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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理 (III)一、選擇題（本大題共12題，每題5分，滿(mǎn)分60分，每小題只有一個(gè)正確答案） 1.命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)”的否命題是()A若x，y都是偶數(shù)，則xy不是偶數(shù)B若x，y都不是偶數(shù)，則xy不是偶數(shù)C若x，y都不是偶數(shù)，則xy是偶數(shù)D若x，y不都是偶數(shù)，則xy不是偶數(shù)2.設(shè)x，y是兩個(gè)實(shí)數(shù)，命題：“x，y中至少有一個(gè)數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是()Axy2 Bxy2 Cx2y22 Dxy13.已知：p：|x1|2，q：xZ，若pq，q同時(shí)為假命題，則滿(mǎn)足條件的x的集合為()Ax|x1或x3，xZBx|1x3，xZCx|x1或x3，x
2、ZDx|1x3，xZ4.已知橢圓=1(ab0)上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿(mǎn)足AFBF，設(shè)ABF，且，則該橢圓的離心率e的取值范圍為()A， B， C， D，5.光線(xiàn)被曲線(xiàn)反射，等效于被曲線(xiàn)在反射點(diǎn)處的切線(xiàn)反射已知光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如圖，橢圓C：1(ab0)與雙曲線(xiàn)C：1(m0，n0)有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線(xiàn)從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線(xiàn)間連續(xù)反射，則光線(xiàn)經(jīng)過(guò)2k(kN*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為()Ak(am) B2k(am) Ck(a
3、m) D2k(am)6.已知P為拋物線(xiàn)y24x上一動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，對(duì)于定點(diǎn)A(4,5)，則|PA|d的最小值為()A4 B C1 D17.已知正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為a，設(shè)a，b，c，則，等于()A30 B60 C90 D1208.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，B1E1A1B1，則等于()A B C D9.如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱，兩兩夾角都為60，且AB2，AD1，AA13，M、N分別為BB1、B1C1的中點(diǎn)，則MN與AC所成角的余弦值為()A B C D10.已知曲線(xiàn)C的方程為yxlnx
4、，則C上點(diǎn)x1處的切線(xiàn)的傾斜角為()A B C D11.設(shè)函數(shù)f(x)cos(x)(0，b0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離等于，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)若F1AB的面積等于6，求直線(xiàn)l的方程21. （12分）如下圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求證：BC平面PAC；(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)E，使得二面角ADEP為直二面角？并說(shuō)明理由22. （12分）已知直線(xiàn)l1：4x3y60和直線(xiàn)l2：
5、x.若拋物線(xiàn)C：y22px(p0)上的點(diǎn)到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和的最小值為2.(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)若以?huà)佄锞€(xiàn)上任意一點(diǎn)M為切點(diǎn)的直線(xiàn)l與直線(xiàn)l2交于點(diǎn)N，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由答案1.D2.B3.D4.C5.D6.D7.D8.C9.B10.B11.B12.C13.6cos 3914.2xy15015.x216.17.解(1)y3x23.則過(guò)點(diǎn)P且以P(1，2)為切點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率k1f(1)0，所求直線(xiàn)方程為y2.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，3x0)，則直線(xiàn)l的斜率k2f(x0)33，直線(xiàn)l的方程為y(3
6、x0)(33)(xx0)，又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1，2)，2(3x0)(33)(1x0)，3x02(33)(x01)，解得x01(舍去)或x0，故所求直線(xiàn)斜率k33，于是y(2)(x1)，即yx.18.若命題p為真，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為xm，則m2.若命題q為真，當(dāng)m0時(shí)，原不等式為8x40，顯然不成立當(dāng)m0時(shí)，則有1m4.因?yàn)閜q為真，pq為假，所以命題p，q一真一假故或解得m1或2m4.所以m的取值范圍為(，1(2,4)19.(1)由F1AB90及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知bc，則e.(2)由已知得a2b21，設(shè)B(x，y)，A(0，b)，則(1，b)，(x1，y)，由2，即(1，b)2(x1，y)，解得x，
7、y，則1，得a23，因此b22，橢圓的方程為1.20. 【解析】 (1)依題意，b，2a1，c2，雙曲線(xiàn)的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2,0)易驗(yàn)證當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)不滿(mǎn)足題意故可設(shè)直線(xiàn)l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，當(dāng)k時(shí)，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F(xiàn)1AB的面積Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|12|k|6，得k48k290，則k1.所以直線(xiàn)l方程為yx2或yx2.21.以A為原點(diǎn)，分別為y軸、z軸的正方向，過(guò)A點(diǎn)且垂直于平面PAB的直線(xiàn)為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)PAa，由已知
8、可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)(1)(0,0，a)，0，BCAP，又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D為PB的中點(diǎn)，DEBC，E為PC的中點(diǎn)，D，E，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E，DAE是AD與平面PAC所成的角，cosDAE，AD與平面PAC所成的角的正弦值為.(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90，在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC，這時(shí)AEP90，故存在點(diǎn)E，使得二面角ADEP是
9、直二面角22.(1)由定義知l2為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F由拋物線(xiàn)定義，知拋物線(xiàn)上點(diǎn)到直線(xiàn)l2的距離等于其到焦點(diǎn)F的距離所以?huà)佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F到直線(xiàn)l1的距離所以2，則p2，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y24x.(2)設(shè)M(x0，y0)，由題意知直線(xiàn)l斜率存在，設(shè)斜率為k，且k0，所以直線(xiàn)l方程為yy0k(xx0)，代入y24x，消x得ky24y4y0k0.由164k(4y0k)0，得k.所以直線(xiàn)l方程為yy0(xx0)，令x1，又由4x0，得N.設(shè)Q(x1,0)，則(x0x1，y0)，由題意知0，即(x0x1)(1x1)0，把4x0代入上式，得(1x1)x0x120.因?yàn)閷?duì)任意的x0，等式恒成立，所以解得x11，即在x軸上，存在定點(diǎn)Q(1,0)，在以MN為直徑的圓上
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