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1、2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二單元 函數(shù) 第7講 函數(shù)的奇偶性與周期性檢測
1．(2017·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝3x－()x，則f(x)(B)
A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
因為函數(shù)f(x)的定義域為R，
f(－x)＝3－x－()－x＝()x－3x＝－f(x)，
所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
因為函數(shù)y＝()x在R上是減函數(shù)，
所以函數(shù)y＝－()x在R上是增函數(shù)．
又因為y＝3x在R上是增函數(shù)，
所以函數(shù)f(x)＝3x－()x在R上是增函數(shù)．
2．(2014·新課標
2、卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(C)
A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
因為f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
所以f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，
所以f(x)g(x)為奇函數(shù)．
|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，
所以|f(x)|g(x)為偶函數(shù)．
f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，
所以f(x)|g(x
3、)|為奇函數(shù)．
|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，
所以|f(x)g(x)|為偶函數(shù)．
3．(2018·華大新高考聯(lián)盟教學(xué)質(zhì)量測評)設(shè)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－)＝(A)
A．－ B．－
C. D.
f(－)＝f(－＋4)＝f(－)＝－f()＝－(1＋)＝－.
4．(2016·安徽皖北聯(lián)考)已知偶函數(shù)f(x)對于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,2]上是遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系為(A)
A．f(0)
4、
5、9)＝ 6 .
因為f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，
所以f(x)是周期為6的周期函數(shù)，
所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
6．已知奇函數(shù)f(x)在定義域[－10,10]上是減函數(shù)，且f(m－1)＋f(2m－1)>0，則實數(shù)m的取值范圍為 [－，) .
由f(m－1)＋f(2m－1)>0
?f(m－1)>－f(2m－1)，
因為f(x)為奇函數(shù)，所以－f(x)＝f(－x)，
所以f(m－1)>f
6、(1－2m)，
又f(x)在[－10,10]上是減函數(shù)，
所以解得－≤m<.
7．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)m，n的值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
(1)設(shè)x<0，則－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝n＝0，
f(－x)＝－f(x)，
于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，
結(jié)合f(x)的圖象可知有所以1
7、
8．(2016·山東卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x<0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x>時，f(x＋)＝f(x－)，則f(6)＝(D)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
由題意知，當x＞時，f(x＋)＝f(x－)，
則當x＞0時，f(x＋1)＝f(x)．
又當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，
所以f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又當x＜0時，f(x)＝x3－1，
所以f(－1)＝－2，所以f(6)＝2.故選D.
9．設(shè)函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝ 2 .
f(x)＝1＋，
設(shè)g(x
8、)＝f(x)－1＝，則g(x)是奇函數(shù)，
因為f(x)的最大值為M，最小值為m，
所以g(x)的最大值為M－1，最小值為m－1.
所以M－1＋m－1＝0，所以M＋m＝2.
10．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝的圖象關(guān)于原點對稱．
(1)求a，b的值；
(2)若對任意的t∈R，不等式f(2t2－2t)＋f(t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．
(1)因為f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
故a＝2，b＝1.
(2)由(1)知
f(x)＝＝＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．
又f(x)是奇函數(shù)，所以不等式f(2t2－2t)＋f(t2－k)<0等價于f(2t2－2t)<－f(t2－k)＝f(k－t2)，
因為f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，
所以2t2－2t>k－t2.
即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，
從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
所以k的取值范圍為(－∞，－)．
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