（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六單元 解三角形學(xué)案 文

第六單元 解三角形教材復(fù)習(xí)課“解三角形”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò)正弦定理、余弦定理過(guò)雙基1正弦定理2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos_C.余弦定理可以變形：cos A，cos B，cos C.1設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2，c2 ，cos A，且bc，則b()A3B2C2 D.解析：選C由a2b2c22bccos A，得4b2126b，解得b2或4，bc，b2.2在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b2c2a2bc，則角A的大小為()A30° B60°C120° D150°解析：選B由余弦定理可得b2c2a22bccos A，又因?yàn)閎2c2a2bc，所以cos A，則A60°.3在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asin Absin B<csin C，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析：選C根據(jù)正弦定理可得a2b2<c2.由余弦定理得cos C<0，所以角C是鈍角，故選C.4(2018·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，則角B的大小為()A30° B45°C60° D120°解析：選A由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)·sin A，得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，又因?yàn)閏os B，所以cos B，所以B30°.5在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bcos Cbsin Ca0，則B_.解析：由正弦定理可得sin Bcos Csin Bsin Csin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，則sin Bsin Csin Ccos B，又sin C0，所以tan B，則B30°.答案：30°清易錯(cuò)1由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)易忽視解的判斷2利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制1在ABC中，若a18，b24，A45°，則此三角形解的情況是()A無(wú)解 B兩解C一解 D不確定解析：選B，sin Bsin Asin 45°.又a<b，B有兩個(gè)解，即此三角形有兩解2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_.解析：在ABC中，sin B，0<B<，B或B.又BC<，C，B，A.，b1.答案：13在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a7，b8，c13，則角C的大小為_(kāi)解析：在ABC中，a7，b8，c13，由余弦定理可得cos C，C(0，)，C.答案：三角形的面積公式過(guò)雙基設(shè)ABC的邊為a，b，c，所對(duì)的三個(gè)角為A，B，C，其面積為S.(1)Sah(h表示邊a上的高)(2)Sbcsin Aacsin Babsin C.(3)Sr(abc)(r為ABC內(nèi)切圓的半徑)1在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a1，b，B60°，則ABC的面積為()A. B.C1 D.解析：選B在ABC中，由正弦定理可得sin A，則A30°，所以C90°，則ABC的面積Sabsin C×1××1.2在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面積為，則BC的長(zhǎng)為()A. B.C2 D2解析：選B由題意SABC·AB·AC·sin A，則AC1，由余弦定理可得BC.3在ABC中，B120°，AC7，AB5，則ABC的面積為_(kāi)解析：由余弦定理知7252BC22×5×BC×cos 120°，即4925BC25BC，解得BC3.故SABCAB·BCsin B×5×3×.答案：4在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為3，bc2，cos A，則a的值為_(kāi)解析：由cos A，得sin A，所以ABC的面積為bcsin Abc×3，解得bc24，又bc2，所以a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A222×242×24×64，解得a8.答案：8清易錯(cuò)應(yīng)用三角形面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A時(shí)，注意公式中的角應(yīng)為兩邊的夾角在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2，c2，A30°，則ABC的面積為_(kāi)解析：a2，c2，A30°，由正弦定理得sin C，C60°或120°，B90°或30°，則SABCacsin B2或.答案：2或正弦、余弦定理實(shí)際應(yīng)用中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)過(guò)雙基1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)3方向角相對(duì)于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似4坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角(如圖，角為坡角)；(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比1(2018·濰坊調(diào)研)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB10 n mile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC()A10 n mileB. n mileC5 n mile D5 n mile解析：選D如圖，在ABC中，C180°60°75°45°，又A60°，由正弦定理，得，即，解得BC5.2江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距_m.解析：如圖，OMAO·tan 45°30(m)，ONAO·tan 30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)答案：103.如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向，且與它相距8 n mile.則此船的航速是_n mile/h.解析：設(shè)航速為v n mile/h，在ABS中ABv，BS8，BSA45°，由正弦定理得，則v32.答案：32清易錯(cuò)易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且ACBC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A北偏東15° B北偏西15°C北偏東10° D北偏西10°解析：選B如圖所示，ACB90°，又ACBC，CBA45°，而30°，90°45°30°15°.點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.一、選擇題1已知ABC中，sin Asin Bsin C11，則此三角形的最大內(nèi)角為()A60°B90°C120° D135°解析：選Csin Asin Bsin C11，abc11，設(shè)am，則bm，cm.cos C，C120°.2在ABC中，已知b40，c20，C60°，則此三角形的解的情況是()A有一解 B有兩解C無(wú)解 D有解但解的個(gè)數(shù)不確定解析：選C由正弦定理得，sin B>1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在3在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c2a，b4，cos B.則c的值為()A4 B2C5 D6解析：選Ac2a，b4，cos B，由余弦定理得b2a2c22accos B，即16c2c2c2c2，解得c4.4已知ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若A，b2acos B，c1，則ABC的面積等于()A. B.C. D.解析：選B由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B，又AB，則ABC是正三角形，所以SABCbcsin A×1×1×.5(2018·湖南四校聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若(a2b2c2)tan Cab，則角C的大小為()A.或 B.或C. D.解析：選A由題意知，cos C，sin C，又C(0，)，C或.6已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得ABC120°，則A，C兩地間的距離為()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：選D如圖所示，由余弦定理可得，AC21004002×10×20×cos 120°700，AC10(km)7(2018·貴州質(zhì)檢)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A3 B.C. D3解析：選Cc2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C×6×.8一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40 n mile的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A10 n mileB10 n mileC20 n mile D20 n mile解析：選A畫出示意圖如圖所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10.故B，C兩點(diǎn)間的距離是10 n mile.二、填空題9在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c_.解析：因?yàn)?sin A2sin B，所以由正弦定理可得3a2b，則b3，由余弦定理可得c2a2b22abcos C492×2×3×16，則c4.答案：410在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若角A，B，C成等差數(shù)列，且邊a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_(kāi)解析：在ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，2BAC，由三角形內(nèi)角和定理，可得B，又邊a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，由余弦定理可得b2a2c22accos B，aca2c2ac，即a2c22ac0，故(ac)20，可得ac，所以ABC的形狀為等邊三角形答案：等邊三角形11已知ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ax，b2，B45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍為_(kāi)解析：由ACb2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，以2為半徑的圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)A90°時(shí)，圓與AB相切，只有一解；當(dāng)A45°時(shí)，交于B點(diǎn)，也就是只有一解，所以要使三角形有兩解，需滿足45°<A<90°，即<sin A<1，由正弦定理可得ax2sin A，所以2<x<2.答案：(2,2)12如圖，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開(kāi)m(取1.4，1.7)解析：如圖，作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意知A15°，DBC45°，ACB30°，AB50×42021 000(m)又在ABC中，BC×sin 15°10 500()CDAD，CDBC·sinDBC10 500()×10 500(1)7 350.故山頂?shù)暮０胃叨萮10 0007 3502 650(m)答案：2 650三、解答題13(2017·山東高考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b3，6，SABC3，求A和a.解：因?yàn)?#183;6，所以bccos A6，又SABC3，所以bcsin A6，因此tan A1，又0A，所以A.又b3，所以c2.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a2982×3×2×29，所以a.14在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2bcos Cacos Cccos A.(1)求角C的大小；(2)若b2，c，求a及ABC的面積解：(1)2bcos Cacos Cccos A，由正弦定理可得2sin Bcos Csin Acos Ccos Asin C，即2sin Bcos Csin(AC)sin B.又sin B0，cos C，C.(2)b2，c，C，由余弦定理可得7a242×a×2×，即a22a30，解得a3或1(舍去)，ABC的面積Sabsin C×3×2×.高考研究課(一)正、余弦定理的3個(gè)基礎(chǔ)點(diǎn)邊角、形狀和面積全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度解三角形求邊、角5年6考求解三角形中的邊、角值三角形面積問(wèn)題5年6考由面積求邊、求比值，求面積最值利用正、余弦定理解三角形典例(2017·天津高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a>b，a5，c6，sin B.(1)求b和sin A的值；(2)求sin的值解(1)在ABC中，因?yàn)閍>b，故由sin B，可得cos B.由已知及余弦定理，得b2a2c22accos B13，所以b.由正弦定理，得sin A.所以b的值為，sin A的值為.(2)由(1)及a<c，得cos A，所以sin 2A2sin Acos A，cos 2A12sin2A.故sinsin 2Acoscos 2Asin×.方法技巧應(yīng)用正、余弦定理的解題策略(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷即時(shí)演練1(2017·山東高考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，則下列等式成立的是()Aa2bBb2aCA2B DB2A解析：選A由題意可知sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，即2sin Bcos Csin Acos C，又cos C0，故2sin Bsin A，由正弦定理可知a2b.2(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_.解析：法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，因此cos B.又0B，所以B.法二：由2bcos Bacos Cccos A及余弦定理，得2b·a·c·，整理得，a2c2b2ac，所以2accos Bac0，cos B.又0B，所以B.答案：3.(2018·成都二診)如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE1，連接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的長(zhǎng)解：(1)在BEC中，由正弦定理，知.B，BE1，CE，sinBCE.(2)CEDB，DEABCE，cosDEA.A，AED為直角三角形，又AE5，ED2.在CED中，CD2CE2DE22CE·DE·cosCED7282××2×49.CD7.利用正、余弦定理判斷三角形形狀要判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩條途徑：(1)角化邊；(2)邊化角.典例在ABC中，“(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)”，試判斷三角形的形狀解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos B·b22cos Asin B·a2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：用“邊化角”解題由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin A·sin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC為等腰三角形或直角三角形法二：用“角化邊”解題由正弦定理、余弦定理得：a2b·b2a·，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC為等腰三角形或直角三角形方法技巧判斷三角形形狀的2種方法(1)“邊化角”利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論(2)“角化邊”利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀提醒在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解即時(shí)演練1設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析：選B依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn)，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，從而sin(BC)sin Asin2A，解得sin A1，A，ABC是直角三角形2在ABC中，“2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，且sin Bsin C1”，試判斷ABC的形狀解：由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得，cos A，sin A，則sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，所以sin Bsin C，解得sin Bsin C.因?yàn)?<B<，0<C<，故BC，所以ABC是等腰鈍角三角形三角形面積問(wèn)題典例(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求b.解(1)由題設(shè)及ABC得sin B8sin2，即sin B4(1cos B)，故17cos2B32cos B150，解得cos B或cos B1(舍去)(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362××4.所以b2.方法技巧三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化 即時(shí)演練1(2018·太原一模)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A60°，b1，SABC，則c等于()A1 B2C3 D4解析：選DSABCbcsin A，×1×c×，c4.2(2018·陜西四校聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos A.(1)求cos2cos 2A的值；(2)若a，求ABC面積的最大值解：(1)cos2cos 2A2cos2A12cos2A1×2×21.(2)由余弦定理可得()2b2c22bccos Ab2c2bc2bcbcbc，所以bc，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，bc有最大值.又cos A，A(0，)，所以sin A ，于是ABC面積的最大值為××.1(2016·全國(guó)卷)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A()A. B.C D解析：選C法一：設(shè)ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則由題意得SABCa·aacsin B，ca.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2a22×a×a×a2，ba.cos A.法二：如圖，AD為ABC中BC邊上的高設(shè)BCa，由題意知ADBCa，B，易知BDADa，DCa.在RtABD中，由勾股定理得，AB a.同理，在RtACD中，AC a.cos A.2(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C60°，b，c3，則A_.解析：由正弦定理，得sin B，因?yàn)?°B180°，所以B45°或135°.因?yàn)閎c，所以BC，故B45°，所以A180°60°45°75°.答案：75°3(2016·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.解析：因?yàn)锳，C為ABC的內(nèi)角，且cos A，cos C，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.又a1，所以由正弦定理得b×.答案：4(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周長(zhǎng)解：(1)由題設(shè)得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由題設(shè)得bcsin A，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故ABC的周長(zhǎng)為3.5(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積解：(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos ，即c22c240.解得c4(負(fù)值舍去)(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面積與ACD的面積的比值為1.又ABC的面積為×4×2×sin2，所以ABD的面積為.6(2016·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)解：(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.因?yàn)閟in C0，可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長(zhǎng)為5.7(2015·全國(guó)卷)ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60°，求B.解：(1)由正弦定理，得，.因?yàn)锳D平分BAC，BD2DC，所以.(2)因?yàn)镃180°(BACB)，BAC60°，所以sin Csin(BACB)cos BsinB.由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，所以B30°.8(2013·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面積Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立因此ABC面積的最大值為×1.一、選擇題1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a1，b，A30°，若B為銳角，則ABC()A113B123C132 D141解析：選B因?yàn)閍1，b，A30°，B為銳角，所以由正弦定理可得sin B，則B60°，所以C90°，則ABC123.2如果將直角三角形三邊增加相同的長(zhǎng)度，則新三角形一定是()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D根據(jù)增加的長(zhǎng)度確定三角形的形狀解析：選A設(shè)原來(lái)直角三角形的三邊長(zhǎng)是a，b，c且a2b2c2，在原來(lái)的三角形三條邊長(zhǎng)的基礎(chǔ)上都加上相同的長(zhǎng)度，設(shè)為d，原來(lái)的斜邊仍然是最長(zhǎng)的邊，故cos A>0，所以新三角形中最大的角是一個(gè)銳角，故選A.3(2018·太原模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2c2a2bc，且ba，則下列關(guān)系一定不成立的是()Aac BbcC2ac Da2b2c2解析：選B由余弦定理，得cos A，則A30°.又ba，由正弦定理得sin Bsin Asin 30°，所以B60°或120°.當(dāng)B60°時(shí)，ABC為直角三角形，且2ac，可知C、D成立；當(dāng)B120°時(shí)，C30°，所以AC，即ac，可知A成立，故選B.4在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90°，AB2BC2CD，則cosDAC()A. B.C. D.解析：選B如圖所示，設(shè)CDa，則易知ACa，ADa，在ACD中，CD2AD2AC22AD×AC×cosDAC，a2(a)2(a)22×a×a×cosDAC，cosDAC.5在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ABC的面積為S，且2S(ab)2c2，則tan C等于()A. B.C D解析：選C因?yàn)?S(ab)2c2a2b2c22ab，則由面積公式與余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，即4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)6在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足b2c2a2bc，·>0，a，則bc的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B在ABC中，b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，A是ABC的內(nèi)角，A60°.a，由正弦定理得1，bcsin Bsin(120°B)sin Bcos Bsin(B30°)·|·|·cos(B)>0，cos B<0，B為鈍角，90°<B<120°，120°<B30°<150°，故sin(B30°)，bcsin(B30°).二、填空題7在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面積Sc，則ab的最小值為_(kāi)解析：將2ccos B2ab中的邊化為角可得2sin Ccos B2sin Asin B2sin Ccos B2sin Bcos Csin B則2sin Bcos Csin B0，因?yàn)閟in B0，所以cos C，則C120°，所以Sabsin 120°c，則cab.由余弦定理可得2a2b22abcos C3ab，則ab12，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào)，所以ab的最小值為12.答案：128(2017·浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_.解析：在ABC中，ABAC4，BC2，由余弦定理得cosABC，則sinABCsinCBD，所以SBDCBD·BCsinCBD×2×2×.因?yàn)锽DBC2，所以CDBABC，則cosCDB .答案：9已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_(kāi)解析：因?yàn)閍2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，所以(ab)(sin Asin B)(cb)sin C.由正弦定理得b2c2bc4，又因?yàn)閎2c22bc，所以bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形為等邊三角形，所以Sbcsin 60°×4×，故ABC的面積的最大值為.答案：三、解答題10(2017·天津高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知asin A4bsin B，ac(a2b2c2)(1)求cos A的值；(2)求sin(2BA)的值解：(1)由asin A4bsin B，及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos A.(2)由(1)，可得sin A，代入asin A4bsin B，得sin B.由(1)知，A為鈍角，所以cos B.于是sin 2B2sin Bcos B，cos 2B12sin2B，故sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A××.11在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asin Bbcos A.(1)求角A的大?。?2)若a，b2，求ABC的面積解：(1)因?yàn)閍sin Bbcos A，由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A.又sin B0，從而tan A.由于0<A<，所以A.(2)法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，及a，b2，A，得74c22c，即c22c30.因?yàn)閏>0，所以c3.故ABC的面積Sbcsin A.法二：由正弦定理，得，從而sin B，又由a>b，知A>B，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面積Sabsin C.12在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin B·(acos Bbcos A)ccos B.(1)求B；(2)若b2，ABC的面積為2，求ABC的周長(zhǎng)解：(1)由正弦定理得，sin B(sin Acos Bsin Bcos A)sin Ccos B，sin Bsin(AB)sin Ccos B，sin Bsin Csin Ccos B.sin C0，sin Bcos B，即tan B.B(0，)，B.(2)SABCacsin Bac2，ac8.根據(jù)余弦定理得，b2a2c22accos B，12a2c28，即a2c220，ac6，ABC的周長(zhǎng)為62.1在平面五邊形ABCDE中，已知A120°，B90°，C120°，E90°，AB3，AE3，當(dāng)五邊形ABCDE的面積S時(shí)，則BC的取值范圍為_(kāi)解析：因?yàn)锳B3，AE3，且A120°，由余弦定理可得BE3，且ABEAEB30°.又B90°，E90°，所以DEBEBC60°.又C120°，所以四邊形BCDE是等腰梯形易得三角形ABE的面積為，所以四邊形BCDE的面積的取值范圍是.在等腰梯形BCDE中，令BCx，則CD3x，且梯形的高為，故梯形BCDE的面積為·(33x)·，即15(6x)x<24，解得x<2或4<x5.答案：，2)(4，52.如圖，有一直徑為8 m的半圓形空地，現(xiàn)計(jì)劃種植果樹(shù)，但需要有輔助光照半圓周上的C處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足果樹(shù)生長(zhǎng)的需要，該光源照射范圍是ECF，點(diǎn)E，F(xiàn)在直徑AB上，且ABC.(1)若CE，求AE的長(zhǎng)；(2)設(shè)ACE，求該空地種植果樹(shù)的最大面積解：(1)由已知得ABC為直角三角形，因?yàn)锳B8，ABC，所以BAC，AC4.在ACE中，由余弦定理得，CE2AC2AE22AC·AEcos A，且CE，所以1316AE24AE，解得AE1或AE3.(2)因?yàn)锳CB，ECF，所以ACE，所以AFCBACACF，在ACF中，由正弦定理得，所以CF，在ACE中，由正弦定理得，所以CE，所以SECFCE·CFsinECF.因?yàn)椋?，所以0sin1，所以當(dāng)sin0，即時(shí)，SECF取得最大值為4.即該空地種植果樹(shù)的最大面積為4 m2.高考研究課(二)正、余弦定理的3個(gè)應(yīng)用點(diǎn)高度、距離和角度全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度高度問(wèn)題5年1考測(cè)量山高問(wèn)題距離問(wèn)題未考查角度問(wèn)題未考查測(cè)量高度問(wèn)題典例如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_m.解析由題意，在ABC中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBC·tan 30°300×100 (m)答案100方法技巧利用正、余弦定理求解高度問(wèn)題應(yīng)注意的3個(gè)方面(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題即時(shí)演練1.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的BCD120°，CD40 m，則電視塔的高度為()A10 mB20 mC20 m D40 m解析：選D設(shè)電視塔的高度為x m，則BCx，BDx.在BCD中，根據(jù)余弦定理得3x2x24022×40x×cos 120°，即x220x8000，解得x40或x20(舍去)故電視塔的高度為40 m.2.如圖，為測(cè)得河岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10 m到位置D，測(cè)得BDC45°，則塔AB的高是_m.解析：在BCD中，CD10，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°，由正弦定理得，所以BC10.在RtABC中，tan 60°，ABBCtan 60°10(m)答案：10測(cè)量距離問(wèn)題典例如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測(cè)出A，C的距離m，再借助儀器，測(cè)出ACB，CAB，在ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測(cè)出AC60 m，BAC75°，BCA45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)m.解析ABC180°75°45°60°，由正弦定理得，AB20(m)即A，B兩點(diǎn)間的距離為20 m.答案20方法技巧求距離問(wèn)題的2個(gè)注意事項(xiàng)(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理即時(shí)演練1.如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離即AB.若測(cè)得CA400 m，CB600 m，ACB60°，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)m.解析：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcosACB，AB2400260022×400×600cos 60°280 000.AB200 (m)即A，B兩點(diǎn)間的距離為200 m.答案：200 2.隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的C，D兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離解：在ACD中，ACD120°，CADADC30°，所以ACCD.在BCD中，BCD45°，BDC75°，CBD60°，由正弦定理知BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cosACB()222×××cos 75°325，所以AB ，所以A，B兩目標(biāo)之間的距離為 km.角度問(wèn)題典例(2018·南昌模擬)如圖所示，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往營(yíng)救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東30°角的方向沿直線前往B處營(yíng)救，則sin 的值為()A. B.C. D.解析如圖，連接BC，在ABC中，AC10，AB20，BAC120°，由余弦定理，得BC2AC2AB22AB·AC·cos 120°700，BC10， 再由正弦定理，得，sin .答案A方法技巧解決測(cè)量角度問(wèn)題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)明確方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用即時(shí)演練1.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東80° D南偏西80°解析：選D由條件及圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2.如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解：如題中圖所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.1(2014·全國(guó)卷)如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60°，C點(diǎn)的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60°，已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.解析：在ABC中，AC100，在MAC中，由正弦定理得，解得MA100，在MNA中，MNMA·sin 60°150.即山高M(jìn)N為150 m.答案：1502.(2014·四川高考)如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m解析：選Ctan 15°tan(60°45°)2，BC60tan 60°60tan