2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二單元 函數(shù) 第7講 函數(shù)的奇偶性與周期性檢測(cè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二單元 函數(shù) 第7講 函數(shù)的奇偶性與周期性檢測(cè) 1．(2017·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝3x－()x，則f(x)(B) A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽， f(－x)＝3－x－()－x＝()x－3x＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． 因?yàn)楹瘮?shù)y＝()x在R上是減函數(shù)， 所以函數(shù)y＝－()x在R上是增函數(shù)． 又因?yàn)閥＝3x在R上是增函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)＝3x－()x在R上是增函數(shù)． 2．(2014·新課標(biāo)

2、卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(C) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)， 所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 所以f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)， 所以f(x)g(x)為奇函數(shù)． |f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)， 所以|f(x)|g(x)為偶函數(shù)． f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， 所以f(x)|g(x

3、)|為奇函數(shù)． |f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|， 所以|f(x)g(x)|為偶函數(shù)． 3．(2018·華大新高考聯(lián)盟教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng))設(shè)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1＋x)，則f(－)＝(A) A．－ B．－ C. D. f(－)＝f(－＋4)＝f(－)＝－f()＝－(1＋)＝－. 4．(2016·安徽皖北聯(lián)考)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,2]上是遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系為(A) A．f(0)

4、

5、9)＝　6　. 因?yàn)閒(x＋4)＝f(x－2)， 所以f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)， 所以f(x)是周期為6的周期函數(shù)， 所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. 6．已知奇函數(shù)f(x)在定義域[－10,10]上是減函數(shù)，且f(m－1)＋f(2m－1)>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　[－，)　. 由f(m－1)＋f(2m－1)>0 ?f(m－1)>－f(2m－1)， 因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以－f(x)＝f(－x)， 所以f(m－1)>f

6、(1－2m)， 又f(x)在[－10,10]上是減函數(shù)， 所以解得－≤m<. 7．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實(shí)數(shù)m，n的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． (1)設(shè)x<0，則－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x， 又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝n＝0， f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象可知有所以1

7、 8．(2016·山東卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x>時(shí)，f(x＋)＝f(x－)，則f(6)＝(D) A．－2 B．－1 C．0 D．2 由題意知，當(dāng)x＞時(shí)，f(x＋)＝f(x－)， 則當(dāng)x＞0時(shí)，f(x＋1)＝f(x)． 又當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)， 所以f(6)＝f(1)＝－f(－1)． 又當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x3－1， 所以f(－1)＝－2，所以f(6)＝2.故選D. 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝　2　. f(x)＝1＋， 設(shè)g(x

8、)＝f(x)－1＝，則g(x)是奇函數(shù)， 因?yàn)閒(x)的最大值為M，最小值為m， 所以g(x)的最大值為M－1，最小值為m－1. 所以M－1＋m－1＝0，所以M＋m＝2. 10．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． (1)求a，b的值； (2)若對(duì)任意的t∈R，不等式f(2t2－2t)＋f(t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍． (1)因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1. (2)由(1)知 f(x)＝＝＝－＋， 易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)． 又f(x)是奇函數(shù)，所以不等式f(2t2－2t)＋f(t2－k)<0等價(jià)于f(2t2－2t)<－f(t2－k)＝f(k－t2)， 因?yàn)閒(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)， 所以2t2－2t>k－t2. 即對(duì)一切t∈R有3t2－2t－k>0， 從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 所以k的取值范圍為(－∞，－)．