2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末檢測（三） 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 新人教A版選修1 -1

2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末檢測（三） 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 新人教A版選修1 -1一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1已知f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)，則f(x)與g(x)滿足()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)為常數(shù)函數(shù)Df(x)g(x)為常數(shù)函數(shù)解析：由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)C(C為常數(shù))答案：C2函數(shù)y(a>0)在xx0處的導(dǎo)數(shù)為0，那么x0()Aa B±a Ca Da2解析：y，由xa20得x0±a.答案：B3函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，1) B(1，)C(1,1) D(，1)(1，)解析：函數(shù)f(x)的定義域為(，1)(1，)，f(x).令f(x)>0，則>0得1<x<1，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)答案：C4函數(shù)f(x)x23x4在0,2上的最小值是()A B C4 D解析：f(x)x22x3，令f(x)0得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0,2上的最小值是f(1).答案：A5曲線yx33x2在點(1,2)處的切線方程為()Ay3x1 By3x5Cy3x5 Dy2x解析：依題意得，y3x26x，y3×126×13，即所求切線的斜率等于3，故所求直線的方程是y23(x1)，整理得y3x1.答案：A6已知曲線y3ln x的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為()A3 B2 C1 D.解析：設(shè)切點坐標為(x0，y0)，且x0>0，由yx，得kx02，x03.答案：A7已知對任意實數(shù)x，有f(x)f(x)，且當x>0時，有f(x)>0，則當x<0時，有()Af(x)0 Bf(x)>0Cf(x)0 Df(x)<0解析：f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，當x>0時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當x<0時，f(x)也為增函數(shù)，f(x)>0.答案：B8已知函數(shù)f(x)x32ax23x(aR)，若函數(shù)f(x)的圖象上點P(1，m)處的切線方程為3xyb0，則m的值為()A B C. D.解析：f(x)x32ax23x，f(x)2x24ax3，過點P(1，m)的切線斜率kf(1)14a.又點P(1，m)處的切線方程為3xyb0，14a3，a1，f(x)x32x23x.又點P在函數(shù)f(x)的圖象上，mf(1).答案：A9設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)是f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()解析：f(x)在x2處取得極小值，即x<2，f(x)<0；x>2，f(x)>0，那么yxf(x)過點(0,0)及 (2,0)當x<2時，x<0，f(x)<0，則y>0；當2<x<0時，x<0，f(x)>0，y<0；當x>0時，f(x)>0，y>0，故C正確答案：C10某廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當砌新墻所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為()A32米，16米 B30米，15米C40米，20米 D36米，18米解析：設(shè)建堆料場與原墻平行的一邊邊長為x米，其他兩邊邊長為y米，則xy512，新墻的周長lx2y2y(y>0)，令l20，解得y16(另一負根舍去)，當0<y<16時，l<0；當y>16時，l>0，所以當y16時，函數(shù)取得極小值，也就是最小值，此時x32.答案：A11對任意的xR，函數(shù)f(x)x3ax27ax不存在極值點的充要條件是()A0a21 Ba0或a7Ca<0或a>21 Da0或a21解析：f(x)3x22ax7a，當4a284a0，即0a21時，f(x)0恒成立，函數(shù)不存在極值點答案：A12f(x)是定義在(0，)上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf(x)f(x)<0，對任意正數(shù)a，b，若a<b，則必有()Aaf(b)<bf(a) Bbf(a)<af(b)Caf(b)<f(b) Dbf(b)<f(a)解析：xf(x)f(x)<0，<0，所以函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)，由0<a<b得>，即af(b)<bf(a)答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)13已知函數(shù)y3xx3在xb時有極大值c，則bc_.解析：y33x2，令y0得x±1，且當x>1時，y<0，當1<x<1時，y>0，當x<1時，y<0，故x1為y3xx3的極大值點，即b1，又c3bb33×112，bc2.答案：214設(shè)f(x)ax33x22，若f(x)在x1處的切線與直線x3y30垂直，則實數(shù)a的值為_解析：對f(x)ax33x22求導(dǎo)得：f(x)3ax26x.kf(1)3a6，(3a6)×1，解得a1.答案：115若函數(shù)yx3bx有三個單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是_解析：若函數(shù)yx3bx有三個單調(diào)區(qū)間，則其導(dǎo)數(shù)y4x2b0有兩個不相等的實數(shù)根，所以b0.答案：(0，)16. 做一個無蓋的圓柱水桶，若要使水桶的體積是27，且用料最省，則水桶的底面半徑為_解析：用料最省，即水桶的表面積最小設(shè)圓柱形水桶的表面積為S，底面半徑為r(r>0)，則水桶的高為，所以Sr22r×r2(r>0)，求導(dǎo)數(shù)，得S2r，令S0，解得r3.當0<r<3時，S<0；當r>3時，S>0，所以當r3時，圓柱形水桶的表面積最小，即用料最省答案：3三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)已知函數(shù)f(x)xn1(nN*)的圖象與直線x1交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，求log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012的值解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f(x)(n1)xn，所以在x1處的切線斜率為kf(1)n1，所以切線方程為y1(n1)(x1)，令y0得xn.所以x1x2x2 012×××，所以log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012log2 0131.18(12分)已知函數(shù)f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當a24b時，求函數(shù)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間解析：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，由已知可得解得ab3.(2)令F(x)f(x)g(x)x3ax2x1，F(xiàn)(x)3x22ax，令F(x)0，得x1，x2，a>0，x1<x2，由F(x)>0得，x<或x>；由F(x)<0得，<x<.單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間為.19(12分)已知函數(shù) f(x)x33ax29a2xa3.(1)設(shè)a1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若a>，且當x1,4a時，f(x)a312a恒成立，試確定a的取值范圍解析：(1)當a1時，f(x)x33x29x1且f(x)3x26x9，由f(x)0得x1或x3.當x<1時f(x)>0，當1<x<3時f(x)<0，因此x1是函數(shù)的極大值點，極大值為f(1)6；當1<x<3時f(x)<0，當x>3時f(x)>0，因此x3是函數(shù)的極小值點，極小值為f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a23(xa)(x3a)，a>，當1x<3a時f(x)<0；當3a<x4a時f(x)>0.x1,4a時f(x)的最小值為f(3a)26a3.由f(x)a312a在1,4a上恒成立得26a3a312a.解得a.又a>，<a.即a的取值范圍為.20(12分)已知函數(shù)f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x3是f(x)的極值點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間解析：(1)對f(x)求導(dǎo)，得f(x)3x22ax3.由f(x)0，得a.記t(x)，當x1時，t(x)是增函數(shù)，t(x)min(11)0.a0.(2)由題意，得f(3)0，即276a30，a4.f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.令f(x)0，得x1，x23.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如表：x3(3，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，3，)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.21(13分)已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y4x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大的矩形兩邊長之比解析：設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為(x，y)，其中0<x<2，y>0，則另一個在拋物線上的頂點為(x，y)，在x軸上的兩個頂點為(x,0)、(x,0)設(shè)矩形的面積為S，則S2x(4x2)(0<x<2)，則S86x2.令S0，得x或x(舍去)當0<x<時，S>0；當<x<2時，S<0.因此，當x時，S取得極大值，也就是最大值，此時，2x，4x2.所以矩形的兩邊長分別為和時，矩形的面積最大此時兩邊長之比為2.22(13分)函數(shù)f(x)ax33x23x(a0)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍解析：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判別式36(1a)若a1，則f(x)0，且f(x)0當且僅當a1，x1，故此時f(x)在R上是增函數(shù)由于a0，故當a<1時，f(x)0有兩個根x1，x2.若0<a<1，則當x(，x2)或x(x1，)時，f(x)>0，故f(x)分別在(，x2)，(x1，)是增函數(shù)；當x(x2，x1)時，f(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是減函數(shù)若a<0，則當x(，x1)或(x2，)時，f(x)<0，故f(x)分別在(，x1)，(x2，)是減函數(shù)；當x(x1，x2)時，f(x)>0，故f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)(2)當a>0，x>0時，f(x)3ax26x3>0，故當a>0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當a<0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當且僅當f (1)0且f(2)0，解得a<0.綜上，a的取值范圍是(0，)