)點(diǎn)答案：24參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為_解析：x，y43×43x.又x20,2)，x0,2)，所求的普通方程為3xy40(x0,2)答案：3xy40(x0,2)清易錯(cuò)1在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則不等價(jià)2直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|t|.1直線yx1上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的最近距離是_解析：由得(x2)2(y1)21，圓心坐標(biāo)為(2,1)，故圓心到直線xy10的距離d2，直線上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最近距離是dr21.答案：212直線(t為參數(shù))與圓(為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為_解析：直線的普通方程為bxay4b0，圓的普通方程為(x2)2y23，因?yàn)橹本€與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有 ，即3a23b24b2，所以b±a，而直線的傾斜角的正切值tan ，所以tan ±，因此切線的傾斜角或.答案：或參數(shù)方程與普通方程的互化典例已知橢圓C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(2)設(shè)A(1,0)，若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解(1)橢圓C：(為參數(shù))，直線l：xy90.(2)設(shè)P(2cos ，sin )，則|AP| 2cos ，點(diǎn)P到直線l的距離d.由|AP|d，得3sin 4cos 5，又sin2cos21，得sin ，cos .故P.方法技巧將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ?jiàn)的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2cos21等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解即時(shí)演練將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(k為參數(shù))；(2)(為參數(shù))解：(1)兩式相除，得k，將其代入x，得x，化簡(jiǎn)得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，故所求的普通方程為y22x，x0,2參數(shù)方程典例在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度已知曲線C：sin22acos (a>0)，過(guò)點(diǎn)P(2，4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C分別交于M，N，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值解曲線C的直角坐標(biāo)方程為y22ax(a>0)，將直線l的參數(shù)方程化為(t為參數(shù))，代入曲線C的方程得：t2(4a)t164a0，則>0，即a>0或a<4.設(shè)交點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t22(4a)，t1t22(164a)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，則|t1t2|2|t1t2|，解得a1或a4(舍去)，所以滿足條件的a1.方法技巧(1)解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題(2)對(duì)于形如(t為參數(shù))當(dāng)a2b21時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題即時(shí)演練已知直線l：xy10與拋物線yx2相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度和點(diǎn)M(1,2)到A，B兩點(diǎn)的距離之積解：因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)M，且l的傾斜角為，所以它的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))，把它代入拋物線的方程，得t2t20，由根與系數(shù)的關(guān)系得t1t2，t1·t22，由參數(shù)t的幾何意義可知|AB|t1t2|，|MA|·|MB|t1t2|2.極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用典例(2017·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cos sin )0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑解(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y(x2)設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2sin2)4(02，)聯(lián)立得cos sin 2(cos sin )故tan ，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交點(diǎn)M的極徑為.方法技巧處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問(wèn)題的方法(1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的即時(shí)演練在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，0<)(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)為M(2，2)，求.解：(1)曲線C：，即sin24cos ，于是有2sin24cos ，化為直角坐標(biāo)方程為y24x. (2)法一： 把x2tcos ，y2tsin 代入y24x，得(2tsin )24(2tcos )，即t2sin2(4sin 4cos )t40.由AB的中點(diǎn)為M(2,2)得t1t20，有4sin 4cos 0，所以ktan 1.由0<，得.法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(y1y2)(y1y2)4(x1x2)y1y24，k1tan 1，由0<，得.1(2017·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)若a1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a.解：(1)曲線C的普通方程為y21.當(dāng)a1時(shí)，直線l的普通方程為x4y30，由解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，.(2)直線l的普通方程為x4ya40，故C上的點(diǎn)(3cos ，sin )到l的距離為d.當(dāng)a4時(shí)，d的最大值為 .由題設(shè)得，解得a8；當(dāng)a4時(shí)，d的最大值為.由題設(shè)得，解得a16.綜上，a8或a16.2(2016·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|，求l的斜率解：(1)由xcos ，ysin 可得圓C的極坐標(biāo)方程為212cos 110.(2)法一：在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為1，2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得212cos 110，于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan ±.所以直線l的斜率為或.法二：由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)得yx·tan .設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為kxy0.由圓C的方程(x6)2y225知，圓心坐標(biāo)為(6,0)，半徑為5.又|AB|，由垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式得 ，即，整理得k2，解得k±，即直線l的斜率為±.3(2015·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.4(2014·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)解：(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓因?yàn)镚在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐標(biāo)為，即.1(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值解：直線l的普通方程為x2y80.因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2s)，從而點(diǎn)P到直線l的距離d.當(dāng)s時(shí)，dmin.因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí)，曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值.2已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(為參數(shù))(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最小值解：(1)曲線C1：(x4)2(y3)21，曲線C2：1，曲線C1是以(4,3)為圓心，1為半徑的圓；曲線C2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓(2)當(dāng)t時(shí)，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M24cos ，2sin .曲線C3為直線x2y70，M到C3的距離d|4cos 3sin 13|，從而當(dāng)cos ，sin 時(shí)，d取最小值.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，C2的極坐標(biāo)方程22cos 30.(1)說(shuō)明C2是哪種曲線，并將C2的方程化為普通方程；(2)C1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，點(diǎn)P的極坐標(biāo)，求線段AB的長(zhǎng)及定點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積解：(1)C2是圓，C2的極坐標(biāo)方程22cos 30，化為普通方程為x2y22x30，即(x1)2y24.(2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1)，且在直線C1上，將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2y22x30，得22230，化簡(jiǎn)得t2t30.設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，t1·t23，所以|AB|t1t2|，定點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積|PA|·|PB|t1t2|3.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，定點(diǎn)P(1,1)(1)以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，單位長(zhǎng)度與平面直角坐標(biāo)系下的單位長(zhǎng)度相同建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)已知直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|PB|的值解：(1)依題意得圓C的一般方程為(x1)2y24，將xcos ，ysin 代入上式得22cos 30，所以圓C的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(2)因?yàn)槎c(diǎn)P(1,1)在直線l上，所以直線l的參數(shù)方程可表示為(t為參數(shù))代入(x1)2y24，得t2t30.設(shè)點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則t1t2，t1t23.所以t1，t2異號(hào)，不妨設(shè)t1>0，t2<0，所以|PA|t1，|PB|t2，所以|PA|PB|t1t2|.5已知直線l：(t為參數(shù))，曲線C1：(為參數(shù))(1)設(shè)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；(2)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線C2，設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l距離的最小值解：(1)由已知得l的普通方程為y(x1)，C1的普通方程為x2y21，聯(lián)立方程解得l與C1的交點(diǎn)為A(1,0)，B，則|AB|1.(2)由題意，得C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)P到直線l的距離是dsin2，當(dāng)sin1時(shí)，d取得最小值，且最小值為.6在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的取值范圍解：(1)直線l的普通方程為xy30，曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2y23.(2)曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2y23，即x21，曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(cos ，sin )，d.d的最小值為，d的最大值為.d，即d的取值范圍為.7平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(x1)2y21.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,0)，且傾斜角為，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|·|PB|1，求實(shí)數(shù)m的值解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為：(x1)2y21，即x2y22x，即22cos ，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos .直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2y22x中，得t2(m)tm22m0，所以t1t2m22m，由題意得|m22m|1，解得m1或m1或m1.8已知直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(1)求圓心C的直角坐標(biāo)；(2)由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長(zhǎng)的最小值解：(1)4cos2cos 2sin ，22cos 2sin ，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0，即(x)2(y)24，圓心的直角坐標(biāo)為(，)(2)直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，則切線長(zhǎng)為4，直線l上的點(diǎn)向圓C引的切線長(zhǎng)的最小值為4.24