《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義 理（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第七節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1對(duì)數(shù)概念如果axN(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式其中常用對(duì)數(shù)：log10Nlg N；自然對(duì)數(shù)：logeNln N性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaNN運(yùn)算loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)換底公式換底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ylogax(a0，且a1)a10a1圖象特征在y軸右側(cè)，過(guò)定點(diǎn)(1,0)當(dāng)
2、x逐漸增大時(shí)，圖象是上升的當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是下降的性質(zhì)定義域(0，)值域R單調(diào)性在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x1時(shí)，y0當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)0x1時(shí)，y0當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)0x1時(shí)，y0謹(jǐn)記運(yùn)算法則有關(guān)口訣積的對(duì)數(shù)變加法；商的對(duì)數(shù)變減法；冪的乘方取對(duì)數(shù)，要把指數(shù)提到前.對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且過(guò)點(diǎn)(a,1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限在直線x1的右側(cè)，當(dāng)a1時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當(dāng)0a1時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”函數(shù)ylogax與ylogx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.熟記常用結(jié)論1換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)l
3、ogab；(2)logambnlogab.其中a0且a1，b0且b1，m0，nR.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0cd1ab.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大小題查驗(yàn)基礎(chǔ)一、判斷題(對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”)(1)函數(shù)ylog2(x1)是對(duì)數(shù)函數(shù)()(2)log2x22log2x.()(3)當(dāng)x1時(shí)，logax0.()(4)若MN0，則loga(MN)logaMlogaN.()(5)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函數(shù)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、選填題1函數(shù)ylg|x|
4、()A是偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增B是偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減C是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減D是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增解析：選Bylg|x|是偶函數(shù)，由圖象知在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增2已知a0，a1，函數(shù)yax與yloga(x)的圖象可能是()解析：選B函數(shù)yloga(x)的圖象與ylogax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合條件的只有B.3函數(shù)y的定義域?yàn)開解析：要使函數(shù)有意義，須滿足解得x1.答案：4函數(shù)yloga(x1)2(a0，且a1)的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)是_解析：當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)yloga(x1)2(a0，且a1)的值為2，所以圖象恒過(guò)定點(diǎn)(2,2)答
5、案：(2,2)5計(jì)算：log23log34()log34_.解析：log23log34()323log32224.答案：4題組練透1設(shè)loga2m，loga3n，則a2mn的值為_解析：由已知得a2mna2loga2loga3aloga4loga3aloga1212.答案：122已知log189a,18b5，則log3645_(用關(guān)于a，b的式子表示)解析：因?yàn)?8b5，所以log185b，又log189a，于是log3645.答案：3計(jì)算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(2)；(3)(log32log92)(log43log83)解：(1)原式(lg 2)2(1lg 5)
6、lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.(3)原式log32log43log32log83log92log43log92log83.名師微點(diǎn)對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)；(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并；(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用；(4)利用常用對(duì)數(shù)中的lg 2lg 51.典例精析例1(2019合肥質(zhì)檢)函數(shù)yln(2|x|)的大致圖象為()解析令f(x)ln(2|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|2x2，且f(x
7、)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)C、D.由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)y2|x|的單調(diào)性知A正確答案A例2當(dāng)0x時(shí)，4xlogax，則a的取值范圍是()A.B.C(1，) D(，2)解析易知0a1，函數(shù)y4x與ylogax的大致圖象如圖，則由題意可知只需滿足loga4，解得a，a1，故選B.答案B1(變條件)將例2中“4xlogax”變?yōu)椤?xlogax有解”，a的取值范圍為_解析：若方程4xlogax在上有解，則函數(shù)y4x與函數(shù)ylogax的圖象在上有交點(diǎn)由圖象可知解得0a，即a的取值范圍為.答案：2(變條件)若例2變?yōu)椋阂阎坏仁絰2logax0對(duì)x
8、恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：由x2logax0得x2logax，設(shè)f1(x)x2，f2(x)logax，要使x時(shí)，不等式x2logax恒成立，只需f1(x)x2在上的圖象在f2(x)logax圖象的下方即可當(dāng)a1時(shí)，顯然不成立；當(dāng)0a1時(shí)，如圖所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：3(變條件)若例2變?yōu)椋寒?dāng)0x時(shí)，logax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：若logax在x上恒成立，則0a1，且y的圖象在ylogax圖象的下方，如圖所示，由圖象知 loga，所以解得a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：解題技法(1)識(shí)
9、別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)a以1為分界：當(dāng)a1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，是減函數(shù)注意對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且以y軸為漸近線(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解過(guò)關(guān)訓(xùn)練1若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域?yàn)閥|y1，則函數(shù)yloga|x|的圖象大致是()解析：選B若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域?yàn)閥|y1，則a1，故函數(shù)yloga|x|的圖象大致如圖所示故選B.2設(shè)方程10x|lg(x)|的兩個(gè)根分別為x1，x2，則()Ax1x20 Bx1x20Cx1x21 D0x1x21解析：選D作出y10x與y|lg(x)|的大致圖象，如圖顯然
10、x10，x20.不妨令x1x2，則x11x20，所以10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，此時(shí)10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x21，故選D.考法全析考法(一)比較對(duì)數(shù)值的大小例1設(shè)alog3，blog2，clog3，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcBacbCbac Dbca解析因?yàn)閍log3log331，blog2log221，所以ab；又(log23)21，c0，所以bc.故abc.答案A考法(二)解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式例2設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)
11、(1，) D(，1)(0,1)解析由題意得或解得a1或1a0.故選C.答案C考法(三)對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例3若函數(shù)f(x)log (x24x5)在區(qū)間(3m2，m2)內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.解析由x24x50，解得1x5.二次函數(shù)yx24x5的對(duì)稱軸為x2.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)log (x24x5)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,5)要使函數(shù)f(x)log (x24x5)在區(qū)間(3m2，m2)內(nèi)單調(diào)遞增，只需解得m2.答案C規(guī)律探求看個(gè)性考法(一)是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)值的大小常有以下題型及求法：考法(二)是直接考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解決此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)注
12、意兩點(diǎn)：(1)真數(shù)大于0；(2)底數(shù)a的值考法(三)考查與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解決此類問(wèn)題有以下三個(gè)步驟：(1)求出函數(shù)的定義域；(2)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性找共性無(wú)論題型如何變化，都是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，變換不同的角度來(lái)應(yīng)用考法(一)與考法(二)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的直接應(yīng)用，利用單調(diào)性來(lái)比較大小、解不等式；考法(三)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的遷移應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性來(lái)求參數(shù)的范圍，所以弄清對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的
13、關(guān)鍵，并注意有時(shí)需對(duì)底數(shù)字母參數(shù)進(jìn)行討論過(guò)關(guān)訓(xùn)練1設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2aloga，blogb，clog2c，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BcbaCcab Dbac解析：選Aa0，2a1，loga1，0a.b0，0b1，0logb1，b1.c0，c0，log2c0，c1.0ab1c，故選A.2(2018全國(guó)卷)設(shè)alog0.20.3，blog20.3，則()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab解析：選Balog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.log0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.
14、4log0.310，01，abab0.3若函數(shù)f(x)loga(x22xa)(a0，且a1)有最小值，則實(shí)數(shù)a的值等于_解析：令g(x)x22xa，則f(x)logag(x)若a1，由于函數(shù)f(x)有最小值，則g(x)應(yīng)有最小值 ，而g(x)x22xa(x)2a6，當(dāng)x時(shí)，取最小值a6，因此有解得a9.若0a1，由于函數(shù)f(x)有最小值，則g(x)應(yīng)有最大值，而g(x)不存在最大值，不符合題意綜上，實(shí)數(shù)a9.答案：94(2019西安模擬)已知函數(shù)f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在區(qū)間1,2上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：當(dāng)a1時(shí)，f(x)1等價(jià)于8axa在1,2上
15、恒成立即amin，1a.當(dāng)0a1時(shí)，f(x)1等價(jià)于08axa在1,2上恒成立，即amax且amin.解得a4且a4，故不存在綜上可知，a的取值范圍為.答案： 一、題點(diǎn)全面練1若函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)，且f(2)1，則f(x)()Alog2xB.Clogx D2x2解析：選A由題意知f(x)logax(a0，且a1)，f(2)1，loga21，a2.f(x)log2x.2如果logxlogy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx解析：選Dlogxlogylog1，xy1.3(2019新鄉(xiāng)一模)若log2(log3a)log3(log4b)log4(log2
16、c)1，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BbacCacb Dbca解析：選D由log2(log3a)1，可得log3a2，故a329；由log3(log4b)1，可得log4b3，故b4364；由log4(log2c)1，可得log2c4，故c2416.bca.故選D.4(2019鄭州模擬)設(shè)alog50.5，blog20.3，clog0.32，則a，b，c的大小關(guān)系是()Abac BbcaCcba Dabc解析：選Balog50.5log50.21，blog20.3log20.51，clog0.32log0.31，log0.32，log50.5.1lg 0.2lg 0.30，即ca，故
17、bca.故選B.5(2019長(zhǎng)春模擬)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax是增函數(shù)，則函數(shù)f(|x|1)的圖象大致是()解析：選B由函數(shù)f(x)logax是增函數(shù)知，a1.f(|x|1)loga(|x|1)由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象知選B.6(2018肇慶二模)已知f(x)lg(10x)lg(10x)，則()Af(x)是奇函數(shù)，且在(0,10)上是增函數(shù)Bf(x)是偶函數(shù)，且在(0,10)上是增函數(shù)Cf(x)是奇函數(shù)，且在(0,10)上是減函數(shù)Df(x)是偶函數(shù)，且在(0,10)上是減函數(shù)解析：選D由得x(10,10)，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?10,10)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱由于f(x)lg(10x)lg(10x)
18、f(x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)而f(x)lg(10x)lg(10x)lg(100x2)，y100x2在(0,10)上遞減，ylg x在(0,10)上遞增，故函數(shù)f(x)在(0,10)上遞減7(2018鄭州月考)已知2x72yA，且2，則A的值是_解析：由2x72yA得xlog2A，ylog7A，則logA22logA7logA982，A298.又A0，故A7.答案：78已知函數(shù)f(x)|log 3x|，實(shí)數(shù)m，n滿足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值為2，則_.解析：因?yàn)閒(x)|log3x|所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，由0mn且f(m)
19、f(n)，可得則所以0m2m1，則f(x)在m2,1)上單調(diào)遞減，在(1，n上單調(diào)遞增，所以f(m2)f(m)f(n)，則f(x)在m2，n上的最大值為f(m2)log3m22，解得m，則n3，所以9.答案：99已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)loga(x1)(a0，且a1)(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若1f(1)1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)x0時(shí)，x0，由題意知f(x)loga(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)f(x)當(dāng)x0時(shí)，f(x)loga(x1)，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)(2)1f(1)1，1loga21，logaloga2lo
20、gaa.當(dāng)a1時(shí)，原不等式等價(jià)于解得a2；當(dāng)0a1時(shí)，原不等式等價(jià)于解得0a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2，)10已知函數(shù)f(x)loga(3ax)(a0，且a1)(1)當(dāng)x0,2時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)a0且a1，設(shè)t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數(shù)，當(dāng)x0,2時(shí)，t(x)的最小值為32a，當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)恒有意義，即x0,2時(shí)，3ax0恒成立32a0，a.又a0且a1，0a1或1a，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).(2)
21、由(1)知函數(shù)t(x)3ax為減函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，ylogat在1,2上為增函數(shù)，a1，當(dāng)x1,2時(shí)，t(x)的最小值為32a，f(x)的最大值為f(1)loga(3a)，即故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1.二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯(cuò)專練不丟怨枉分1若f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(，1上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A1,2) B1,2C1，) D2，)解析：選A令函數(shù)g(x)x22ax1a(xa)21aa2，其圖象的對(duì)稱軸為xa，要使函數(shù)f(x)在(，1上單調(diào)遞減，則即解得1a2，即a1,2)，故選A.2(2019湛江模擬)
22、已知loga1，那么a的取值范圍是_解析：loga1logaa，故當(dāng)0a1時(shí)，ylogax為減函數(shù)，0a；當(dāng)a1時(shí)，ylogax為增函數(shù)，a，a1.綜上所述，a的取值范圍是(1，)答案：(1，)3函數(shù)f(x)log (x24)的單調(diào)遞增區(qū)間為_解析：設(shè)tx24，因?yàn)閥logt在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx24的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(，2)答案：(，2)(二)交匯專練融會(huì)巧遷移4與指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的交匯已知x1log2，x22，x3滿足x3log3x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是()Ax1x2x3 Bx1x3x2Cx2x1x3 Dx3x
23、1x2解析：選A由題意可知x3是函數(shù)yx與ylog3x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yx與ylog3x的圖象，如圖所示，由圖象可知x31，而x1log20,0x221，所以x3x2x1.故選A.5與數(shù)列的交匯已知數(shù)列an滿足log2an11log2an(nN*)，且a1a2a3a101，則log2(a101a102a110)_.解析：log2an11log2an(nN*)，log2an1log2an1，即log21，2.數(shù)列an是公比q2的等比數(shù)列，則a101a102a110(a1a2a3a10)q1002100，log2(a101a102a110)log22100100.答案
24、：100(三)素養(yǎng)專練學(xué)會(huì)更學(xué)通6邏輯推理設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2xlog3ylog5z0，則，的大小關(guān)系不可能是()A. B.C. D.解析：選D設(shè)log2xlog3ylog5zk0，可得x2k1，y3k1，z5k1.2k1，3k1，5k1.若0k1，則函數(shù)f(x)xk1單調(diào)遞減，；若k1，則函數(shù)f(x)xk11，；若k1，則函數(shù)f(x)xk1單調(diào)遞增，.，的大小關(guān)系不可能是D.7直觀想象已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B在曲線G：yln x上，若線段AB與曲線M：y相交且交點(diǎn)恰為線段AB的中點(diǎn)，則稱B為曲線G關(guān)于曲線M的一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)那么曲線G關(guān)于曲線M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D4解析：選B設(shè)B(x0，ln x0)，x00，線段AB的中點(diǎn)為C，則C，又點(diǎn)C在曲線M上，故，即ln x0.此方程根的個(gè)數(shù)可以看作函數(shù)yln x與y的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)畫出圖象(如圖)，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)故選B.8邏輯推理若方程2log2xlog2(x1)m1有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：由題意知即x1，方程化簡(jiǎn)為log2m1，故2m1，即x22m1x2m10，當(dāng)x1時(shí)，此方程有兩個(gè)不同的解，所以得m1.答案：(1，)17
（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義 理
