（全國(guó)通用版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1.2 充分條件與必要條件學(xué)案 新人教A版選修2-1

§1.2充分條件與必要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義.2.會(huì)求某些簡(jiǎn)單問(wèn)題成立的充分條件、必要條件、充要條件.3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件(1)“若p，則q”為真命題，是指由p通過(guò)推理可以得出q.這時(shí)，我們就說(shuō)，由p可推出q，記作pq，并且說(shuō)p是q的充分條件，q是p的必要條件(2)若pq，但qp，稱p是q的充分不必要條件，若qp，但pq，稱p是q的必要不充分條件知識(shí)點(diǎn)二充要條件思考在ABC中，角A，B，C為它的三個(gè)內(nèi)角，則“A，B，C成等差數(shù)列”是“B60°”的什么條件？答案因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，故2BAC，又因?yàn)锳BC180°，故B60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差數(shù)列”是“B60°”的充要條件梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq，此時(shí)，我們說(shuō)，p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件(2)充要條件的實(shí)質(zhì)是原命題“若p，則q”和其逆命題“若q，則p”均為真命題，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果pq，那么p與q互為充要條件(3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件.若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若BA，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若AB，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立(1)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件()(2)若p是q的充要條件，則p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題()(3)q不是p的必要條件時(shí)，“pq”成立()類型一充分條件、必要條件、充要條件的判定例1下列各題中，試分別指出p是q的什么條件(1)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等；(2)p：一個(gè)四邊形是矩形，q：四邊形的對(duì)角線相等；(3)p：AB，q：ABA；(4)p：ab，q：acbc.考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷解(1)兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形相似，p是q的必要不充分條件(2)矩形的對(duì)角線相等，pq，而對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，qp，p是q的充分不必要條件(3)pq，且qp，p既是q的充分條件，又是q的必要條件(4)pq，且qp，p是q的既不充分也不必要條件反思與感悟充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法：確定誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論；嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件(2)命題判斷法：如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時(shí)q也不是p的必要條件跟蹤訓(xùn)練1指出下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：ax2ax1>0的解集是R，q：0<a<4；(2)p：|x2|<3，q：<1；(3)p：ABA，q：ABB；(4)p：q：考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷解(1)當(dāng)a0時(shí)，1>0滿足題意；當(dāng)a0時(shí)，由可得0<a<4.故p是q的必要不充分條件(2)易知p：1<x<5，q：1<x<5，所以p是q的充要條件(3)因?yàn)锳BAABB，所以p是q的充要條件(4)由根據(jù)同向不等式相加、相乘的性質(zhì)，有即pq.但比如，當(dāng)1，5時(shí)，而<2，所以qp，所以p是q的充分不必要條件類型二充要條件的探求與證明命題角度1充要條件的探求例2求ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是什么？考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件解(1)當(dāng)a0時(shí)，原方程變?yōu)?x10，即x，符合要求(2)當(dāng)a0時(shí)，ax22x10為一元二次方程，它有實(shí)根的充要條件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一個(gè)負(fù)根的充要條件是即a<0.方程ax22x10有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是即0<a1.綜上所述，ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a1.反思與感悟探求一個(gè)命題的充要條件，可以利用定義法進(jìn)行探求，即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”，也可以尋求結(jié)論的等價(jià)命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(n1)2t(t為常數(shù))，試問(wèn)t1是否為數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件？請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件解是充要條件(充分性)當(dāng)t1時(shí)，Sn(n1)21n22n.a1S13，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1.又a13適合上式，an2n1(nN*)，又an1an2(常數(shù))，數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列故t1是an為等差數(shù)列的充分條件(必要性)an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得t1，故t1是an為等差數(shù)列的必要條件綜上，t1是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件命題角度2充要條件的證明例3求證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明充分性(由ac0推證方程有一正根和一負(fù)根)，ac0，一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac0，原方程一定有兩不等實(shí)根，不妨設(shè)為x1，x2，則x1x20，原方程的兩根異號(hào)，即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根必要性(由方程有一正根和一負(fù)根推證ac0)，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根，不妨設(shè)為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x20，即ac0，此時(shí)b24ac0，滿足原方程有兩個(gè)不等實(shí)根綜上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.反思與感悟?qū)τ诔湟獥l件性命題證明，需要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明，需要分清條件和結(jié)論跟蹤訓(xùn)練3求證：方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根均大于1的充要條件是k2.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明必要性：若方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根，不妨設(shè)兩個(gè)根為x1，x2，則即即解得k2.充分性：當(dāng)k2時(shí)，(2k1)24k214k0.設(shè)方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根為x1，x2.則(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210，x11，x21.綜上可知，方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根的充要條件為k2.類型三利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍)例4設(shè)命題p：x(x3)0，命題q：2x3m，已知p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案3，)解析p：x(x3)0，即0x3；q：2x3m，即x.由題意知pq，qp，則在數(shù)軸上表示不等式如圖所示，則3，解得m3，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為3，)反思與感悟在有些含參數(shù)的充要條件問(wèn)題中，要注意將條件p和q轉(zhuǎn)化為集合，從而轉(zhuǎn)化為兩集合之間的子集關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為不等式(或方程)，從而求得參數(shù)的取值范圍根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍的步驟(1)記集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則MN；(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)；(4)求出參數(shù)的范圍跟蹤訓(xùn)練4設(shè)A，B，記命題p：“yA”，命題q：“yB”，若p是q的必要不充分條件，則m的取值范圍為_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案解析由題意知A(0,1)，B，依題意，得BA，故<m<.1“x0”是“x2x0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案A解析由x2x0x1或x0，由此判斷A符合要求2若a，b，c是實(shí)數(shù)，則“ac0”是“不等式ax2bxc0有解”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案B解析由ac0，得方程ax2bxc0的判別式b24ac0，則方程ax2bxc0一定有實(shí)數(shù)解，此時(shí)不等式ax2bxc0有解；反過(guò)來(lái)，由不等式ax2bxc0有解不能得出ac0，例如，當(dāng)abc1時(shí)，不等式ax2bxc0，即x2x120有解，此時(shí)ac10.故選B.3“關(guān)于x的不等式x22axa0，xR恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是()A0a1 B0a1C0a Da1或a0考點(diǎn)充分條件、必要條件的概念及判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案B解析當(dāng)關(guān)于x的不等式x22axa0，xR恒成立時(shí)，應(yīng)有4a24a0，解得0a1.所以一個(gè)必要不充分條件是0a1.4設(shè)p：1x4，q：xm，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(用區(qū)間表示)考點(diǎn)充分條件的概念及判斷題點(diǎn)由充分條件求取值范圍答案4，)解析因?yàn)閜為q的充分條件，所以1,4)(，m)，得m4.5設(shè)p：|x|1，q：x2或x1，則q是p的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案充分不必要解析由已知，得p：x1或x1，則q是p的充分不必要條件充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行判斷時(shí)，常采用如下方法(1)定義法：分清條件p和結(jié)論q，然后判斷“pq”及“qp”的真假，根據(jù)定義下結(jié)論(2)等價(jià)法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與之等價(jià)的又便于判斷真假的命題(3)集合法：寫出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之間的包含關(guān)系加以判斷.一、選擇題1“x為無(wú)理數(shù)”是“x2為無(wú)理數(shù)”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案B解析當(dāng)x2為無(wú)理數(shù)時(shí)，x為無(wú)理數(shù)2設(shè)a，bR，則“ab2”是“a1且b1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案B3設(shè)xR，則x的一個(gè)必要不充分條件是()Ax3 Bx3 Cx4 Dx4考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案A4在ABC中，若p：A60°，q：sin A，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案A解析因?yàn)閟in 60°，故pq，但當(dāng)sin A時(shí)，A60°或120°.5已知p：x22x30，q：1ax1a，且q是p的必要不充分條件，則a的取值范圍是()A(4，) B(，0C4，) D(，0)考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案C解析由命題p：3x1，因?yàn)閜q，所以即所以a4.6下列四個(gè)條件中，使ab成立的充分不必要條件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3考點(diǎn)充分、必要條件的判斷題點(diǎn)充分不必要條件的判斷答案A解析由ab1b，從而ab1ab；反之，如a4，b3.5，則43.543.51，故abab1，故A正確7設(shè)a1，b1，c1，a2，b2，c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2b1xc1>0和a2x2b2xc2>0的解集分別是集合M和N，那么“”是“MN”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案D解析若<0，則MN，即MN；反之，若MN，即兩個(gè)一元二次不等式的解集為空集時(shí)，只要求判別式1<0，2<0(a1<0，a2<0)，而與系數(shù)之比無(wú)關(guān)8設(shè)函數(shù)f(x)|log2x|，則f(x)在區(qū)間(m,2m1)(m>0)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()A0<m< B0<m<1C<m<1 Dm>1考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)尋求充要條件答案B解析f(x)f(x)的圖象在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增若f(x)在(m,2m1)(m>0)上不是單調(diào)函數(shù)，則0<m<1.二、填空題9若a(1,2x)，b(4，x)，則“a與b的夾角為銳角”是“0x”的_條件考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案既不充分也不必要10已知p：x2x20，q：xm.若p的一個(gè)充分不必要條件是q，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍答案1，)解析由x2x20，解得x1或x2.q是p的充分不必要條件，m1.11有下列命題：“x2且y3”是“xy5”的充分條件；“b24ac0”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集為R”的充要條件；“a2”是“直線ax2y0平行于直線xy1”的充分不必要條件；“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件其中真命題的序號(hào)為_考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷答案解析當(dāng)x2且y3時(shí)，xy5成立，反之不一定，所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要條件，故為真命題；不等式解集為R的充要條件是a0且b24ac0，故為假命題；當(dāng)a2時(shí)，兩直線平行，反之，若兩直線平行，則，所以a2，所以“a2”是“兩直線平行”的充要條件，故為假命題；lg xlg ylg(xy)0，所以xy1且x0，y0，所以xy1必成立，反之不然，所以“xy1”是“l(fā)g xlg y0”的必要不充分條件，故為真命題綜上可知，真命題是.三、解答題12判斷下列各題中，p是q的什么條件(1)p：|x|y|，q：xy；(2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形；(3)p：四邊形的對(duì)角線互相平分，q：四邊形是矩形；(4)p：圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2.考點(diǎn)充分條件、必要條件的判斷題點(diǎn)充分、必要條件的判斷解(1)|x|y|xy，但xy|x|y|，p是q的必要不充分條件(2)ABC是直角三角形ABC是等腰三角形，ABC是等腰三角形ABC是直角三角形，p是q的既不充分也不必要條件(3)四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形是矩形，四邊形是矩形四邊形的對(duì)角線互相平分，p是q的必要不充分條件(4)若圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，則圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于r，即r，c2(a2b2)r2；反過(guò)來(lái)，若c2(a2b2)r2，則r成立，說(shuō)明圓x2y2r2(r0)的圓心(0,0)到直線axbyc0的距離等于r，即圓x2y2r2(r0)與直線axbyc0相切，故p是q的充要條件13已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，且命題p是命題q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的范圍解令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且qp，得MN，或解得a<2或<a2，即a2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.四、探究與拓展14下列各題中，p是q的充要條件的是_(填序號(hào))p：m2或m6，q：yx2mxm3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；p：1，q：yf(x)為偶函數(shù)；p：cos cos ，q：tan tan ；p：ABA，q：UBUA.考點(diǎn)充分、必要條件的判斷題點(diǎn)充要條件的判斷答案解析對(duì)于，q：yx2mxm3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)q：m24(m3)0q：m2或m6p；對(duì)于，當(dāng)f(x)0時(shí)，qp；對(duì)于，若，k(kZ)，則有cos cos ，但沒(méi)有tan tan ，pq；對(duì)于，p：ABAp：ABq：UBUA.15已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要條件，求m的取值范圍考點(diǎn)充分、必要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍解由x28x200，得2x10，Px|2x10由xP是xS的必要條件，知SP.則當(dāng)0m3時(shí)，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,313