2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第45課 一元二次不等式要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第45課 一元二次不等式要點(diǎn)導(dǎo)學(xué) 一元二次不等式的解法 　(1) 解不等式:-3x2+4x+4<0; (2) 解關(guān)于x的不等式:x2-(2a+1)x+a(a+1)<0. [思維引導(dǎo)]本題考查一元二次不等式的解法,求解時(shí)注意與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象相結(jié)合. [解答](1) 原不等式轉(zhuǎn)化為3x2-4x-4>0,方程3x2-4x-4=0的解為x1=-,x2=2. 根據(jù)y=3x2-4x-4的圖象,可得原不等式的解集為. (2) 原不等式轉(zhuǎn)化為(x-a)(x-a-1)<0,所以原不等式的解集是{x|a

2、的一般方法:(1) 可通過解相應(yīng)一元二次方程的根,再畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象,從而求出不等式的解集;(2) 通過因式分解求一元二次不等式的解集. 　解不等式:(x-2)(x+3)>6. [解答](x+3)(x-2)>6Tx2+x-6>6Tx2+x-12>0T(x-3)(x+4)>0,解得x>3或x<-4, 所以原不等式的解集為(-∞,-4)∪(3,+∞). 一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系 　(xx·惠州模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且不等式f(x)<2x的解集為(-1,2),若方程f(x)+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求f(x)的解析式. [思

3、維引導(dǎo)]對(duì)于二次不等式的解集的問題要充分利用相應(yīng)二次方程的根、圖象的情況.用聯(lián)系的觀點(diǎn)去分析研究,從而使二次不等式相關(guān)問題得以解決. [解答]因?yàn)閒(x)<2x的解集為(-1,2), 所以ax2+(b-2)x+c<0的解集為(-1,2), 所以a>0,且方程ax2+(b-2)x+c=0的兩根為-1和2, 即T 所以f(x)=ax2+(2-a)x-2a(a>0). 因?yàn)榉匠蘤(x)+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即ax2+(2-a)x+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, 所以Δ=(2-a)2-4a2=0T3a2+4a-4=0, 所以a=-2或a=. 因?yàn)閍>0,所以a=,b=,c=-.

4、 所以f(x)=x2+x-. [精要點(diǎn)評(píng)]本題主要考查學(xué)生解一元二次不等式、一元二次不等式與一元二次函數(shù)圖象、一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系及應(yīng)用,一元二次不等式的處理經(jīng)常與相應(yīng)函數(shù)的圖象聯(lián)系起來進(jìn)行處理,結(jié)合圖形、方程根與系數(shù)的關(guān)系有利于快速解題. 　已知函數(shù)f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,當(dāng)x∈(-3,2)時(shí),f(x)>0,當(dāng)x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)時(shí),f(x)<0. (1) 求f(x)的解析式; (2) 若不等式ax2+bx+c≤0的解集為R,求c的取值范圍. [解答](1) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,當(dāng)x∈(-3,2)時(shí),f(x)

5、>0,當(dāng)x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)時(shí),f(x)<0,所以a<0,f(x)=0的兩根為-3和2,則T 所以f(x)=-3x2-3x+18. (2) 由題意知不等式-3x2+5x+c≤0的解集為R, 所以Δ=25+12c≤0,即c≤-. 故c的取值范圍是. 一元二次方程的實(shí)根分布 　已知x2+ax+2=0的兩根都小于-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. [思維引導(dǎo)]利用數(shù)形結(jié)合的方法,即利用一元二次方程和相應(yīng)二次函數(shù)之間的關(guān)系得 [解答]令f(x)=x2+ax+2,因?yàn)閤2+ax+2=0的兩根都小于-1, 所以解得 2≤a<3. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,3). [精要點(diǎn)評(píng)]

6、利用二次函數(shù)的圖象分析一元二次方程的根的問題,通常要考查其開口方向、判別式、對(duì)稱軸及端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào). 　已知二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R),且f(1)=0.若關(guān)于x的方程f(x)+x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(-3,-2)和(0,1)內(nèi),求實(shí)數(shù)b的取值范圍. [解答]二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R),且f(1)=0,則1+2b+c=0. 令g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-b-1,由題意得所以

7、為a件,現(xiàn)經(jīng)銷商計(jì)劃在xx年將該商品的價(jià)格降至5.5元/件到7.5元/件之間,經(jīng)調(diào)查,顧客的期望價(jià)格為4元/件,經(jīng)測算,該商品的價(jià)格下降后新增的年銷量與實(shí)際價(jià)格和顧客期望價(jià)格的差成反比,比例系數(shù)為k,該商品的成本價(jià)格為3元/件. (1) 寫出該商品價(jià)格下降后,經(jīng)銷商的年收益y與實(shí)際價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式; (2) 設(shè)k=2a,當(dāng)實(shí)際價(jià)格最低定為多少時(shí),仍然可以保證經(jīng)銷商xx年的收益比xx年至少增長20%? [解答](1) 設(shè)該商品價(jià)格下降后為x元/件,銷量增加到件,所以年收益y=(x-3),5.5≤x≤7.5. (2) 當(dāng)k=2a時(shí),依題意有(x-3)≥(8-3)a×(1+20%),解得x

8、≥6或40).若要求在該月月餅的銷售量不少于10萬件,則銷售員的數(shù)量應(yīng)在什么范圍內(nèi)? [解答]由題意得>10,整理得x2-89x+1 600<0,即(x-25)(x-64)<0,解得25

9、團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t∈(0,14]時(shí),曲線是二次函數(shù)圖象的一部分;當(dāng)t∈[14,40]時(shí),曲線是函數(shù)y=loga(x-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于80時(shí)聽課效果最佳. (范題賞析) (1) 試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式; (2) 教師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容,能使得學(xué)生聽課效果最佳?請(qǐng)說明理由. [規(guī)范答題](1) 當(dāng)t∈(0,14]時(shí),設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將點(diǎn)(14,81)代入得c=-, (2分) 則p=

10、f(t)=-(t-12)2+82; (4分) 當(dāng)t∈[14,40]時(shí),將點(diǎn)(14,81)代入y=loga(x-5)+83,得a=. (6分) 所以p=f(t)= (7分) (2) 當(dāng)t∈(0,14]時(shí), 由-(t-12)2+82≥80, 解得12-2≤t≤12+2, 所以t∈[12-2,14]. (11分) 當(dāng)t∈[14,40]時(shí),lo(t-5)+83≥80,解得50的解集

11、是　　　　. [答案]∪(1,+∞) 2. 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為,那么f(10x)>0的解集為　　　　. [答案]{x|x<-lg 2} [解析]根據(jù)已知可得不等式f(x)>0的解是-10的解集是　　　　　　. [答案] [解析]>0等價(jià)于(x-2)(x+4)<0,所以-40Tx>或x<0. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評(píng)估》中的練習(xí)(第89-90頁).