2022高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓9 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) 文

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1、2022高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓9 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) 文 一、選擇題 1．(2018·鄭州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為12，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[由橢圓定義可知：|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝2a＋2a＝12，即a＝3，又∵e＝＝＝，解得：b2＝5，∴橢圓C的方程為：＋＝1，故選D.] 2．(2018·武漢模擬)已知雙曲線C：－＝1的一

2、條漸近線與圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，則雙曲線C的離心率等于(　　) A. B. C. D. A　[雙曲線C：－＝1的一條漸近線bx－ay＝0，圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0化為標準方程為：(x－3)2＋(y－1)2＝1，∵雙曲線C：－＝1的一條漸近線與圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，∴d＝＝1，即4b＝3a，∴e＝＝＝，故選A.] 3．(2018·江門模擬)F是拋物線y2＝2x的焦點，點P在拋物線上，點Q在拋物線的準線上，若＝2，則|PQ|＝(　　) A. B．4 C. D．3 A　[如圖，設拋物線的準線和對稱軸的交點為K.過點P作準線的垂線，

3、垂足為M，則|PF|＝|PM|，由△QFK∽△QPM，得＝，即＝，所以|MP|＝3，故|PF|＝3，|QF|＝，所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝，選A.] 4．(2018·天津十二中學聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點到拋物線y2＝2px(p＞0)的準線的距離為4，點(2,2)是雙曲線的一條漸近線與拋物線的一個交點，則雙曲線的標準方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 D　[將(2,2)代入y2＝2px，可得p＝2，拋物線方程為y2＝4x，準線方程為x＝－1，則c＋1＝4，c＝3，又∵＝＝，c2＝a2＋b2，可得a＝，b＝，雙曲線方程

4、為－＝1，故選D.] 5．(2018·長春模擬)已知橢圓＋＝1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于長軸的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為(　　) A. B．1 C. D. D　[由＋＝1得a＝2，c＝1，根據(jù)橢圓的定義可知△ABF1的周長為4a＝8，△ABF1面積為|F1F2|×|yA－yB|＝×2×3＝3＝×8×r，解得r＝，故選D.] 6．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. A　[

5、由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 故選A.] 7．(2018·南陽模擬)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過F且傾斜角為60°的直線為l，M(－3,0)，若拋物線C上存在一點N，使M，N關(guān)于直線l對稱，則p＝(　　) A．2　　　B．3 C．4　　　D．5 A　[∵M，N關(guān)于過F傾斜角為60°的直線對稱，∴|MF|＝|NF|，由拋物線定義知，|NF|等于點N到準線的距離，即|NF|＝xN＋，由于|MF|＝－(－3)，∴xN＋＝－

6、(－3)，xN＝3，代入拋物線方程可得yN＝－，kMN＝＝－，解得p＝2，故選A.] 8．(2018·德州模擬)若雙曲線的中心為原點， F(0，－2)是雙曲線的焦點，過F的直線l與雙曲線相交于M, N兩點，且MN的中點為P(3,1)，則雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1 B．y2－＝1 C.－x2＝1 D．x2－＝1 B　[由題意設該雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，則－＝1且－＝1，則 ＝， 即＝，則 ＝＝＝1，即b2＝3a2，則c2＝4a2＝4，所以a2＝1，b2＝3， 即該雙曲線的方程為y2－＝1.故選B.

7、] 二、填空題 9．(2018·梧州模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右頂點為M，離心率為，過點M與點(0，－2)的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則雙曲線的方程為________． －＝1　[由e＝＝，a2＋b2＝c2得b＝a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，由＝得a＝，所以雙曲線的方程為－＝1.] 10．(2018·唐山模擬)拋物線M：y2＝2px(p＞0)與橢圓N：＋＝1(a＞b＞0)有相同的焦點F,拋物線M與橢圓N交于A，B，若F，A，B共線，則橢圓N的離心率等于________． －1　[由題意，知F，c＝，即p＝2c.由拋物線與橢圓的對稱性知，兩曲線的公共點的連線

8、和x軸垂直，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝，又由拋物線的定義知|AB|＝2p，所以＝4c，即c2＋2ac－a2＝0，e2＋2e－1＝0，解得e＝－1.] 11．(2018·珠海模擬)過點M(1,1)作斜率為－的直線l與橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________． 　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題得， ，∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0， ∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)， ∴＝－＝，∴a2＝3b2， ∴

9、a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.] 12．(2018·揭陽模擬)已知雙曲線x2－＝1的離心率為，左焦點為F1，當點P在雙曲線右支上運動、點Q在圓x2＋(y－1)2＝1上運動時，|PQ|＋|PF1|的最小值為________． 　[依題意可知a＝1，b＝，設B(0,1)，由|PF1|－|PF2|＝2得|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋2≥|QF2|＋2，問題轉(zhuǎn)化為求點F2到圓B上點的最小值，即|QF2|min＝|BF2|－1＝－1＝，故(|PQ|＋|PF1|)min＝＋2＝.] 三、解答題 (教師備選) (2017·全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x，過點(

10、2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標原點O在圓M上； (2)設圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程． [解]　(1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2， 由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4. 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1， 所以OA⊥OB， 故坐標原點O在圓M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4， 故圓心M的坐標為(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝. 由于圓M過點P(4，－2)，

11、因此·＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 當m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標為(3,1)，圓M的半徑為， 圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標為，圓M的半徑為， 圓M的方程為2＋2＝. 13．(2018·西安模擬)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,0)，(0，b)的直

12、線的距離為c. 圖2-5-4 (1)求橢圓E的離心率： (2)如圖2-5-4，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程． [解]　(1)過點(c,0), (0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0， 則原點O到該直線的距離d＝＝， 由d＝c，得a＝2b＝2，解得離心率＝. (2)法一：由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.① 依題意，圓心M(－2, 1)是線段AB的中點，且|AB|＝， 易知，AB與x軸不垂直，設其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝， 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝， 從而x1x2＝8－2b2， 于是|AB|＝|x1－x2| ＝＝， 由|AB|＝，得＝， 解得b2＝3， 故橢圓E的方程為＋＝1.