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1、2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第59講 雙曲線檢測
1．(2015·福建卷)若雙曲線E：－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(B)
A．11 B．9
C．5 D．3
由題意知a＝3.由雙曲線的定義有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝9.
2．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為(C)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
因為＝，所以c＝a，所以b＝＝a.
而－＝1的漸近線方程為y＝±x，
所以所求的漸近線
2、方程為y＝±x.
3．(2017·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為(D)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
根據(jù)題意畫出草圖如圖所示(不妨設(shè)點A在漸近線y＝x上)．
由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.
又點A在雙曲線的漸近線y＝x上，
所以＝tan 60°＝.
又a2＋b2＝4，所以a＝1，b＝，
所以雙曲線的方程為x2－＝1.
4．(2017·新課標卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是
3、C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1,3)，則△APF的面積為(D)
A. B.
C. D.
因為F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，所以F(2,0)．
因為PF⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標為(2，yP)．
因為P是C上一點，所以4－＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因為A(1,3)，所以點A到直線PF的距離為1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.
5．(2016·北京卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(，0)，則a＝ 1 ，b＝ 2 .
因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近
4、線為2x＋y＝0，即y＝－2x，所以＝2.①
又雙曲線的一個焦點為(，0)，所以a2＋b2＝5.②
由①②得a＝1，b＝2.
6．(2016·山東卷)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)．矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是 2 .
如圖，由題意知|AB|＝，|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，所以2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
所以2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理，
得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去)．
7．已知點P是雙曲線－＝1(a>0)上的一點，以點P及焦點F1
5、、F2為頂點的三角形的面積等于1，且∠F1PF2＝90°，求雙曲線的方程．
根據(jù)題意有
由①2－②得|PF1|·|PF2|＝2(c2－4a2)，
又c2＝4a2＋a2＝5a2，
所以S△PF1F1＝|PF1|·|PF2|＝a2＝1，
故所求雙曲線方程為－y2＝1.
8．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點．若·<0，則y0的取值范圍是(A)
A．(－，) B．(－，)
C．(－，) D．(－，) 由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，－y＝1，
所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)
＝x＋y－3＝3y－
6、1<0，
解得－0，b>0)的左頂點為A，右焦點為F，點B(0，b)，且·＝0，則雙曲線C的離心率為 .
因為A(－a,0)，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)，
所以＝(－a，－b)，＝(c，－b)，
因為·＝0，所以－ac＋b2＝0，即c2－a2－ac＝0，
所以e2－e－1＝0，所以e＝(負值舍去)．
10．已知雙曲線C的中心在坐標原點O，對稱軸為坐標軸，點(－2,0)是它的一個焦點，并且離心率為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知點M(0,1)，設(shè)P(x0，y0)是雙曲線C上的點，Q是點P關(guān)于原點的對稱點，求·的取值范圍．
(1)設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，半焦距為c，
則c＝2，又由＝，得a＝，b2＝c2－a2＝1，
故所求雙曲線C的方程為－y2＝1.
(2)依題意有：Q(－x0，－y0)，
所以＝(x0，y0－1)，＝(－x0，－y0－1)，
所以·＝－x－y＋1，又－y＝1，
所以·＝－x＋2，
由－y＝1可得，x≥3，
所以·＝－x＋2≤－2.
故·的取值范圍是(－∞，－2]．
2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第59講 雙曲線檢測
