2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末檢測(cè)（三） 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 新人教A版選修1 -1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末檢測(cè)（三） 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 新人教A版選修1 -1 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)，g(x)滿足f　′(x)＝g　′(x)，則f(x)與g(x)滿足(　　) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)為常數(shù)函數(shù) D．f(x)＋g(x)為常數(shù)函數(shù) 解析：由f　′(x)＝g　′(x)，得f　′(x)－g　′(x)＝0， 即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(

2、C為常數(shù))． 答案：C 2．函數(shù)y＝(a>0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0，那么x0＝(　　) A．a(chǎn) B．±a C．－a D．a(chǎn)2 解析：y′＝′＝＝，由x－a2＝0得x0＝±a. 答案：B 3．函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)， f　′(x)＝′ ＝ ＝＝. 令f　′(x)>0，則>0得－1

3、,1)． 答案：C 4．函數(shù)f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－4 D．－ 解析：f　′(x)＝x2＋2x－3， 令f　′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)， 又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－， 故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－. 答案：A 5．曲線y＝－x3＋3x2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 解析：依題意得，y′＝－3x2＋6x，y′＝－3×1

4、2＋6×1＝3，即所求切線的斜率等于3，故所求直線的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1. 答案：A 6．已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為2，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(　　) A．3 B．2 C．1 D. 解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，且x0>0， 由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3. 答案：A 7．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，且當(dāng)x>0時(shí)，有f　′(x)>0，則當(dāng)x<0時(shí)，有(　　) A．f　′(x)≥0 B．f　′(x)>0 C．f　′(x)≤0 D．f

5、　′(x)<0 解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵當(dāng)x>0時(shí)，f　′(x)>0，∴f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)也為增函數(shù)，∴f　′(x)>0. 答案：B 8．已知函數(shù)f(x)＝x3－2ax2－3x(a∈R)，若函數(shù)f(x)的圖象上點(diǎn)P(1，m)處的切線方程為3x－y＋b＝0，則m的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：∵f(x)＝x3－2ax2－3x， ∴f　′(x)＝2x2－4ax－3， ∴過(guò)點(diǎn)P(1，m)的切線斜率k＝f　′(1)＝－1－4a

6、. 又點(diǎn)P(1，m)處的切線方程為3x－y＋b＝0， ∴－1－4a＝3，∴a＝－1， ∴f(x)＝x3＋2x2－3x.又點(diǎn)P在函數(shù)f(x)的圖象上，∴m＝f(1)＝－. 答案：A 9．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)是f　′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf　′(x)的圖象可能是(　　) 解析：f(x)在x＝－2處取得極小值，即x<－2，f　′(x)<0；x>－2，f　′(x)>0，那么y＝xf　′(x)過(guò)點(diǎn)(0,0)及 (－2,0)．當(dāng)x<－2時(shí)，x<0，f　′(x)<0，則y>0；當(dāng)－20，y<0；當(dāng)x>0時(shí)，f

7、　′(x)>0，y>0，故C正確． 答案：C 10．某廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當(dāng)砌新墻所用的材料最省時(shí)，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為(　　) A．32米，16米 B．30米，15米 C．40米，20米 D．36米，18米 解析：設(shè)建堆料場(chǎng)與原墻平行的一邊邊長(zhǎng)為x米，其他兩邊邊長(zhǎng)為y米，則xy＝512，新墻的周長(zhǎng)l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一負(fù)根舍去)，當(dāng)016時(shí)，l′>0，所以當(dāng)y＝16時(shí)，函數(shù)取得極小值，也就是最小值，此時(shí)x＝＝32. 答案：A 1

8、1．對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是(　　) A．0≤a≤21 B．a(chǎn)＝0或a＝7 C．a(chǎn)<0或a>21 D．a(chǎn)＝0或a＝21 解析：f　′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時(shí)，f　′(x)≥0恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)． 答案：A 12．f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf　′(x)－f(x)<0，對(duì)任意正數(shù)a，b，若a

9、－f(x)<0， ∴′＝<0，所以函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，由0，即af(b)1時(shí)，y′<0， 當(dāng)－10， 當(dāng)x<－1時(shí)，y′<0， 故x＝1為y＝3x－x3的極大值點(diǎn)， 即b＝1， 又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2. 答案：2 14．設(shè)f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f(x)在x＝1處的

10、切線與直線x＋3y＋3＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________． 解析：對(duì)f(x)＝ax3＋3x2＋2求導(dǎo)得：f　′(x)＝3ax2＋6x.∵k＝f　′(1)＝3a＋6， ∴(3a＋6)×＝－1，解得a＝－1. 答案：－1 15．若函數(shù)y＝－x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是________． 解析：若函數(shù)y＝－x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則其導(dǎo)數(shù)y′＝－4x2＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以b＞0. 答案：(0，＋∞) 16. 做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱水桶，若要使水桶的體積是27π，且用料最省，則水桶的底面半徑為________． 解析：用料最省，即水桶的表面積最?。? 設(shè)圓

11、柱形水桶的表面積為S，底面半徑為r(r>0)，則水桶的高為，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)，求導(dǎo)數(shù)，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3. 當(dāng)03時(shí)，S′>0，所以當(dāng)r＝3時(shí)，圓柱形水桶的表面積最小，即用料最?。? 答案：3 三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(12分)已知函數(shù)f(x)＝xn＋1(n∈N*)的圖象與直線x＝1交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，求log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值． 解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(

12、x)＝(n＋1)xn，所以在x＝1處的切線斜率為k＝f′(1)＝n＋1，所以切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝.所以x1x2…x2 012＝××…×＝，所以log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012＝log2 013＝－1. 18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值； (2)當(dāng)a2＝4b時(shí)，求函數(shù)f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間． 解析：(1)f　′(x)＝2ax，g　′(x)＝3x2＋b， 由已知可得

13、解得a＝b＝3. (2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋x＋1，F(xiàn)′(x)＝3x2＋2ax＋，令F′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－， ∵a>0，∴x10得，x<－或x>－； 由F′(x)<0得，－，且當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)，f(x)≥a3－12a恒成立，試確定a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x3－3x2－9x＋1且f　′(x)＝3x2－6x－9，由f　

14、′(x)＝0得x＝－1或x＝3. 當(dāng)x<－1時(shí)f　′(x)>0，當(dāng)－13時(shí)f　′(x)>0， 因此x＝3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(3)＝－26. (2)∵f　′(x)＝3x2－6ax－9a2＝3(x＋a)(x－3a)，a>， ∴當(dāng)1≤x<3a時(shí)f　′(x)<0； 當(dāng)3a0. ∴x∈[1,4a]時(shí)f(x)的最小值為f(3a)＝－26a3. 由f(x)≥a3－12a在[1,4a]上恒成立得－26a3≥a3－12a. 解得

15、－≤a≤. 又a>，∴

16、0，得x1＝－，x2＝3. 當(dāng)x變化時(shí)，f　′(x)、f(x)的變化情況如表： x － 3 (3，＋∞) f　′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，[3，＋∞)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 21．(13分)已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大的矩形兩邊長(zhǎng)之比． 解析：設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為(x，y)，其中00，則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為(－x，y)，在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為(－x,0)、(x,0)．設(shè)矩形

17、的面積為S，則S＝2x(4－x2)(00；當(dāng)

18、且僅當(dāng)a＝1，x＝－1，故此時(shí)f(x)在R上是增函數(shù)． ②由于a≠0，故當(dāng)a<1時(shí)，f　′(x)＝0有兩個(gè)根 x1＝，x2＝. 若00，故f(x)分別在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函數(shù)； 當(dāng)x∈(x2，x1)時(shí)，f　′(x)<0， 故f(x)在(x2，x1)是減函數(shù)． 若a<0，則當(dāng)x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)時(shí)，f　′(x)<0，故f(x)分別在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是減函數(shù)； 當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f　′(x)>0， 故f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)． (2)當(dāng)a>0，x>0時(shí)，f　′(x)＝3ax2＋6x＋3>0， 故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)． 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f　′ (1)≥0且f　′(2)≥0，解得－≤a<0. 綜上，a的取值范圍是∪(0，＋∞)．