2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第45課 一元二次不等式要點導(dǎo)學(xué)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第45課 一元二次不等式要點導(dǎo)學(xué) 一元二次不等式的解法 　(1) 解不等式:-3x2+4x+4<0; (2) 解關(guān)于x的不等式:x2-(2a+1)x+a(a+1)<0. [思維引導(dǎo)]本題考查一元二次不等式的解法,求解時注意與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象相結(jié)合. [解答](1) 原不等式轉(zhuǎn)化為3x2-4x-4>0,方程3x2-4x-4=0的解為x1=-,x2=2. 根據(jù)y=3x2-4x-4的圖象,可得原不等式的解集為. (2) 原不等式轉(zhuǎn)化為(x-a)(x-a-1)<0,所以原不等式的解集是{x|a

2、的一般方法:(1) 可通過解相應(yīng)一元二次方程的根,再畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象,從而求出不等式的解集;(2) 通過因式分解求一元二次不等式的解集. 　解不等式:(x-2)(x+3)>6. [解答](x+3)(x-2)>6Tx2+x-6>6Tx2+x-12>0T(x-3)(x+4)>0,解得x>3或x<-4, 所以原不等式的解集為(-∞,-4)∪(3,+∞). 一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系 　(xx·惠州模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且不等式f(x)<2x的解集為(-1,2),若方程f(x)+3a=0有兩個相等的實數(shù)根,求f(x)的解析式. [思

3、維引導(dǎo)]對于二次不等式的解集的問題要充分利用相應(yīng)二次方程的根、圖象的情況.用聯(lián)系的觀點去分析研究,從而使二次不等式相關(guān)問題得以解決. [解答]因為f(x)<2x的解集為(-1,2), 所以ax2+(b-2)x+c<0的解集為(-1,2), 所以a>0,且方程ax2+(b-2)x+c=0的兩根為-1和2, 即T 所以f(x)=ax2+(2-a)x-2a(a>0). 因為方程f(x)+3a=0有兩個相等的實數(shù)根,即ax2+(2-a)x+a=0有兩個相等的實數(shù)根, 所以Δ=(2-a)2-4a2=0T3a2+4a-4=0, 所以a=-2或a=. 因為a>0,所以a=,b=,c=-.

4、 所以f(x)=x2+x-. [精要點評]本題主要考查學(xué)生解一元二次不等式、一元二次不等式與一元二次函數(shù)圖象、一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系及應(yīng)用,一元二次不等式的處理經(jīng)常與相應(yīng)函數(shù)的圖象聯(lián)系起來進行處理,結(jié)合圖形、方程根與系數(shù)的關(guān)系有利于快速解題. 　已知函數(shù)f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,當(dāng)x∈(-3,2)時,f(x)>0,當(dāng)x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)時,f(x)<0. (1) 求f(x)的解析式; (2) 若不等式ax2+bx+c≤0的解集為R,求c的取值范圍. [解答](1) 因為函數(shù)f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,當(dāng)x∈(-3,2)時,f(x)

5、>0,當(dāng)x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)時,f(x)<0,所以a<0,f(x)=0的兩根為-3和2,則T 所以f(x)=-3x2-3x+18. (2) 由題意知不等式-3x2+5x+c≤0的解集為R, 所以Δ=25+12c≤0,即c≤-. 故c的取值范圍是. 一元二次方程的實根分布 　已知x2+ax+2=0的兩根都小于-1,求實數(shù)a的取值范圍. [思維引導(dǎo)]利用數(shù)形結(jié)合的方法,即利用一元二次方程和相應(yīng)二次函數(shù)之間的關(guān)系得 [解答]令f(x)=x2+ax+2,因為x2+ax+2=0的兩根都小于-1, 所以解得 2≤a<3. 故實數(shù)a的取值范圍是[2,3). [精要點評]

6、利用二次函數(shù)的圖象分析一元二次方程的根的問題,通常要考查其開口方向、判別式、對稱軸及端點處函數(shù)值的符號. 　已知二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R),且f(1)=0.若關(guān)于x的方程f(x)+x+b=0的兩個實數(shù)根分別在區(qū)間(-3,-2)和(0,1)內(nèi),求實數(shù)b的取值范圍. [解答]二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R),且f(1)=0,則1+2b+c=0. 令g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-b-1,由題意得所以

7、為a件,現(xiàn)經(jīng)銷商計劃在xx年將該商品的價格降至5.5元/件到7.5元/件之間,經(jīng)調(diào)查,顧客的期望價格為4元/件,經(jīng)測算,該商品的價格下降后新增的年銷量與實際價格和顧客期望價格的差成反比,比例系數(shù)為k,該商品的成本價格為3元/件. (1) 寫出該商品價格下降后,經(jīng)銷商的年收益y與實際價格x的函數(shù)關(guān)系式; (2) 設(shè)k=2a,當(dāng)實際價格最低定為多少時,仍然可以保證經(jīng)銷商xx年的收益比xx年至少增長20%? [解答](1) 設(shè)該商品價格下降后為x元/件,銷量增加到件,所以年收益y=(x-3),5.5≤x≤7.5. (2) 當(dāng)k=2a時,依題意有(x-3)≥(8-3)a×(1+20%),解得x

8、≥6或40).若要求在該月月餅的銷售量不少于10萬件,則銷售員的數(shù)量應(yīng)在什么范圍內(nèi)? [解答]由題意得>10,整理得x2-89x+1 600<0,即(x-25)(x-64)<0,解得25

9、團心理學(xué)研究小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t∈(0,14]時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分;當(dāng)t∈[14,40]時,曲線是函數(shù)y=loga(x-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于80時聽課效果最佳. (范題賞析) (1) 試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式; (2) 教師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容,能使得學(xué)生聽課效果最佳?請說明理由. [規(guī)范答題](1) 當(dāng)t∈(0,14]時,設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將點(14,81)代入得c=-, (2分) 則p=

10、f(t)=-(t-12)2+82; (4分) 當(dāng)t∈[14,40]時,將點(14,81)代入y=loga(x-5)+83,得a=. (6分) 所以p=f(t)= (7分) (2) 當(dāng)t∈(0,14]時, 由-(t-12)2+82≥80, 解得12-2≤t≤12+2, 所以t∈[12-2,14]. (11分) 當(dāng)t∈[14,40]時,lo(t-5)+83≥80,解得50的解集

11、是　　　　. [答案]∪(1,+∞) 2. 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為,那么f(10x)>0的解集為　　　　. [答案]{x|x<-lg 2} [解析]根據(jù)已知可得不等式f(x)>0的解是-10的解集是　　　　　　. [答案] [解析]>0等價于(x-2)(x+4)<0,所以-40Tx>或x<0. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)(第89-90頁).