（魯京遼）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征學(xué)案 新人教B版必修2

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1、 1.1.2　棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.認(rèn)識組成我們生活世界的各種各樣的多面體.2.認(rèn)識和把握棱柱、棱錐、棱臺的幾何結(jié)構(gòu)特征.3.了解多面體可按哪些不同的標(biāo)準(zhǔn)分類，可以分成哪些類別． 知識點一　多面體 多面體的有關(guān)概念 (1)多面體：由若干個平面多邊形所圍成的幾何體． (2)多面體的相關(guān)概念 ①面：圍成多面體的各個多邊形． ②棱：相鄰的兩個面的公共邊． ③頂點：棱和棱的公共點． ④對角線：連接不在同一個面上的兩個頂點的線段． ⑤截面：一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)． (3)凸多面體：把一個多面體的任意一個面延展為平面，如果其

2、余的各面都在這個平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體． 知識點二　棱柱 1．棱柱的定義及表示 名稱 棱柱 特征性質(zhì)或定義 條件：①有兩個互相平行的面； ②夾在這兩個平行平面間的每相鄰兩個面的交線都互相平行 圖形表示及相關(guān)名稱 棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′(或棱柱AC′) 2.棱柱的分類 (1)按底面多邊形的邊數(shù) 棱柱 (2)按側(cè)棱與底面是否垂直 棱柱 (3)特殊的四棱柱 知識點三　棱錐 1．棱錐的定義及表示 名稱 棱錐 特征性質(zhì)或定義 條件：①有一個面是多邊形； ②其余各面都是有一個公共頂點的三角形 圖形表示及相關(guān)名稱

3、 棱錐S－ABCD(或棱錐S－AC) 2.棱錐的分類 (1)按底面多邊形的邊數(shù) 棱錐 (2)特殊的棱錐 正棱錐 知識點四　棱臺 1．棱臺的結(jié)構(gòu)特征及分類 名稱 定義 圖形及表示 相關(guān)概念 分類 棱臺 棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺 如圖可記作：棱臺ABC－A′B′C′ 上底面：原棱錐的截面． 下底面：原棱錐的底面． 側(cè)面：其他各面． 側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊． 高：兩底面間的距離 由三棱錐、四棱錐、五棱錐…… 截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺…… 2.特殊的棱臺 正棱臺：由正棱錐截得的棱臺． 1

4、．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形．(　√　) 2．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．(　×　) 3．夾在兩個平行的平面之間，其余面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺．(　×　) 類型一　棱柱、棱錐、棱臺的有關(guān)概念 例1　(1)下列命題中正確的是(　　) A．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行 B．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面體中，任意兩個相對的面均互相平行，但平行六面體的任意兩個相對的面不一定可當(dāng)作它的底面 D．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形 (2)下列說法正確的序號是________． ①棱錐的側(cè)面不一定是三角

5、形； ②棱錐的各側(cè)棱長一定相等； ③棱臺的各側(cè)棱的延長線交于一點； ④有兩個面互相平行且相似，其余各面都是梯形，則此幾何體是棱臺． 答案　(1)A　(2)③ 解析　(1)正四棱柱中兩個相對側(cè)面互相平行，故B錯；平行六面體的任意兩個相對面可作底面，故C錯；棱柱的底面可以是平行四邊形，故D錯． (2)棱錐的側(cè)面是有公共頂點的三角形，但是各側(cè)棱不一定相等，故①②不正確；棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，故各個側(cè)棱的延長線一定交于一點，③正確；棱臺的各條側(cè)棱必須交于一點，故④不正確． 反思與感悟　棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱有兩個主要結(jié)構(gòu)特征：一是有兩個面互相平行，二

6、是各側(cè)棱都平行，各側(cè)面都是平行四邊形． (2)棱錐有兩個主要結(jié)構(gòu)特征：一是有一個面是多邊形，二是其余各面都是有一個公共頂點的三角形． (3)棱臺的上、下底面平行且相似，各側(cè)棱延長交于一點． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列命題： ①各側(cè)面為矩形的棱柱是長方體； ②直四棱柱是長方體； ③側(cè)棱與底面垂直的棱柱是直棱柱； ④各側(cè)面是矩形的直四棱柱為正四棱柱． 其中正確的是________．(填序號) 答案?、? 解析?、僦幸欢橹崩庵灰欢ㄊ情L方體；②直四棱柱的底面可以是任意的四邊形，不一定是矩形；③符合直棱柱的定義；④中的棱柱為一般直棱柱，它的底面不一定為正方形． (2)下列命題：

7、①各個側(cè)面是等腰三角形的四棱錐是正四棱錐； ②底面是正多邊形的棱錐是正棱錐； ③棱錐的所有側(cè)面可以都是直角三角形； ④四棱錐的側(cè)面中最多有四個直角三角形； ⑤棱臺的側(cè)棱長都相等． 其中正確的命題有________．(填序號) 答案?、邰? 解析　在四棱錐P－ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，底面ABCD為矩形，但不一定是正方形，這樣的棱錐就不是正四棱錐，因此①錯誤；底面是正多邊形，但側(cè)棱長不一定都相等，這樣的棱錐也不一定是正棱錐，故②錯誤；在三棱錐P－ABC中，PA垂直于平面ABC，∠ABC＝90°，則此三棱錐的所有側(cè)面都是直角三角形，故③正確；在四棱錐P－ABCD中，PA垂直于

8、平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，故④正確；棱臺的側(cè)棱長不一定都相等，故⑤錯誤． 類型二　簡單幾何體中的計算問題 例2　正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為2，求正三棱錐的高． 解　作出正三棱錐如圖，SO為其高，連接AO，作OD⊥AB于點D，則點D為AB的中點． 在Rt△ADO中， AD＝，∠OAD＝30°， 故AO＝＝. 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝， 故SO＝＝3，故三棱錐的高為3. 引申探究 1．若本例條件不變，求正三棱錐的斜高． 解　作出正三棱錐如圖，取AB的中點E，連接SE，則SE為該正三棱錐的斜高，在△SAE中，SA＝2，AE＝， 所以SE＝＝.

9、 2．若將本例中“正三棱錐”改為“正四棱錐”，其他條件不變，求正四棱錐的高． 解　如圖，在正四棱錐S－ABCD中， AB＝BC＝CD＝DA＝3， AC＝3，所以O(shè)C＝. 在Rt△SOC中，SC＝2， 所以SO＝＝＝. 即正四棱錐的高為. 反思與感悟　(1)正棱錐中直角三角形的應(yīng)用 已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例)，其高為PO，底面為正方形，作PE⊥CD于點E，則PE為斜高． ①斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△PEC； ②斜高、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POE； ③側(cè)棱、高構(gòu)成直角三角形，如圖中Rt△POC. (2)正棱臺中直角梯形的應(yīng)用 已知正棱臺

10、如圖(以正四棱臺為例)，O1，O分別為上，下底面中心，作O1E1⊥B1C1于點E1，OE⊥BC于點E，則E1E為斜高． ①斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1； ②斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO； ③高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1. 跟蹤訓(xùn)練2　已知正四棱臺的上、下底面面積分別為4、16，一側(cè)面面積為12，分別求該棱臺的斜高、高、側(cè)棱長． 解　如圖，設(shè)O′，O分別為上、下底面的中心，即OO′為正四棱臺的高，E，F(xiàn)分別為B′C′，BC的中點， ∴EF⊥B′C′，即EF為斜高．由上底面面積為4，上底面為正方形，可得 B′C′＝2；同理，BC

11、＝4. ∵四邊形BCC′B′的面積為12, ∴×(2＋4)·EF＝12，∴EF＝4. 過B′作B′H⊥BC交BC于H， 則BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4. 在Rt△B′BH中，BB′＝＝. 同理，在直角梯形O′OFE中，計算出O′O＝. 綜上，該正四棱臺的側(cè)棱長為，斜高為4，高為. 類型三　多面體的展開圖 例3　如圖，在側(cè)棱長為2的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過點A作截面△AEF，求截面△AEF周長的最小值． 解　沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開在一個平面內(nèi)，如圖． 則AA′的長即為截面△AEF周長的最小值，

12、 且∠AVA′＝3×40°＝120°. 在△VAA′中，AA′＝2×2×＝6， 故截面△AEF周長的最小值為6. 反思與感悟　求幾何體表面上兩點間的最小距離 (1)將幾何體沿著某棱剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖． (2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題． (3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由頂點B沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱AA1)到達(dá)頂點C1，與AA1的交點記為M，則從點B經(jīng)點M到C1的最短路線長為(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　B 解析　沿側(cè)棱BB1將正三棱柱的側(cè)面展開，得到一

13、個矩形BB1B1′B′(如圖)． 由側(cè)面展開圖可知，當(dāng)B，M，C1三點共線時，從點B經(jīng)過M到達(dá)C1的路線最短． 所以最短路線長為BC1＝＝2. 1．觀察如圖所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是(　　) A．①是棱柱 B．②不是棱錐 C．③不是棱錐 D．④是棱臺 考點　空間幾何體 題點　空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷 答案　B 解析　結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺，③不是棱錐，故B錯誤． 2．下列說法中，正確的是(　　) A．有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐 B．用一個平面去截棱錐

14、，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺 C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形 D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形 答案　A 解析　B錯，截面與底面平行時才能得棱臺；C錯，棱柱底面可能是平行四邊形；D錯，棱柱側(cè)面的平行四邊形不一定全等，如長方體． 3．下列說法錯誤的是(　　) A．多面體至少有四個面 B．九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形 C．長方體、正方體都是棱柱 D．三棱柱的側(cè)面為三角形 答案　D 解析　由于三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，故D錯． 4．正四棱錐S—ABCD的所有棱長都等于a，過不相鄰的兩條側(cè)棱作截面SAC，則截面面積為____

15、____． 答案　a2 解析　AC＝＝a，由SA＝SC＝a， 則有SA2＋SC2＝AC2，∴∠ASC＝90°. 所以S△SAC＝·a·a＝a2. 5．對棱柱而言，下列說法正確的是________．(填序號) ①有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形； ②所有的棱長都相等； ③棱柱中至少有2個面的形狀完全相同； ④相鄰兩個面的交線叫做側(cè)棱． 答案?、佗? 解析?、僬_，根據(jù)棱柱的定義可知；②錯誤，因為側(cè)棱與底面上棱長不一定相等；③正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱中上下兩個底面一定是全等的，棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同；④錯誤，因為底面和側(cè)面的交線不是側(cè)棱． 1．在理

16、解的基礎(chǔ)上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺的定義，能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀． 2．(1)各種棱柱之間的關(guān)系 ①棱柱的分類 棱柱 ②常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 (2)棱柱、棱錐、棱臺在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見下表： 名稱 底面 側(cè)面 側(cè)棱 高 平行于底 面的截面 棱柱 斜棱柱 平行且全等的兩個多邊形 平行四邊形 平行且相等 與底面全等 直棱柱 平行且全等的兩個多邊形 矩形 平行、相等且垂直于底面 等于側(cè)棱 與底面全等 正棱柱 平行且全等的兩個正多邊形 全等的矩形 平行、相等且垂直于底面 等于側(cè)棱 與底面全等 棱錐 正棱

17、錐 一個正多邊形 全等的等腰三角形 有一個公共頂點且相等 過底面中心 與底面相似 其他 棱錐 一個多邊形 三角形 有一個公共頂點 與底面相似 棱臺 正棱臺 平行且相似的兩個正多邊形 全等的等腰梯形 相等且延長后交于一點 與底面相似 其他 棱臺 平行且相似的兩個多邊形 梯形 延長后交于一點 與底面相似 一、選擇題 1．下面幾何體中是棱柱的有(　　) A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 答案　C 解析　棱柱有三個特征：(1)有兩個面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)側(cè)棱相互平行．本題所給幾何體中，⑥

18、⑦不符合棱柱的三個特征，而①②③④⑤符合，故選C. 2．下面多面體中有12條棱的是(　　) A．四棱柱 B．四棱錐 C．五棱錐 D．五棱柱 考點　空間幾何體 題點　空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷 答案　A 解析　∵n棱柱共有3n條棱，n棱錐共有2n條棱，∴四棱柱共有12條棱；四棱錐共有8條棱；五棱錐共有10條棱；五棱柱共有15條棱．故選A. 3．一棱柱有10個頂點，且所有側(cè)棱長之和為100，則其側(cè)棱長為(　　) A．10 B．20 C．5 D．15 答案　B 解析　易知該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，且側(cè)棱長相等，故其側(cè)棱長為＝20. 4．有兩個面平行的多面體不可能是(

19、　　) A．棱柱 B．棱錐 C．棱臺 D．以上都錯 考點　空間幾何體 題點　空間幾何體結(jié)構(gòu)判斷 答案　B 解析　由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得． 5．下列說法正確的是(　　) A．棱柱的底面一定是平行四邊形 B．棱錐的底面一定是三角形 C．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐 D．棱柱被平面分成的兩部分可能都是棱柱 答案　D 解析　棱柱與棱錐的底面可以是任意多邊形，A、B不正確；過棱錐的頂點的縱截面可以把棱錐分成兩個棱錐，C不正確． 6．如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是(　　) A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱

20、柱 D．三棱臺 考點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用 答案　B 解析　由題圖知剩余的部分是四棱錐A′－BCC′B′. 7．已知集合A＝{正方體}，B＝{長方體}，C＝{正四棱柱}，D＝{直平行六面體}，則(　　) A．ABCD B．CABD C．ACBD D．它們無確切包含關(guān)系 答案　C 解析　在這4種圖形中，包含元素最多的是直平行六面體，其次是長方體，最少的是正方體，其次是正四棱柱． 二、填空題 8．下圖中不可能圍成正方體的是________．(填序號) 答案?、? 9．以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分

21、成________個三棱錐． 答案　3 解析　如圖，分割為A1－ABC，B－A1CC1，C1－A1B1B，3個棱錐． 10．若正四棱臺的上、下底面邊長分別是5和7，對角線長為9，則該棱臺的高為________． 答案　3 解析　由題意，得正四棱臺的對角面為等腰梯形，其中上底長為5，下底長為7，對角線長為9，則高為＝3. 11.如圖所示，對幾何體的說法正確的是________．(填序號) ①這是一個六面體； ②這是一個四棱臺； ③這是一個四棱柱； ④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到； ⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到． 答案?、佗邰堍? 解析?、僬_，因

22、為有六個面，屬于六面體． ②錯誤，因為側(cè)棱的延長線不能交于一點，所以不正確． ③正確，如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱． ④⑤都正確，如圖所示． 三、解答題 12.如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P. 問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？ (2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？ (3)每個面的三角形面積為多少？ 解　(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐． (2)這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△

23、DPF均為直角三角形． (3)S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE ＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2. 13．試從正方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點中任取若干，連接后構(gòu)成以下空間幾何體，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜恚? (1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐； (2)四個面都是等邊三角形的三棱錐； (3)三棱柱． 解　(1)如圖所示，三棱錐A1－AB1D1(答案不唯一)． (2)如圖所示，三棱錐B1－ACD1(答案不唯一)． (3)如圖所示，三棱柱A1B1D1－AB

24、D(答案不唯一)． 四、探究與拓展 14.如圖，已知正三棱錐P－ABC的側(cè)棱長為，底面邊長為，Q是側(cè)棱PA的中點，一條折線從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周到Q點，則這條折線長度的最小值為________． 答案　 解析　沿著棱PA把三棱錐展開成平面圖形， 所求的折線長度的最小值就是線段AQ的長度，令∠PAB＝θ，則θ＝60°，在展開圖中，AQ＝. 15．給出兩塊正三角形紙片(如圖所示)，要求將其中一塊剪拼成一個底面為正三角形的三棱錐模型，另一塊剪拼成一個底面是正三角形的三棱柱模型，請設(shè)計一種剪拼方案，分別用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡要說明． 考點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用 解　如圖(1)所示，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個底面為正三角形的三棱錐． 如圖(2)所示，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角，余下部分按虛線三角形的邊折成，可成為一個缺上底的底面為正三角形的三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個底面為正三角形的棱柱的上底. 17