高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、選擇題 1．(xx·北京卷)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是(　　) A．y＝e－x B．y＝x C．y＝ln x D．y＝|x| 答案：B 2．函數(shù)f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為(　　) A．3 B．0 C．－1 D．－2 解析：∵f(a)＝2?a3＋sin a＋1＝2， ∴a3＋sin a＝1. ∴f(－a)＝－a3＋sin(－a)＋1＝－(a3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0. 答案：B 3．已知函數(shù)f(x)＝是(－∞，

2、＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是(　　) A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2] 解析：由題意得 解得0＜a≤2.故選D. 答案：D 4．函數(shù)y＝ln(＋1)(x＞－1)的反函數(shù)是(　　) A．y＝(1－ex)3(x＞－1) B．y＝(ex－1)3(x＞－1) C．y＝(1－ex)3(x∈R) D．y＝(ex－1)3(x∈R) 解析：由已知函數(shù)可得＋1＝ey(y∈R)，即＝ey－1，所以x＝(ey－1)3，x，y對調(diào)即得原函數(shù)的反函數(shù)為y＝(ex－1)3(x∈R)．故選D. 答案：D 5．對實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：a

3、b＝ 設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(　　) A．(－1，1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1，2] C．(－∞，－2)∪(1，2] D．[－2，－1] 解析：f(x)＝ ＝ 則f(x)的圖象如下圖所示． ∵函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)， ∴函數(shù)y＝f(x)與y＝c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得－2

4、x≠0}，排除C，D，又因?yàn)閥＝＝＝1＋，所以當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)．故選A. 答案：A 二、填空題 7．若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________． 解析：f＋f ＝f＋f＝f＋f ＝f＋f ＝f＋f ＝－f－f ＝－×－sin π ＝－＋＝. 答案： 8．已知函數(shù)f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)，給出下列命題： ①f(x)的定義域是{x|x＜－1－a或x＞1}； ②f(x)有最小值； ③當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的值域是R； ④當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)

5、． 其中真命題的序號是________． 解析：∵－1－a與1的大小不能確定，須分類討論，故①不對，而當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的值域是R，即③正確，故②不對．顯然，當(dāng)a＞0時(shí)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故在[2，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，故④對． 答案：③④ 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)． (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2(x≠0)為偶函數(shù)； 當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)方法一　設(shè)x2＞x1≥2，f(

6、x1)－f(x2)＝x21＋－x22－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0. 要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，只需f(x1)－f(x2)＜0， 即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，則a≤16. 故a的取值范圍是(－∞，16]． 方法二　f′(x)＝2x－，要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，只需當(dāng)x≥2時(shí)，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，則a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故當(dāng)a≤16時(shí)，f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)．故a的取值范圍是(－∞，16]． 10．f(x)的定義域

7、為R，對任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)證明：f(x)是奇函數(shù)； (2)證明：f(x)在R上是減函數(shù)； (3)求f(x)在區(qū)間[－3，3]上的最大值和最小值． (1)證明：函數(shù)f(x)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對稱，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)， ∴f(x)＋f(－x)＝f(0)． 又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0.從而有f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)證明：任取x1，

8、x2∈R，且x1＜x2，則 f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)． ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. ∴f(x2－x1)＜0. ∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，從而f(x)在R上是減函數(shù)． (3)解析：由于f(x)在R上是減函數(shù)，故f(x)在[－3，3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得 f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6， f(－3)＝－f(3)＝6.從而f(x)在區(qū)間[－

9、3，3]上的最大值是6，最小值是－6. 11．已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性； (2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由． 解析：(1)∵f(x)＝ex－，且y＝ex是增函數(shù)， y＝－是增函數(shù)，∴f(x)是增函數(shù)． ∵f(x)的定義域?yàn)镽， 且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)， 由f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對x∈R恒成立， 則f(x－t)≥f(t2－x2)． ∴t2－x2≤x－t?x2＋x≥t2＋t對x∈R恒成立?≤min對一切x∈R恒成立?≤0?t＝－. 即存在實(shí)數(shù)t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x都成立．