（全國通用版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.2 充分條件與必要條件學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、1.2充分條件與必要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義.2.會(huì)求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件(1)“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)，我們就說，由p可推出q，記作pq，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件(2)若pq，但qp，稱p是q的充分不必要條件，若qp，但pq，稱p是q的必要不充分條件知識(shí)點(diǎn)二充要條件思考在ABC中，角A，B，C為它的三個(gè)內(nèi)角，則“A，B，C成等差數(shù)列”是“B60”的什么條件？答案因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，故2BAC，又因?yàn)?/p>

2、ABC180，故B60，反之，亦成立，故“A，B，C成等差數(shù)列”是“B60”的充要條件梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq，此時(shí)，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件(2)充要條件的實(shí)質(zhì)是原命題“若p，則q”和其逆命題“若q，則p”均為真命題，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果pq，那么p與q互為充要條件(3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件.若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若BA，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若AB，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條

3、件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立(1)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件()(2)若p是q的充要條件，則p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題()(3)q不是p的必要條件時(shí)，“pq”成立()類型一充分條件、必要條件、充要條件的判定例1下列各題中，試分別指出p是q的什么條件(1)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等；(2)p：一個(gè)四邊形是矩形，q：四邊形的對(duì)角線相等；(3)p：AB，q：ABA；(4)p：ab，q：acbc.考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷解(1)兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形相似，p是q的必要不充分條件(2)矩形的對(duì)角線

4、相等，pq，而對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，qp，p是q的充分不必要條件(3)pq，且qp，p既是q的充分條件，又是q的必要條件(4)pq，且qp，p是q的既不充分也不必要條件反思與感悟充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法：確定誰是條件，誰是結(jié)論；嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件(2)命題判斷法：如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時(shí)q也不是p的必要條件跟蹤訓(xùn)練1指出下列

5、各題中，p是q的什么條件？(1)p：ax2ax10的解集是R，q：0a4；(2)p：|x2|3，q：0滿足題意；當(dāng)a0時(shí)，由可得0a4.故p是q的必要不充分條件(2)易知p：1x5，q：1x5，所以p是q的充要條件(3)因?yàn)锳BAABB，所以p是q的充要條件(4)由根據(jù)同向不等式相加、相乘的性質(zhì)，有即pq.但比如，當(dāng)1，5時(shí)，而2，所以qp，所以p是q的充分不必要條件類型二充要條件的探求與證明命題角度1充要條件的探求例2求ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是什么？考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件解(1)當(dāng)a0時(shí)，原方程變?yōu)?x10，即x，符合要求(2)當(dāng)a0時(shí)，ax22x10為一

6、元二次方程，它有實(shí)根的充要條件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一個(gè)負(fù)根的充要條件是即a0.方程ax22x10有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是即0a1.綜上所述，ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a1.反思與感悟探求一個(gè)命題的充要條件，可以利用定義法進(jìn)行探求，即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”，也可以尋求結(jié)論的等價(jià)命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(n1)2t(t為常數(shù))，試問t1是否為數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件？請(qǐng)說明理由考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件解是充要條件(充分性)當(dāng)t1時(shí)，Sn(n1)21n22n

7、.a1S13，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1.又a13適合上式，an2n1(nN*)，又an1an2(常數(shù))，數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列故t1是an為等差數(shù)列的充分條件(必要性)an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得t1，故t1是an為等差數(shù)列的必要條件綜上，t1是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件命題角度2充要條件的證明例3求證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明充分性(由ac0推證方程有一正根和一負(fù)根)，ac0，一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac0，原方程一定有兩不等實(shí)根，不妨設(shè)為x1，x2，則x1

8、x20，原方程的兩根異號(hào)，即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根必要性(由方程有一正根和一負(fù)根推證ac0)，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根，不妨設(shè)為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x20，即ac0，此時(shí)b24ac0，滿足原方程有兩個(gè)不等實(shí)根綜上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.反思與感悟?qū)τ诔湟獥l件性命題證明，需要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明，需要分清條件和結(jié)論跟蹤訓(xùn)練3求證：方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根均大于1的充要條件是k2.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明必要性：若方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根，不

9、妨設(shè)兩個(gè)根為x1，x2，則即即解得k2.充分性：當(dāng)k2時(shí)，(2k1)24k214k0.設(shè)方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根為x1，x2.則(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210，x11，x21.綜上可知，方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根的充要條件為k2.類型三利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍)例4設(shè)命題p：x(x3)0，命題q：2x3m，已知p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案3，)解析p：x(x3

10、)0，即0x3；q：2x3m，即x.由題意知pq，qp，則在數(shù)軸上表示不等式如圖所示，則3，解得m3，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為3，)反思與感悟在有些含參數(shù)的充要條件問題中，要注意將條件p和q轉(zhuǎn)化為集合，從而轉(zhuǎn)化為兩集合之間的子集關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為不等式(或方程)，從而求得參數(shù)的取值范圍根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍的步驟(1)記集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則MN；(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)；(4)求出參數(shù)的范圍跟蹤訓(xùn)練4設(shè)A，B，記命題p：“yA”，命題q：“yB”，若p是q的必要不充分條件

11、，則m的取值范圍為_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案解析由題意知A(0,1)，B，依題意，得BA，故m0和a2x2b2xc20的解集分別是集合M和N，那么“”是“MN”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案D解析若0，則MN，即MN；反之，若MN，即兩個(gè)一元二次不等式的解集為空集時(shí)，只要求判別式10，20(a10，a20)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()A0m B0m1Cm1考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件答案B解析f(x)f(x)的圖象在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，

12、)內(nèi)單調(diào)遞增若f(x)在(m,2m1)(m0)上不是單調(diào)函數(shù)，則0m1.二、填空題9若a(1,2x)，b(4，x)，則“a與b的夾角為銳角”是“0x”的_條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案既不充分也不必要10已知p：x2x20，q：xm.若p的一個(gè)充分不必要條件是q，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案1，)解析由x2x20，解得x1或x2.q是p的充分不必要條件，m1.11有下列命題：“x2且y3”是“xy5”的充分條件；“b24ac0”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集為R”的充要條件；“a2”是“直線ax2y

13、0平行于直線xy1”的充分不必要條件；“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件其中真命題的序號(hào)為_考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案解析當(dāng)x2且y3時(shí)，xy5成立，反之不一定，所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要條件，故為真命題；不等式解集為R的充要條件是a0且b24ac0，故為假命題；當(dāng)a2時(shí)，兩直線平行，反之，若兩直線平行，則，所以a2，所以“a2”是“兩直線平行”的充要條件，故為假命題；lg xlg ylg(xy)0，所以xy1且x0，y0，所以xy1必成立，反之不然，所以“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件，故為真命題綜上可知，真命題

14、是.三、解答題12判斷下列各題中，p是q的什么條件(1)p：|x|y|，q：xy；(2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形；(3)p：四邊形的對(duì)角線互相平分，q：四邊形是矩形；(4)p：圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2.考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷解(1)|x|y|xy，但xy|x|y|，p是q的必要不充分條件(2)ABC是直角三角形ABC是等腰三角形，ABC是等腰三角形ABC是直角三角形，p是q的既不充分也不必要條件(3)四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形是矩形，四邊形是矩形四邊形的對(duì)角線互相平分，p是q的必要不充分條件(4

15、)若圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，則圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于r，即r，c2(a2b2)r2；反過來，若c2(a2b2)r2，則r成立，說明圓x2y2r2(r0)的圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于r，即圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，故p是q的充要條件13已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，且命題p是命題q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍解令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2

16、或xa由已知pq且qp，得MN，或解得a2或a2，即a2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.四、探究與拓展14下列各題中，p是q的充要條件的是_(填序號(hào))p：m2或m6，q：yx2mxm3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；p：1，q：yf(x)為偶函數(shù)；p：cos cos ，q：tan tan ；p：ABA，q：UBUA.考點(diǎn)充分、必要條件的判斷題點(diǎn)充要條件的判斷答案解析對(duì)于，q：yx2mxm3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)q：m24(m3)0q：m2或m6p；對(duì)于，當(dāng)f(x)0時(shí)，qp；對(duì)于，若，k(kZ)，則有cos cos ，但沒有tan tan ，pq；對(duì)于，p：ABAp：ABq：UBUA.15已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要條件，求m的取值范圍考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍解由x28x200，得2x10，Px|2x10由xP是xS的必要條件，知SP.則當(dāng)0m3時(shí)，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,313