（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 2.7 冪函數(shù)講義 文

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1、第七節(jié)冪函數(shù)一、基礎知識批注理解深一點1冪函數(shù)的概念一般地，形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，為常數(shù)冪函數(shù)的特征(1)自變量x處在冪底數(shù)的位置，冪指數(shù)為常數(shù)；(2)x的系數(shù)為1；(3)只有一項2五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0)減，(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(1,1)二、常用結論匯總規(guī)律多一點對于形如f(x)x(其中mN*，nZ，m與n互質(zhì))的冪函數(shù)：(1)當n為偶數(shù)時，f(x)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱；(2)當m，n都為奇數(shù)時，f(

2、x)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱；(3)當m為偶數(shù)時，x0(或x0)，f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點處)三、基礎小題強化功底牢一點(1)函數(shù)y2x是冪函數(shù)()(2)當n0時，冪函數(shù)yxn在(0，)上是增函數(shù)()(3)冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限()答案：(1)(2)(3)(二)選一選1已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點，則k()A.B1C. D2解析：選C因為f(x)kx是冪函數(shù)，所以k1.又f(x)的圖象過點，所以，所以，所以k1.2已知冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點，則f(2)()A.B4C. D.解析：選C設f(x)x，圖象過點，f(4)4，解得，f(2)2.3函數(shù)y

3、x1的圖象關于x軸對稱的圖象大致是()解析：選B函數(shù)yx的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)yx1的圖象可看作由函數(shù)yx的圖象向下平移一個單位得到的(如選項A中的圖所示)，將函數(shù)yx1的圖象關于x軸對稱后即為選項B.(三)填一填4若yax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是_解析：由已知yax是冪函數(shù)，得a1，所以yx，所以y0，故該函數(shù)的值域是0，)答案：0，)5函數(shù)f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)，且在x(0，)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值為_解析：f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)，m2m11，解得m1或m2.又f(x)在(0，)上為增函數(shù)，m2.答案：2 典例(1)(2019贛州階

4、段測試)冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(3，)，則f(x)是()A偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)B偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)C奇函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)D非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)(2)已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)x(nZ)的圖象關于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()A3B1C2 D1或2解析(1)設f(x)x，將點(3，)代入f(x)x，解得，所以f(x)x，可知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)，故選C.(2)冪函數(shù)f(x)(n22n2)x在(0，)上是減函數(shù)，n1，又n1時，f(x)x2的圖象關于y軸對稱，故n1.答案(1)C(2)B解題技法冪

5、函數(shù)yx的主要性質(zhì)及解題策略(1)冪函數(shù)在(0，)內(nèi)都有定義，冪函數(shù)的圖象都過定點(1,1)(2)當0時，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,1)和(0,0)，且在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增；當0時，根據(jù)題意知p1，所以0p1；當p0時，函數(shù)為y1(x0)，符合題意；當p0時，函數(shù)yxp的圖象過點(1,1)，在(0，)上為減函數(shù)，符合題意綜上所述，p的取值范圍是(，1)答案：(，1) 典例若a，b，c，則a，b，c的大小關系是()AabcBcabCbca Dbab，因為yx是減函數(shù)，所以ac，所以babc BacbCcab Dbca解析：選B因為yx在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，所以ac，因為yx是減函數(shù)，所以cb，所以

6、acb.2若(a1)(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：易知函數(shù)yx的定義域為0，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得1a.答案：1若冪函數(shù)yf(x)的圖象過點(4,2)，則f(8)的值為()A4B.C2 D1解析：選C設f(x)xn，由條件知f(4)2，所以24n，n，所以f(x)x，f(8)82.2若冪函數(shù)f(x)xk在(0，)上是減函數(shù)，則k可能是()A1 B2C. D1解析：選D由冪函數(shù)的性質(zhì)得k0，故選D.3已知冪函數(shù)f(x)(m23m3)xm1為偶函數(shù)，則m()A1 B2C1或2 D3解析：選A函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，m23m31，即m23m20，解得m1或m2.當m1時，冪函數(shù)f(

7、x)x2為偶函數(shù)，滿足條件；當m2時，冪函數(shù)f(x)x3為奇函數(shù)，不滿足條件故選A.4(2018邢臺期末)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點，則函數(shù)g(x)f(x)的最小值為()A1 B2C4 D6解析：選A設冪函數(shù)f(x)x.f(x)的圖象過點，2，解得2.函數(shù)f(x)x2，其中x0.函數(shù)g(x)f(x)x221，當且僅當x時，g(x)取得最小值1.5(2019安徽名校聯(lián)考)冪函數(shù)yx|m1|與yx(mZ)在(0，)上都是增函數(shù)，則滿足條件的整數(shù)m的值為()A0 B1和2C2 D0和3解析：選C由題意可得解得m2.6已知a3，b4，c12，則a，b，c的大小關系為()Abac BabcCcba D

8、cabc，故選C.7設x0.20.3，y0.30.2，z0.30.3，則x，y，z的大小關系為()Axzy ByxzCyzx Dzyz.由函數(shù)yx0.3在(0，)上單調(diào)遞增，可得xz.所以xzy.8已知冪函數(shù)f(x)(m1)2x在(0，)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)2xk，當x1,2)時，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若ABA，則實數(shù)k的取值范圍是()A(0,1) B0,1)C(0,1 D0,1解析：選Df(x)是冪函數(shù)，(m1)21，解得m2或m0.若m2，則f(x)x2在(0，)上單調(diào)遞減，不滿足條件若m0，則f(x)x2在(0，)上單調(diào)遞增，滿足條件，即f(x)x2.當x1,2

9、)時，f(x)1,4)，即A1,4)；當x1,2)時，g(x)2k,4k)，即B2k,4k)ABA，BA，2k1且4k4，解得0k1.9若f(x)是冪函數(shù)，且滿足2，則f_.解析：設f(x)x，32，f2.答案：10已知函數(shù)f(x)(m2m5)xm是冪函數(shù)，且在(0，)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是_解析：由f(x)(m2m5)xm是冪函數(shù)m2m51m2或m3.又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以m3.答案：311當0x1時，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2，則f(x)，g(x)，h(x)的大小關系是_解析：分別作出yf(x)，yg(x)，yh(x)的圖象如圖所示，可知h(x)g(x)f(x)答案：h(x)g(x)f(x)12(2019銀川模擬)已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)f(102a)，則a的取值范圍是_解析：由題意得，冪函數(shù)f(x)x的定義域為(0，)，且函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，由f(a1)f(102a)，得解得3af(a1)的實數(shù)a的取值范圍解：(1)冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2，)，2，即22.m2m2，解得m1或m2.又mN*，m1.(2)由(1)知f(x)x，則函數(shù)的定義域為0，)，并且在定義域上為增函數(shù)由f(2a)f(a1)，得解得1a.a的取值范圍為.9