（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 理 新人教A版

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1、第1講直線與圓做真題題型一圓的方程1(2016高考全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()ABC D2解析：選A由題可知，圓心為(1，4)，結(jié)合題意得1，解得a.2(2015高考全國卷)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：由題意知a4，b2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，2)，(0，2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0，2)，(0，2)，(4，0)三點(diǎn)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2(0m4，r0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x)2y2.答案：(x)2y23(2018高考全國卷)設(shè)拋物線C：

2、y24x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為yk(x1)(k0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)

3、2(y6)2144.題型二直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1(2018高考全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2，6B4，8C，3 D2，3 解析：選A圓心(2，0)到直線的距離d2，所以點(diǎn)P到直線的距離d1，3根據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面積S|AB|d1d1.因?yàn)閐1，3，所以S2，6，即ABP面積的取值范圍是2，62(2015高考全國卷)過三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|()A2 B8C4 D10解析：選C設(shè)

4、圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得所以圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，所以M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，所以|MN|4，故選C3(2016高考全國卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)若|AB|2，則|CD|_解析：設(shè)圓心到直線l：mxy3m0的距離為d，則弦長(zhǎng)|AB|22，得d3，即3，解得m，則直線l：xy60，數(shù)形結(jié)合可得|CD|4.答案：4明考情1近兩年圓的方程成為高考全國卷命題的熱點(diǎn)，需重點(diǎn)關(guān)注此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查2直線與圓的方

5、程偶爾單獨(dú)命題，單獨(dú)命題時(shí)有一定的深度，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對(duì)直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上直線的方程考法全練1若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a()A1或0 B或0C D或0解析：選A因?yàn)槠矫鎯?nèi)三點(diǎn)A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，所以kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.故選A2若直線mx2ym0與直線3mx(m1)y70平行，則m的值為()A7 B0或7C0 D4解析：選B因?yàn)橹本€mx2ym0與直線3mx(m1)y70平行，所以m(m1)3m2，所以m0或7，經(jīng)檢驗(yàn)，都符

6、合題意故選B3已知點(diǎn)A(1，2)，B(2，11)，若直線yx1(m0)與線段AB相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A2，0)3，) B(，1(0，6C2，13，6 D2，0)(0，6解析：選C由題意得，兩點(diǎn)A(1，2)，B(2，11)分布在直線yx1(m0)的兩側(cè)(或其中一點(diǎn)在直線上)，所以0，解得2m1或3m6，故選C4已知直線l過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點(diǎn)，且點(diǎn)P(0，4)到直線l的距離為2，則直線l的方程為_解析：由得所以直線l1與l2的交點(diǎn)為(1，2)顯然直線x1不符合，即所求直線的斜率存在，設(shè)所求直線的方程為y2k(x1)，即kxy2k0，因?yàn)镻(0，4)到直線l

7、的距離為2，所以2，所以k0或k.所以直線l的方程為y2或4x3y20.答案：y2或4x3y205(一題多解)已知直線l：xy10，l1：2xy20.若直線l2與l1關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l2的方程是_解析：法一：l1與l2關(guān)于l對(duì)稱，則l1上任意一點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在l2上，故l與l1的交點(diǎn)(1，0)在l2上又易知(0，2)為l1上的一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則，解得即(1，0)，(1，1)為l2上兩點(diǎn)，故可得l2的方程為x2y10.法二：設(shè)l2上任一點(diǎn)為(x，y)，其關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為(x1，y1)，則由對(duì)稱性可知解得因?yàn)?x1，y1)在l1上，所以2(y1)(x1)20，即l2

8、的方程為x2y10.答案：x2y10(1)兩直線的位置關(guān)系問題的解題策略求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即斜率相等且縱截距不相等或斜率互為負(fù)倒數(shù)若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究或直接用直線的一般式方程判斷(2)軸對(duì)稱問題的兩種類型及求解方法點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，而且連接P1，P2的直線垂直于對(duì)稱軸l.由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B0，x1x2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱有兩種情況，一是已知直線與對(duì)稱軸

9、相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來解決圓的方程典型例題 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線：yx2mx2m(mR)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線與y軸交于點(diǎn)C.(1)是否存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由(2)求證：過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)【解】由曲線：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則可得m28m0，x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即C(0，2m)(1)若存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，則0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0或m.由0得m8，所以m，此時(shí)C(0

10、，1)，AB的中點(diǎn)M即圓心，半徑r|CM|，故所求圓的方程為y2.(2)證明：設(shè)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程為x2y2mxEy2m0，將點(diǎn)C(0，2m)代入可得E12m，所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2y2mx(12m)y2m0，整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)(0，1)和.求圓的方程的2種方法幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，2)BC(2，0) D解析：選D若方程

11、表示圓，則a2(2a)24(2a2a1)0，化簡(jiǎn)得3a24a40，解得2a.2經(jīng)過原點(diǎn)且與直線xy20相切于點(diǎn)(2，0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24解析：選A設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a，b)，則a2b2r2，(a2)2b2r2，1，聯(lián)立解得a1，b1，r22.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x1)2(y1)22.故選A3(2019安徽合肥模擬)已知圓M：x2y22xa0，若AB為圓M的任意一條直徑，且6(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則圓M的半徑為()A BC D2解析：選C圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y21a(a0，又圓C與y軸相切，

12、所以圓C的半徑ra，所以圓C的方程為(xa)2y2a2.因?yàn)辄c(diǎn)M(1，)在圓C上，所以(1a)2()2a2，解得a2.所以圓C的方程為(x2)2y24.(2)記直線OA的斜率為k(k0)，則其方程為ykx.聯(lián)立消去y，得(k21)x24x0，解得x10，x2.所以A.由kkOB2，得kOB，直線OB的方程為yx，在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用代替k，得B.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得k22，此時(shí)直線l的方程為x.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即k22.則直線l的斜率為.故直線l的方程為y.即y，所以直線l過定點(diǎn).綜上，直線l恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.一、選擇題1已知直線l1過點(diǎn)(2，0)且傾斜角為30，直線l2過點(diǎn)(2，

13、0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A(3，)B(2，)C(1，) D解析：選C直線l1的斜率k1tan 30，因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2，所以直線l1的方程為y(x2)，直線l2的方程為y(x2)，聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)2圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24解析：選A由題意得，圓C的半徑為，圓心坐標(biāo)為(1，)，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)22，故選A3已知圓M：x2y

14、22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離解析：選B圓M：x2y22ay0(a0)可化為x2(ya)2a2，由題意，M(0，a)到直線xy0的距離d，所以a22，解得a2.所以圓M：x2(y2)24，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交4(2019皖南八校聯(lián)考)圓C與直線2xy110相切，且圓心C的坐標(biāo)為(2，2)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，y0)若在圓C上存在一點(diǎn)Q，使得CPQ30，則y0的取值范圍是()A， B1，5C2，2 D22，22解析：選C由點(diǎn)C(2，2)到直線2xy110的距離為，

15、可得圓C的方程為(x2)2(y2)25.若存在這樣的點(diǎn)Q，當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，CPQ30，可得sinCPQsin 30，即CP2，則2，解得2y02.故選C5在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過定點(diǎn)P的直線l：axy10與過定點(diǎn)Q的直線m：xay30相交于點(diǎn)M，則|MP|2|MQ|2()A BC5 D10解析：選D由題意知P(0，1)，Q(3，0)，因?yàn)檫^定點(diǎn)P的直線axy10與過定點(diǎn)Q的直線xay30垂直，所以MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故選D6(一題多解)(2019河南鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線xky10與圓C：x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在圓C上，

16、則實(shí)數(shù)k的值為()A2 B1C0 D1解析：選C法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，則4k212(k21)0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因?yàn)椋蔒，又點(diǎn)M在圓C上，故4，解得k0.法二：由直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在圓C上，得圓心C(0，0)到直線xky10的距離為半徑的一半，為1，即d1，解得k0.二、填空題7過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于_解析：令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，當(dāng)AOB90時(shí)，AOB的面積

17、取得最大值，此時(shí)過點(diǎn)O作OHAB于點(diǎn)H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以O(shè)PH30，則直線AB的傾斜角為150，故直線AB的斜率為tan 150.答案：8已知圓O：x2y24到直線l：xya的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：由圓的方程可知圓心為(0，0)，半徑為2.因?yàn)閳AO到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線l的距離dr121，即d3，解得a(3，3)答案：(3，3)9(2019高考浙江卷)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2xy30與圓C相切于點(diǎn)A(2，1)，則m_，r_解析：法一：設(shè)過點(diǎn)A(2，1)且與直線2xy30垂

18、直的直線方程為l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，則r.法二：因?yàn)橹本€2xy30與以點(diǎn)(0，m)為圓心的圓相切，且切點(diǎn)為A(2，1)，所以21，所以m2，r.答案：2三、解答題10已知點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍(1)求曲線E的方程；(2)已知m0，設(shè)直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點(diǎn)當(dāng)CD的斜率為1時(shí)，求直線CD的方程解：(1)設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得，整理得x2y24x10，即(x2)2y23為所求(2)由題意知l1l2，且兩條直線

19、均恒過點(diǎn)N(1，0)設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2，0)，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P，連接EP，ED，NP，則直線EP：yx2.設(shè)直線CD：yxt，由解得點(diǎn)P，由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|CD|，而|NP|2，|ED|23，|EP|2，所以3，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直線CD的方程為yx或yx3.11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值解：(1)不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，

20、x2滿足x2mx20，所以x1x22.又C的坐標(biāo)為(0，1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況(2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，可得BC的中垂線方程為yx2(x)由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線方程為x.聯(lián)立又xmx220，可得所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(，)，半徑r.故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為23，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，

21、求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍解：(1)因?yàn)閳A心在直線l：y2x4上，也在直線yx1上，所以解方程組得圓心C(3，2)，又因?yàn)閳AC的半徑為1，所以圓C的方程為(x3)2(y2)21，又因?yàn)辄c(diǎn)A(0，3)，顯然過點(diǎn)A，圓C的切線的斜率存在，設(shè)所求的切線方程為ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切線方程為y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l：y2x4上，所以設(shè)圓心C為(a，2a4)，又因?yàn)閳AC的半徑為1，則圓C的方程為(xa)2(y2a4)21.設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|2|MO|，則有2，整理得x2(y1)24，其表示圓心為(0，1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D，所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)，所以2121，解得0a，所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.- 17 -