（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 專題四 第1講 直線與圓學案 理

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1、第1講直線與圓高考定位高考對本內容的考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題、直線與圓的位置關系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以填空題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)解答題，多考查其幾何圖形的性質或方程知識.多為B級或C級要求.真 題 感 悟1.(2015江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_.解析直線mxy2m10恒過定點(2，1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r.故所求圓的標準方程為(x1)2y22.答案(x1)2y222.(2017江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A(12，0)，

2、B(0，6)，點P在圓O：x2y250上.若20，則點P的橫坐標的取值范圍是_.解析設點P(x，y)，且A(12，0)，B(0，6)，則(12x，y)(x，6y)x(12x)y(y6)20，又x2y250，2xy50，則點P在直線2xy50上方的圓弧上(含交點).聯(lián)立解得x5或x1，結合圖形知，5x1.故點P橫坐標的取值范圍是5，1.答案5，13.(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2，4).(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且

3、BCOA，求直線l的方程；(3)設點T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍.解(1)圓M的方程化為標準形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6，7)，半徑r5，由題意，設圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可設直線l的方程為y2xm，即2xym0.又BCOA2.由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d2.即2，解得m5或m15.直線l的方程為y2x5或y2x15.(3)由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P，Q為圓M上的兩點，PQ2r10.TAPQ10，即10，解得22t2

4、2.故所求t的范圍為22，22.考 點 整 合1.兩直線平行或垂直(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在且l1與l2不重合時，l1l2.(2)兩條直線垂直：對于兩條直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k21.特別地，當l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零時，l1l2.2.圓的方程(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r；對于二元二次方程A

5、x2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是3.直線方程的五種形式中只有一般式可以表示所有的直線.在利用直線方程的其他形式解題時，一定要注意它們表示直線的局限性.比如，根據“在兩坐標軸上的截距相等”這個條件設方程時一定不要忽略過原點的特殊情況.而題中給出直線方程的一般式，我們通常先把它轉化為斜截式再進行處理.4.處理有關圓的問題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用，如弦心距、半徑、弦長的一半構成直角三角形經常用到，利用圓的一些特殊幾何性質解題，往往使問題簡化.5.直線與圓中常見的最值問題(1)圓外一點與圓上任一點的距離的最值.(2)直線與圓相離，圓上任一點到直線的距離的最值.(3)過圓

6、內一定點的直線被圓截得弦長的最值.(4)直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題.(5)兩圓相離，兩圓上點的距離的最值.熱點一直線與圓的基本問題考法1求圓的方程【例11】 (2018揚州期末)圓心在直線2xy70上的圓C與y軸交于A(0，4)，B(0，2)兩點，則圓C的方程為_.解析因為圓C過點A(0，4)，B(0，2)，所以圓心C的縱坐標為3.又圓心C在直線2xy70上，所以圓心C為(2，3)，從而圓的半徑為rAC，故所求的圓的方程為(x2)2(y3)25.答案(x2)2(y3)25探究提高求具備一定條件的圓的方程時，其關鍵是尋找確定圓的兩個幾何要素，即圓心和半徑，待定系數(shù)法

7、也是經常使用的方法，在一些問題中借助平面幾何中關于圓的知識可以簡化計算，如已知一個圓經過兩個點時，其圓心一定在這兩點連線的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應用.考法2圓的切線問題【例12】 (1)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為_.(2)若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_.解析(1)由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小(D為切點)，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2xy40相切，所以由平面幾何

8、知識，當OC所在直線與l垂直時，OD最小(D為切點)，即圓C的直徑最小，則OD，所以圓的半徑為，圓C的面積的最小值為Sr2.(2)依題意得OO1A是直角三角形，且|m|3.OO1|m|5，SOO1AOO1OAAO1，因此AB4.答案(1)(2)4探究提高(1)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式.(2)過圓外一點求解切線長轉化為圓心到圓外點距離，利用勾股定理處理.考法3與圓有關的弦長問題【例13】 (1)(2018全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點，則AB_.(2)過三點A(1，3)，B(4，

9、2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點，則MN_.解析(1)由題意知圓的方程為x2(y1)24，所以圓心坐標為(0，1)，半徑為2，則圓心到直線yx1的距離d，所以AB22.(2)由已知，得(3，1)，(3，9)，則3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故過三點A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以MN|y1y2|4.答案(1)2(2)4探究提高涉及直線被圓截得的弦長問題，一般有兩種求解方法：一是利用半徑r，弦心距d，弦長l的一半構成直角三角形，結合勾股定理d2r2求解；二是若斜率為k的直線l與圓C交于A(x1

10、，y1)，B(x2，y2)兩點，則AB|x1x2|.【訓練1】 設直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若AB2，則圓C的面積為_.解析圓C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圓心為C(0，a)，半徑r，C到直線yx2a的距離為d.又由AB2，得a22，解得a22，所以圓的面積為(a22)4.答案4熱點二直線與圓、圓與圓的位置關系【例2】 已知過原點的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；(3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范

11、圍；若不存在，說明理由.解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圓C1的圓心坐標為(3，0).(2)設線段AB的中點M的坐標為(x，y)，當線段AB不在x軸上時，有C1MAB，則kC1MkAB1，即1，整理得y2，又當直線l與圓C1相切時，易求得切點的橫坐標為.所以此時M的軌跡C的方程為y2.當線段AB在x軸上時，點M的坐標為(3，0)，也滿足式子y2.綜上，線段AB的中點M的軌跡C的方程為y2.(3)由(2)知點M的軌跡是以C為圓心，r為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點)，且E，F(xiàn).又直線L：yk(x4)過定點D(4，0)，當直線L與圓C相切時，由，得k，又kDEkDF

12、，結合圖形可知當k時，直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點.探究提高此類題易失分點有兩處：一是不會適時分類討論，遇到直線問題，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是數(shù)形結合求參數(shù)的取值范圍時，定要注意“草圖不草”，如本題，畫成軌跡C時，若把端點E，F(xiàn)畫出實心點，借形解題時求出的斜率就會出錯.【訓練2】 (1)(2018常州調研)在平面直角坐標系xOy中，若圓(x2)2(y2)21上存在點M，使得點M關于x軸的對稱點N在直線kxy30上，則實數(shù)k的最小值為_.(2)(2017南京、鹽城模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知點P為函數(shù)y2ln x的圖象與圓M：(x3)2y2r2的公共點，且它們在

13、點P處有公切線，若二次函數(shù)yf(x)的圖象經過點O，P，M，則yf(x)的最大值為_.解析(1)圓(x2)2(y2)21關于x軸的對稱圓的方程為(x2)2(y2)21，由題意得圓心(2，2)到直線kxy30的距離d1，解得k0，所以實數(shù)k的最小值為.(2)設P(x0，2ln x0)，x00，則函數(shù)y2ln x在點P處的切線斜率為，則1，即為4ln x0x0(x03).由二次函數(shù)yf(x)的圖象經過點O和M可設f(x)ax(x3)，代入點P(x0，2ln x0)，x00，得2ln x0ax0(x03).由比較可得a，則f(x)x(x3)，則f(x)maxf.答案(1)(2)熱點三直線、圓與其他知

14、識的交匯問題【例3】 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A為橢圓1的右頂點，點D(1，0)，點P，B在橢圓上，.(1)求直線BD的方程；(2)求直線BD被過P，A，B三點的圓C截得的弦長；(3)是否存在分別以PB，PA為弦的兩個相外切的等圓？若存在，求出這兩個圓的方程；若不存在，請說明理由.解(1)因為且A(3，0)，D(1，0)，所以BPDA2，而B，P關于y軸對稱，所以點P的橫坐標為1，從而得P(1，2)，B(1，2)，所以直線BD的方程為xy10.(2)線段BP的垂直平分線方程為x0，線段AP的垂直平分線方程為yx1，所以圓C的圓心為(0，1)，且圓C的半徑為r，又圓心(0，1)到直

15、線BD的距離為d，所以直線BD被圓C截得的弦長為24.(3)假設存在這樣的兩個圓M與圓N，其中PB是圓M的弦，PA是圓N的弦，則點M一定在y軸上，點N一定在線段PA的垂直平分線yx1上，當圓M和圓N是兩個相外切的等圓時，一定有P，M，N在一條直線上，且PMPN.設M(0，b)，則N(2，4b)，根據N(2，4b)在直線yx1上，解得b3.所以M(0，3)，N(2，1)，PMPN，故存在這樣的兩個圓，且方程分別為x2(y3)22，(x2)2(y1)22.探究提高求圓中弦長問題，多用垂徑定理，先計算圓心到直線的距離，再利用弦長公式AB2；求圓的方程問題常見于找出圓心和半徑，對于兩圓的位置關系則多借

16、助于幾何關系進行判定.【訓練3】 (2018南通二模)在平面直角坐標系xOy中，已知A，B為圓C：(x4)2(ya)216上的兩個動點，且AB2.若直線l：y2x上存在唯一的一個點P，使得，則實數(shù)a的值為_.解析法一設AB的中點M(x0，y0)，P(x，y)，則由AB2得，CM，即點M的軌跡為(x04)2(y0a)25.又因為，所以，即(x0x，y0y)，從而則動點P的軌跡方程為(x2)25，又因為直線l上存在唯一的一個點P，所以直線l和動點P的軌跡(圓)相切，則，解得a2或a18.法二由題意，圓心C到直線AB的距離d，則AB中點M的軌跡方程為(x4)2(ya)25.由得2，所以.連接CM并延

17、長交l于點N，則CN2CM2.故問題轉化為直線l上存在唯一的一個點N，使得CN2，所以點C到直線l的距離為2，解得a2或a18.答案2或181.由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式、斜截式時要注意斜率不存在的情況.2.確定圓的方程時，常用到圓的幾個性質：(1)直線與圓相交時應用垂徑定理構成直角三角形(半弦長、弦心距、圓半徑)；(2)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(5)圓的對稱性：圓關于圓心成中心對稱，

18、關于任意一條過圓心的直線成軸對稱.3.直線與圓中常見的最值問題圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到圓心的距離問題.4.兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程.一、填空題1.(2018天津卷)在平面直角坐標系中，經過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為_.解析設圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則解得D2，E0，F(xiàn)0，即圓的方程為x2y22x0.答案x2y22x02.(20

19、14江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_.解析圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22.答案3.(2018泰州期末)在平面直角坐標系xOy中，已知過點A(2，1)的圓C與直線xy1相切，且圓心在直線y2x上，則圓C的標準方程為_.解析法一(幾何法)點A(2，1)在直線xy1上，故點A是切點.過點A(2，1)與直線xy10垂直的直線方程為xy3，由解得所以圓心C(1，2).又AC，所以圓C的標準方程為(x1)2(y2)22.法二(方程法)由圓心在直線y2x上，可設圓心為(a，2a)，圓的標準方程為(xa)2(y2a)2r2

20、(r0).要確定兩個待定量a，r2的值，只需建立兩個含a，r2的等式，建立方程組求解.由圓C過點A(2，1)，且與直線xy1相切，得即解得所以圓C的標準方程為(x1)2(y2)22.答案(x1)2(y2)224.(2017宿遷模擬)已知A，B是圓C1：x2y21上的動點，AB，P是圓C2：(x3)2(y4)21上的動點，則|的取值范圍為_.解析設AB的中點為C，由垂徑定理可得CC1AB，則CC1，即點C的軌跡方程是x2y2，C1C25，則PCmax51，PCmin51，所以|2|7，13.答案7，135.(2018蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x1)2y22，點A(

21、2，0)，若圓C上存在點M，滿足MA2MO210，則點M的縱坐標的取值范圍是_.解析設M(x，y)，因為MA2MO210，所以(x2)2y2x2y210，化簡得x2y22x30，則圓C：x2y22x10與圓C：x2y22x30有公共點，將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線的方程為x，代入x2y22x30可得y，所以點M的縱坐標的取值范圍是.答案6.(2018全國卷改編)直線xy20分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是_.解析由題意知圓心的坐標為(2，0)，半徑r，圓心到直線xy20的距離d2，所以圓上的點到直線的最大距離是dr3，最小距離是dr.

22、易知A(2，0)，B(0，2)，所以AB2，所以2SABP6.答案2，67.過雙曲線1(a0，b0)的左焦點F作圓x2y2a2的切線，切點為E，直線EF交雙曲線右支于點P，若()，則雙曲線的離心率是_.解析如圖，()，E為FP的中點，又O為FF的中點，OE為PFF的中位線，OEPF，OEPF，OEa，PFa，PF切圓O于E，OEPF，PFPF，F(xiàn)F2c，PFPF2a，PF2aa3a，由勾股定理得a29a24c2，10a24c2，e.答案8.直線axby1與圓x2y21相交于A，B兩點(其中a，b是實數(shù))，且AOB是直角三角形(O是坐標原點)，則點P(a，b)與點(0，1)之間距離的最小值為_.

23、解析根據題意畫出圖形，如圖所示，過點O作OCAB于C，因為AOB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點，又OAOB1，根據勾股定理得AB，OCAB.圓心到直線的距離為，即2a2b22，即a2b210.b.則點P(a，b)與點(0，1)之間距離d.設f(b)b22b2(b2)2，此函數(shù)為對稱軸為b2的開口向上的拋物線，當b2時，函數(shù)為減函數(shù).f()32，d的最小值為1.答案1二、解答題9.已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點.(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標原點，求MN.解(1)由題設，可知直線l的方程為ykx1，因為l與C交于兩點，

24、所以1.解得k.所以k的取值范圍為.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2).將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.解方程易得：x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以MN2.10.(2013江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y2x4.設圓C的半徑為1，圓心在l上.(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.解(1)由題設，圓心C

25、是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3，2)，于是切線的斜率必存在.設過A(0，3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，得1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設點M(x，y)，因為MA2MO，所以2 ，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上.由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即13.整理得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點C的橫坐標a的取值范圍是.11.(201

26、8鹽城三模)如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，P(2，3)是橢圓C上的一點，且PF1x軸.(1)求橢圓C的方程；(2)設圓M：(xm)2y2r2(r0).設圓M與線段PF2交于A，B兩點，若，且AB2，求r的值；設m2，過點P作圓M的兩條切線分別交橢圓C于G，H兩點(異于點P).試問：是否存在這樣的正數(shù)r，使得G，H兩點恰好關于坐標原點O對稱？若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.解(1)因為點P(2，3)是橢圓C上一點，且PF1x軸，所以橢圓的半焦距c2，由1，得y，所以3，化簡得a23a40，解得a4(舍負)，所以b212，所以橢圓C的方程為1.(2)因為，所

27、以，即，所以線段PF2與線段AB的中點重合，記為點Q，由(1)知Q，因為圓M與線段PF2交于兩點A，B，所以kMQkABkMQkPF21，所以1，解得m，所以MQ，故r.由G，H兩點恰好關于原點對稱，設G(x0，y0)，則H(x0，y0)，不妨設x00，因為P(2，3)，m2，所以兩條切線的斜率均存在，設過點P與圓M相切的直線斜率為k，則切線方程為y3k(x2)，即kxy2k30，由該直線與圓M相切，得r，即k，所以兩條切線的斜率互為相反數(shù)，即kPGkPH，所以，化簡得x0y06，即y0，代入1，化簡得x16x480，解得x02(舍)或x02，所以y0，所以G(2，)，H(2，)，所以kPG，所以r.故存在滿足條件的r，且r.14