4、＋c2－b2＝ac，又因?yàn)閏os B＝，所以cos B＝，所以B＝30°.
5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a＝0，則B＝________.
解析：由正弦定理可得sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，則sin Bsin C＝sin Ccos B，又sin C≠0，所以tan B＝，則B＝30°.
答案：30°
[清易錯(cuò)]
1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)易忽視解的判斷．
2．利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角
5、和定理對(duì)角的范圍的限制．
1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形解的情況是( )
A．無(wú)解 B．兩解
C．一解 D．不確定
解析：選B ∵＝，
∴sin B＝sin A＝sin 45°＝.
又∵a
6、，已知a＝7，b＝8，c＝13，則角C的大小為_(kāi)_______．
解析：∵在△ABC中，a＝7，b＝8，c＝13，
∴由余弦定理可得cos C＝＝＝－，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
答案：
三角形的面積公式
[過(guò)雙基]
設(shè)△ABC的邊為a，b，c，所對(duì)的三個(gè)角為A，B，C，其面積為S.
(1)S＝ah(h表示邊a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)．
1．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a＝1，b＝，B＝60°，則△ABC的面積為( )
A. B
7、.
C．1 D.
解析：選B 在△ABC中，由正弦定理可得sin A＝＝，則A＝30°，所以C＝90°，則△ABC的面積S＝absin C＝×1××1＝.
2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則BC的長(zhǎng)為( )
A. B.
C．2 D．2
解析：選B 由題意S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，則AC＝1，由余弦定理可得BC＝＝.
3．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為_(kāi)_______．
解析：由余弦定理知72＝52＋BC2－2×5×BC×cos 120°，
即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.
故S
8、△ABC＝AB·BCsin B＝×5×3×＝.
答案：
4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－，則a的值為_(kāi)_______．
解析：由cos A＝－，得sin A＝，所以△ABC的面積為bcsin A＝bc×＝3，解得bc＝24，又b－c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－2bccos A＝22＋2×24－2×24×＝64，解得a＝8.
答案：8
[清易錯(cuò)]
應(yīng)用三角形面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A時(shí)，注意公式中的角應(yīng)為兩邊的夾角．
在△ABC中，內(nèi)
9、角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝2，c＝2，A＝30°，則△ABC的面積為_(kāi)_______．
解析：∵a＝2，c＝2，A＝30°，
∴由正弦定理得sin C＝＝，
∴C＝60°或120°，
∴B＝90°或30°，
則S△ABC＝acsin B＝2或.
答案：2或
正弦、余弦定理實(shí)際應(yīng)用中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)
[過(guò)雙基]
1．仰角和俯角
在視線(xiàn)和水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫仰角，在水平線(xiàn)下方的角叫俯角(如圖①)．
2．方位角
從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．
3．方向角
相對(duì)于某一正方向的水平角．
(1)北
10、偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)；
(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向；
(3)南偏西等其他方向角類(lèi)似．
4．坡角與坡度
(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角(如圖④，角θ為坡角)；
(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱(chēng)為坡比．
1．(2018·濰坊調(diào)研)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB＝10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
解析：選D
11、 如圖，在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，又A＝60°，由正弦定理，得＝，即＝，解得BC＝5.
2．江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線(xiàn)成30°角，則兩條船相距________m.
解析：如圖，OM＝AO·tan 45°＝30(m)，
ON＝AO·tan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝ ＝＝10(m)．
答案：10
3.如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)
12、B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向，且與它相距8 n mile.則此船的航速是________n mile/h.
解析：設(shè)航速為v n mile/h，
在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理得＝，則v＝32.
答案：32
[清易錯(cuò)]
易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向線(xiàn)按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)之間的水平夾角，而方向角是正北或正南方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的銳角．
若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的( )
A．北偏東15° B．北偏西15°
C．北偏東10° D．北偏西10°
解析：選B
13、如圖所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.
一、選擇題
1．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，則此三角形的最大內(nèi)角為( )
A．60° B．90°
C．120° D．135°
解析：選C ∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，
∴a∶b∶c＝1∶1∶，設(shè)a＝m，則b＝m，c＝m.
∴cos C＝＝＝－，
∴C＝120°.
2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況
14、是( )
A．有一解 B．有兩解
C．無(wú)解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定
解析：選C 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即滿(mǎn)足條件的三角形不存在．
3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝.則c的值為( )
A．4 B．2
C．5 D．6
解析：選A ∵c＝2a，b＝4，cos B＝，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即16＝c2＋c2－c2＝c2，
解得c＝4.
4．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，則△ABC的
15、面積等于( )
A. B.
C. D.
解析：選B 由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，
故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，
又A＝B＝，則△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
5．(2018·湖南四校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，則角C的大小為( )
A.或 B.或
C. D.
解析：選A 由題意知，＝?cos C＝，
sin C＝，又C∈(0，π)，∴C＝或.
6．已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地
16、間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：選D 如圖所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10(km)．
7．(2018·貴州質(zhì)檢)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：選C ∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2
17、－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
8．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40 n mile的速度沿南偏東40°的方向直線(xiàn)航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．20 n mile D．20 n mile
解析：選A 畫(huà)出示意圖如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10.
故B，C兩
18、點(diǎn)間的距離是10 n mile.
二、填空題
9．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，則c＝________.
解析：因?yàn)?sin A＝2sin B，所以由正弦定理可得3a＝2b，則b＝3，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝16，則c＝4.
答案：4
10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若角A，B，C成等差數(shù)列，且邊a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為_(kāi)_______．
解析：∵在△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B＝A＋C，由三角形內(nèi)角和
19、定理，可得B＝，
又∵邊a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴ac＝a2＋c2－ac，即a2＋c2－2ac＝0，
故(a－c)2＝0，可得a＝c，
所以△ABC的形狀為等邊三角形．
答案：等邊三角形
11．已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：由AC＝b＝2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，以2為半徑的圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)A＝90°時(shí)，圓與AB相切，只有一解；當(dāng)A＝45°時(shí)，交于B點(diǎn)，也就是只有一解，所以要使三角形
20、有兩解，需滿(mǎn)足45°
21、－)．
∵CD⊥AD，
∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350.
故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10 000－7 350＝2 650(m)．
答案：2 650
三、解答題
13．(2017·山東高考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b＝3，＝－6，S△ABC＝3，求A和a.
解：因?yàn)椤ぃ剑?，
所以bccos A＝－6，
又S△ABC＝3，
所以bcsin A＝6，
因此tan A＝－1，又0＜A＜π，
所以A＝.
又b＝3，所以c＝2.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得a2＝9＋8－2×
22、3×2×＝29，
所以a＝.
14．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2bcos C＝acos C＋ccos A.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2，c＝，求a及△ABC的面積．
解：(1)∵2bcos C＝acos C＋ccos A，
∴由正弦定理可得2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C，即2sin Bcos C＝sin(A＋C)＝sin B.
又sin B≠0，∴cos C＝，C＝.
(2)∵b＝2，c＝，C＝，
∴由余弦定理可得7＝a2＋4－2×a×2×，
即a2－2a－3＝0，
解得a＝3或－1(舍去)，
∴
23、△ABC的面積S＝absin C＝×3×2×＝.
高考研究課(一)
正、余弦定理的3個(gè)基礎(chǔ)點(diǎn)——邊角、形狀和面積
[全國(guó)卷5年命題分析]
考點(diǎn)
考查頻度
考查角度
解三角形求邊、角
5年6考
求解三角形中的邊、角值
三角形面積問(wèn)題
5年6考
由面積求邊、求比值，求面積最值
利用正、余弦定理解三角形
[典例] (2017·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝.
(1)求b和sin A的值；
(2)求sin的值．
[解] (1)在△ABC中，因?yàn)閍>b，
故由sin B＝，可得cos B
24、＝.
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
所以b＝.
由正弦定理＝，得sin A＝＝.
所以b的值為，sin A的值為.
(2)由(1)及a
25、的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．
[即時(shí)演練]
1．(2017·山東高考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿(mǎn)足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，則下列等式成立的是( )
A．a(chǎn)＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
解析：選A 由題意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin
26、Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.
2．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________.
解析：法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，得
2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B＞0，
因此cos B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
法二：由2bcos B＝acos C＋ccos A及余弦定理，得
2b·＝a·＋c·，
整理得，a2＋c2－b2＝ac，
所以2
27、accos B＝ac＞0，cos B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
答案：
3.(2018·成都二診)如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE＝1，連接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的長(zhǎng)．
解：(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝.
∵B＝，BE＝1，CE＝，
∴sin∠BCE＝＝＝.
(2)∵∠CED＝B＝，∴∠DEA＝∠BCE，∴cos∠DEA＝＝＝＝.
∵A＝，∴△AED為直角三角形，又AE＝5，
∴ED＝＝＝2.
在△CED中，CD2＝CE2＝＋DE2－2CE·DE·cos
28、∠CED＝7＋28－2××2×＝49.
∴CD＝7.
利用正、余弦定理判斷三角形形狀
要判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.
依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩條途徑：
(1)角化邊；(2)邊化角.
[典例] 在△ABC中，“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)”，試判斷三角形的形狀．
[解] ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋
29、sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
法一：用“邊化角”解題
由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
30、
法二：用“角化邊”解題
由正弦定理、余弦定理得：
a2b·＝b2a·，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
[方法技巧]
判斷三角形形狀的2種方法
(1)“邊化角”
利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．
(2)“角化邊”
利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通
31、過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．
[提醒] 在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．
[即時(shí)演練]
1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
解析：選B 依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn)，由正弦定理，
得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，
從而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，
∴A＝，∴△ABC
32、是直角三角形．
2．在△ABC中，“2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，且sin B＋sin C＝1”，試判斷△ABC的形狀．
解：由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得，cos A＝－，sin A＝，
則sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，所以sin Bsin C＝，
解得sin B＝sin C＝.
因?yàn)?
33、BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.
[解] (1)由題設(shè)及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，
即sin B＝4(1－cos B)，
故17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝或cos B＝1(舍去)．
(2)由cos B＝，得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，則ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××＝4.
34、所以b＝2.
[方法技巧]
三角形面積公式的應(yīng)用原則
(1)對(duì)于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．
(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．
[即時(shí)演練]
1．(2018·太原一模)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則c等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選D ∵S△ABC＝bcsin A，∴＝×1×c×，∴c＝4.
2．(2018·陜西四校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos
35、 A＝.
(1)求cos2＋cos 2A的值；
(2)若a＝，求△ABC面積的最大值．
解：(1)cos2＋cos 2A
＝＋2cos2A－1
＝－＋2cos2A－1
＝－×＋2×2－1
＝－.
(2)由余弦定理可得()2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
所以bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝時(shí)，bc有最大值.
又cos A＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝ ＝，
于是△ABC面積的最大值為××＝.
1．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝( )
A. B.
C．－ D．－
解
36、析：選C 法一：設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
則由題意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.
∴cos A＝＝＝－.
法二：如圖，AD為△ABC中BC邊上的高．設(shè)BC＝a，由題意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝ ＝a.
同理，在Rt△ACD中，AC＝ ＝a.
∴cos A＝＝－.
2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，則A＝_
37、_______.
解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，
因?yàn)?°＜B＜180°，所以B＝45°或135°.
因?yàn)閎＜c，所以B＜C，故B＝45°，
所以A＝180°－60°－45°＝75°.
答案：75°
3．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
解析：因?yàn)锳，C為△ABC的內(nèi)角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正
38、弦定理得b＝＝×＝.
答案：
4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．
解：(1)由題設(shè)得acsin B＝，
即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.
所以B＋C＝，故A＝.
由題設(shè)得bcsin A＝，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，
39、
得b＋c＝.
故△ABC的周長(zhǎng)為3＋.
5．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝4(負(fù)值舍去)．
(2)由題設(shè)可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD的面積與△ACD的面積的比值為
＝1.
又△ABC的面積為×4×2×sin＝2，
所以△ABD的
40、面積為.
6．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．
解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
因?yàn)閟in C≠0，可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，
41、從而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周長(zhǎng)為5＋.
7．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求B.
解：(1)由正弦定理，得
＝，＝.
因?yàn)锳D平分∠BAC，BD＝2DC，
所以＝＝.
(2)因?yàn)镃＝180°－(∠BAC＋B)，∠BAC＝60°，
所以sin C＝sin(∠BAC＋B)＝cos B＋sin B.
由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝，
所以B＝30°.
8．(2013·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋c
42、sin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面積的最大值．
解：(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B． ①
又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．?、?
由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．
因此△ABC面積的最大值為×＝＋1.
一、選擇題
1．在△ABC
43、中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，若B為銳角，則A∶B∶C＝( )
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3
C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
解析：選B 因?yàn)閍＝1，b＝，A＝30°，B為銳角，所以由正弦定理可得sin B＝＝，則B＝60°，所以C＝90°，則A∶B∶C＝1∶2∶3.
2．如果將直角三角形三邊增加相同的長(zhǎng)度，則新三角形一定是( )
A．銳角三角形
B．鈍角三角形
C．直角三角形
D．根據(jù)增加的長(zhǎng)度確定三角形的形狀
解析：選A 設(shè)原來(lái)直角三角形的三邊長(zhǎng)是a，b，c且a2＝b2＋c2，在原來(lái)的三角形三條邊長(zhǎng)的基礎(chǔ)上都加
44、上相同的長(zhǎng)度，設(shè)為d，原來(lái)的斜邊仍然是最長(zhǎng)的邊，故cos A＝＝>0，所以新三角形中最大的角是一個(gè)銳角，故選A.
3．(2018·太原模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，則下列關(guān)系一定不成立的是( )
A．a(chǎn)＝c B．b＝c
C．2a＝c D．a(chǎn)2＋b2＝c2
解析：選B 由余弦定理，得cos A＝＝＝，則A＝30°.又b＝a，由正弦定理得sin B＝sin A＝sin 30°＝，所以B＝60°或120°.當(dāng)B＝60°時(shí)，△ABC為直角三角形，且2a＝c，可知C、D成立；當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，
45、可知A成立，故選B.
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則cos∠DAC＝( )
A. B.
C. D.
解析：選B 如圖所示，設(shè)CD＝a，則易知AC＝a，AD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.
5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選C 因?yàn)?S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2
46、＋2ab，
則由面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，
即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，
即＝4，
所以＝4，
解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．
6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足b2＋c2－a2＝bc，·>0，a＝，則b＋c的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選B 在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理可得cos A＝＝＝，
∵A是△ABC的內(nèi)角，∴A＝60°.
∵a＝，
∴由正弦定理得＝＝＝＝1，
∴b＋c＝sin B＋sin
47、(120°－B)＝sin B＋cos B
＝sin(B＋30°)．
∵·＝||·||·cos(π－B)>0，
∴cos B<0，B為鈍角，
∴90°
48、n Bcos C＋sin B＝0，因?yàn)閟in B≠0，所以cos C＝－，則C＝120°，所以S＝absin 120°＝c，則c＝ab.由余弦定理可得2＝a2＋b2－2abcos C≥3ab，則ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，所以ab的最小值為12.
答案：12
8．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________.
解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，
由余弦定理得cos∠ABC＝
＝＝，
則sin∠ABC＝sin∠CBD＝，
所以S△
49、BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.
因?yàn)锽D＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，
則cos∠CDB＝ ＝.
答案：
9．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閍＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
所以(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C.
由正弦定理得b2＋c2－bc＝4，
又因?yàn)閎2＋c2≥2bc，所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形為等邊三角形，
50、所以S＝bcsin 60°≤×4×＝，
故△ABC的面積的最大值為.
答案：
三、解答題
10．(2017·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)．
(1)求cos A的值；
(2)求sin(2B－A)的值．
解：(1)由asin A＝4bsin B，及＝，得a＝2b.
由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，
得cos A＝＝＝－.
(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，得sin B＝＝.
由(1)知，A為鈍角，所以cos B＝＝.
于是sin 2B＝2
51、sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A
＝×－×＝－.
11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin B＝bcos A.
(1)求角A的大?。?
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積．
解：(1)因?yàn)閍sin B＝bcos A，由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A.
又sin B≠0，從而tan A＝.
由于0
52、3＝0.
因?yàn)閏>0，所以c＝3.
故△ABC的面積S＝bcsin A＝.
法二：由正弦定理，得＝，從而sin B＝，
又由a>b，知A>B，所以cos B＝.
故sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面積S＝absin C＝.
12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin B·(acos B＋bcos A)＝ccos B.
(1)求B；
(2)若b＝2，△ABC的面積為2，求△ABC的周長(zhǎng)．
解：(1)由正弦定理得，
sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin Ccos
53、 B，
∴sin Bsin(A＋B)＝sin Ccos B，
∴sin Bsin C＝sin Ccos B.
∵sin C≠0，∴sin B＝cos B，即tan B＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝ac＝2，∴ac＝8.
根據(jù)余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B，
∴12＝a2＋c2－8，即a2＋c2＝20，
∴a＋c＝＝＝6，
∴△ABC的周長(zhǎng)為6＋2.
1．在平面五邊形ABCDE中，已知∠A＝120°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠E＝90°，AB＝3，AE＝3，當(dāng)五邊形ABCDE的面積S∈時(shí)，則BC的取值范圍為_(kāi)_
54、______．
解析：因?yàn)锳B＝3，AE＝3，且∠A＝120°，
由余弦定理可得BE＝＝3，且∠ABE＝∠AEB＝30°.
又∠B＝90°，∠E＝90°，所以∠DEB＝∠EBC＝60°.
又∠C＝120°，所以四邊形BCDE是等腰梯形．
易得三角形ABE的面積為，
所以四邊形BCDE的面積的取值范圍是.
在等腰梯形BCDE中，令BC＝x，則CD＝3－x，且梯形的高為，
故梯形BCDE的面積為·(3＋3－x)·，
即15≤(6－x)x<24，
解得≤x<2或4
55、半圓周上的C處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿(mǎn)足果樹(shù)生長(zhǎng)的需要，該光源照射范圍是∠ECF＝，點(diǎn)E，F(xiàn)在直徑AB上，且∠ABC＝.
(1)若CE＝，求AE的長(zhǎng)；
(2)設(shè)∠ACE＝α，求該空地種植果樹(shù)的最大面積．
解：(1)由已知得△ABC為直角三角形，
因?yàn)锳B＝8，∠ABC＝，
所以∠BAC＝，AC＝4.
在△ACE中，由余弦定理得，CE2＝AC2＋AE2－2AC·AEcos A，且CE＝，
所以13＝16＋AE2－4AE，
解得AE＝1或AE＝3.
(2)因?yàn)椤螦CB＝，∠ECF＝，
所以∠ACE＝α∈，
所以∠AFC＝π－∠BAC－∠ACF＝π－－＝－α，
在△ACF中，由正弦
56、定理得＝＝＝，
所以CF＝，
在△ACE中，由正弦定理得＝＝，
所以CE＝，
所以S△ECF＝CE·CFsin∠ECF＝＝.
因?yàn)棣痢剩浴?α＋≤π，
所以0≤sin≤1，
所以當(dāng)sin＝0，即α＝時(shí)，S△ECF取得最大值為4.
即該空地種植果樹(shù)的最大面積為4 m2.
高考研究課(二)
正、余弦定理的3個(gè)應(yīng)用點(diǎn)——高度、距離和角度
[全國(guó)卷5年命題分析]
考點(diǎn)
考查頻度
考查角度
高度問(wèn)題
5年1考
測(cè)量山高問(wèn)題
距離問(wèn)題
未考查
角度問(wèn)題
未考查
測(cè)量高度問(wèn)題
[典例] 如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A
57、處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.
[解析] 由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．
[答案] 100
[方法技巧]
利用正、余弦定理求解高度問(wèn)題應(yīng)注意的3個(gè)方面
(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它
58、是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．
(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．
[即時(shí)演練]
1.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為( )
A．10 m B．20 m
C．20 m D．40 m
解析：選D 設(shè)電視塔的高度為x m，則BC＝x，BD＝x.在△BCD
59、中，根據(jù)余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故電視塔的高度為40 m.
2.如圖，為測(cè)得河岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10 m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是________m.
解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理得，＝，
所以BC＝＝10.
在Rt△ABC中，tan 60°＝，
AB＝BCtan 60°＝10(m
60、)．
答案：10
測(cè)量距離問(wèn)題
[典例] 如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測(cè)出A，C的距離m，再借助儀器，測(cè)出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.
若測(cè)出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______m.
[解析] ∵∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
∴由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20(m)．
即A，B兩點(diǎn)間的距離為20 m.
[答案] 20
[方法技巧]
求距離問(wèn)題的2個(gè)注意事項(xiàng)
61、
(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．
(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．
[即時(shí)演練]
1.如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角α，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．即AB＝.
若測(cè)得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______m.
解析：在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
∴AB2＝4
62、002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200 (m)．
即A，B兩點(diǎn)間的距離為200 m.
答案：200
2.隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的C，D兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．
解：在△ACD中，∠ACD＝120°，
∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝.
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2
63、＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝ ，
所以A，B兩目標(biāo)之間的距離為 km.
角度問(wèn)題
[典例] (2018·南昌模擬)如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ＋30°角的方向沿直線(xiàn)前往B處營(yíng)救，則sin θ的值為( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖，連接BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2
64、AB·AC·cos 120°＝700，
∴BC＝10， 再由正弦定理，得＝，
∴sin θ＝.
[答案] A
[方法技巧]
解決測(cè)量角度問(wèn)題的3個(gè)注意點(diǎn)
(1)明確方向角的含義．
(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．
(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．
[即時(shí)演練]
1.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( )
A．北偏東10° B．北偏西10°
C．南偏東80° D．南偏西80°
65、
解析：選D 由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.
2.如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線(xiàn)CB前往B處救援，求cos θ的值．
解：如題中圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20.
由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝·sin∠B
66、AC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
1．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m.
解析：在△ABC中，AC＝100，在△MAC中，由正弦定理得＝，解得MA＝100，在△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150.即山高M(jìn)N為150 m.
答案：150
2.(2014·四川高考)如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于( )
A．240(－1)m
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
解析：選C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan 60°－60tan
（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六單元 解三角形學(xué)案 文
