2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理考點(diǎn)一三角恒等變換與求值1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin.(2)cos()coscossinsin.(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos.(2)cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan2.3輔助角公式asinxbcosxsin(x).對點(diǎn)訓(xùn)練1(2018山西長治二模)已知sin，則cos的值為()A. B.C. D.解析sin，cos，sin22sincos2，cos212sin21221，cos.故

2、選A.答案A2(2018河南濮陽一模)設(shè)090，若sin(752)，則sin(15)sin(75)()A. B. C D解析因?yàn)?90，所以75752255.又因?yàn)閟in(752)0，所以180752255，角752為第三象限角，所以cos(752).所以sin(15)sin(75)sin(15)cos(15)sin(302)sin(752)45sin(752)cos45cos(752)sin45，故選B.答案B3(2018豫北名校聯(lián)考)計算： _.(用數(shù)字作答)解析.答案4(2018河南六市聯(lián)考)已知cos，cos()，若0，則_.解析由cos，0，得sin，由0，得0.又cos()，sin

3、() .由()得coscos()coscos()sinsin().，.答案快速審題(1)看到三角函數(shù)求值，想到已知角與未知角間的和、差、倍的關(guān)系，想到公式求解(2)看到三角函數(shù)的平方，想到用二倍角公式降冪(1)三角恒等變換的三原則一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理拆分，從而正確使用公式，如2題二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等(2)解決條件求值應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角正確地運(yùn)用有關(guān)公式將

4、所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小，如4題考點(diǎn)二解三角形1正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.2余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推論：cosA，cosB，cosC.變形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC.3面積公式SABCbcsinAacsinBabsinC

5、.角度1：利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀解析由cosB12sin2得sin2，即cosB.解法一：由余弦定理得，即a2c2b22a2，a2b2c2.ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等，故選A.解法二：由正弦定理得cosB，又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，cosBsinCsinBcosCcosBsinC，即sinBcosC0，又sinB0，cosC0，又角C為三角形的內(nèi)角，C，ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等，故選A.答案A角度2：利用正弦、余弦定理進(jìn)行邊角計算解(1)由2cosAcosC(tanAtanC1)1，得2(sinAsinCco

6、sAcosC)1，即cos(AC)，cosBcos(AC)，又0B，B.(2)由余弦定理得cosB，又ac，b，2ac3ac，即ac，SABCacsinB.探究追問1若本例第(2)問條件變?yōu)椤叭鬮，SABC”，試求ac的值解由已知SABCacsinB，ac，則ac6.由余弦定理，得b2a2c22accosB(ac)23ac，所以(ac)2b23ac21，所以ac.探究追問2在本例條件下，若b，求ABC面積的最大值解由余弦定理，得b2a2c22accosBa2c2ac，則3a2c2ac2acac，所以ac3(當(dāng)且僅當(dāng)ac時取等號)所以SABCacsinB3sin.故ABC面積的最大值為.利用正、

7、余弦定理解三角形應(yīng)注意的3點(diǎn)(1)利用正、余弦定理解三角形時，涉及邊與角的余弦的積時，常用正弦定理將邊化為角，涉及邊的平方時，一般用余弦定理(2)涉及邊a，b，c的齊次式時，常用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的正弦值，再利用三角公式進(jìn)行變形(3)涉及正、余弦定理與三角形面積綜合問題，求三角形面積時用SabsinC形式的面積公式對點(diǎn)訓(xùn)練1角度1在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，則ABC的形狀為()A直角三角形B等邊三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析因?yàn)?a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，所以b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)s

8、in(AB)所以a2cosAsinBb2sinAcosB.解法一：由正弦定理知a2RsinA，b2RsinB，所以sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB.又sinAsinB0，所以sinAcosAsinBcosB，所以sin2Asin2B.在ABC中，02A2，02B2，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB.所以ABC為等腰或直角三角形解法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以(a2b2)(a2b2c2)0，所以a2b20或a2b2c20，即ab或a2b2c2.所以ABC為等腰或直角三角形答案C2角度2(2018河南、河北重

9、點(diǎn)中學(xué)第三次聯(lián)考)如圖，在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c4，b2,2ccosCb，D，E分別為線段BC上的點(diǎn)，且BDCD，BAECAE.(1)求線段AD的長；(2)求ADE的面積解(1)因?yàn)閏4，b2,2ccosCb，所以cosC.由余弦定理得cosC，所以a4，即BC4.在ACD中，CD2，AC2，所以AD2AC2CD22ACCDcosACD6，所以AD.(2)因?yàn)锳E是BAC的平分線，所以2，又，所以2，所以CEBC，DE2.又因?yàn)閏osC，所以sinC.所以SADEDEACsinC.考點(diǎn)三正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用1實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三

10、角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解對點(diǎn)訓(xùn)練1(2018廣東省五校協(xié)作體高三一診)如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的A處測得DAC15，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測得DBC45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos_.解析由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由內(nèi)角和定理可得D

11、CB180(45)4590，根據(jù)正弦定理可得，即DB100sin15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos1.答案12(2018福州綜合質(zhì)量檢測)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時14 s，則這輛汽車的速度約為_m/s.(精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：1.414，2.236.解析因?yàn)樾∶髟贏處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45.設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC14v m，在RtADB中，AB200

12、 m.在RtADC中，AC100 m.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，解得v22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.答案22.6快速審題看到三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，想到各類角的概念，想到確定一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型解三角形實(shí)際問題的4步驟1(2018全國卷)若sin，則cos2()A. B. C D解析由sin，得cos212sin21221.故選B.答案B2(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C()A. B. C. D.解析根據(jù)余弦定理

13、得a2b2c22abcosC，因?yàn)镾ABC，所以SABC，又SABCabsinC，所以tanC1，因?yàn)镃(0，)，所以C.故選C.答案C3(2018全國卷)已知sincos1，cossin0，則sin()_.解析由sincos1，cossin0，兩式平方相加，得22sincos2cossin1，整理得sin().答案4(2018天津卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大?。?2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos

14、，可得tanB.又因?yàn)锽(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因?yàn)閍c，故cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.1.高考對此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn)2若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第49或第1315題位置上3若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等熱點(diǎn)課題8

15、解三角形中的范圍問題感悟體驗(yàn)(2018河南豫北聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且acosC(2bc)cosA.(1)求角A的大??；(2)求cos2sin2的取值范圍解(1)由正弦定理將原等式化為sinAcosC2sinBcosAsinCcosA，從而可得，sin(AC)2sinBcosA，即sinB2sinBcosA.又B為三角形的內(nèi)角，所以sinB0，于是cosA.又A為三角形的內(nèi)角，因此A.(2)cos2sin2sinBcosC1sinBcos1sinBcoscosBsinsinB1sinBcosB1sin1，由A可知，B，所以B，從而sin，因此，sin1，故cos

16、2sin2的取值范圍為.專題跟蹤訓(xùn)練(十五)一、選擇題1(2018廣東七校聯(lián)考)已知sincos，則cos()A B. C D.解析由sincos，得sincoscos，即sincos，亦即sin，sin，cossinsin，故選C.答案C2(2018貴陽監(jiān)測)已知sin，則cos的值是()A. B. C D解析sin，coscos12sin2，coscoscoscos.答案D3(2018湖北武漢模擬)在ABC中，a，b，B，則A等于()A. B. C. D.或解析由正弦定理得，所以sinA，所以A或.又ab，所以AB，所以A.答案B4在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B2C

17、,2bcosC2ccosBa，則角A的大小為()A. B. C. D.解析由正弦定理得2sinBcosC2sinCcosBsinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，sinBcosC3sinCcosB，sin2CcosC3sinCcos2C,2cos2C3(cos2Csin2C)，tan2C，B2C，C為銳角，tanC，C，B，A，故選A.答案A5在ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊若bsinA3csinB，a3，cosB，則b()A14 B6 C. D.解析bsinA3csinBab3bca3cc1，b2a2c22accosB912316，b，故選D.答案D6(201

18、8山東日照二模)如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB1，BC2，ACD為正三角形，則BCD面積的最大值為()A22 B.C.2 D.1解析在ABC中，設(shè)ABC，ACB，由余弦定理得：AC21222212cos，ACD為正三角形，CD2AC254cos，SBCD2CDsinCDsinCDcosCDsin，在ABC中，由正弦定理得：，ACsinsin，CDsinsin，(CDcos)2CD2(1sin2)CD2sin254cossin2(2cos)2，0，cosB.(1)由cosB，得sinB，sinA，.又ab10，a4.(2)b2a2c22accosB，b3，a5，4525c28c，即c28c200，解得c10或c2(舍去)，SacsinB15.12在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)證明：ab2c；(2)求cosC的最小值解(1)證明：由題意知2，化簡得2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB，即2sin(AB)sinAsinB.因?yàn)锳BC，所以sin(AB)sin(C)sinC.從而sinAsinB2sinC.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cosC，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立故cosC的最小值為.