江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析） 1．(2018·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個(gè)，分別編號(hào)為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球． (1)若兩個(gè)球顏色不同，求不同取法的種數(shù)； (2)在(1)的條件下，記兩球編號(hào)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望． 解：(1)兩個(gè)球顏色不同的情況共有C·42＝96(種)． (2)隨機(jī)變量X所有可能的值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝.

2、 所以隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為p1＝，乙的命中率為p2.在射擊比賽活動(dòng)中，每人射擊兩發(fā)子彈，則完成一次檢測(cè)．在一次檢測(cè)中，若兩人命中次數(shù)相同且都不少于一發(fā)，則稱(chēng)該射擊小組為“和諧組”． (1)若p2＝，求該小組在一次檢測(cè)中榮獲“和諧組”的概率； (2)若計(jì)劃在2019年每月進(jìn)行1次檢測(cè)，記這12次檢測(cè)中該小組獲得“和諧組”的次數(shù)為X，如果E(X)≥5，求p2的取值范圍． 解：(1)記該小組在一次檢測(cè)中榮獲“和諧組”的概率為P， 則P＝＋×·×

3、＝.即該小組在一次檢測(cè)中榮獲“和諧組”的概率為. (2)該小組在一次檢測(cè)中榮獲“和諧組”的概率為 P＝×Cp2(1－p2)＋p ＝p2－p. 因?yàn)樵撔〗M在這12次檢測(cè)中獲得“和諧組”的次數(shù)X～B(12，P)，所以E(X)＝12P. 由E(X)≥5得12≥5， 解得≤p2≤. 因?yàn)閜2≤1，所以p2的取值范圍為. 3．從集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三個(gè)元素構(gòu)成子集{a，b，c}． (1)求a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2的概率； (2)記a，b，c三個(gè)數(shù)中相鄰自然數(shù)的組數(shù)為ξ(如集合{3,4,5}中3和4相鄰，4和5相鄰，ξ＝2)，求隨機(jī)變量

4、ξ的概率分布及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解：(1)從9個(gè)不同的元素中任取3個(gè)不同元素，其基本事件總數(shù)為n＝C. 記“a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2”為事件A. 由題意，a，b，c均不相鄰，可利用插空法．假設(shè)有6個(gè)元素排成一列，則6個(gè)元素之間和兩端共有7個(gè)空位，現(xiàn)另取3個(gè)元素插入空位，共有C種插法，然后將這9個(gè)元素，從左到右編號(hào)，依次為1,2,3，…，9，則插入的這3個(gè)元素中任意兩者之差的絕對(duì)值均不小于2，所以事件A包含的基本事件數(shù)m＝C. 故P(A)＝＝. 所以a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2的概率為. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2. P(ξ＝0)＝，P(

5、ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4．已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為，某實(shí)驗(yàn)小組對(duì)該種植物的種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，若該實(shí)驗(yàn)小組共種 植四粒該植物的種子(每粒種子的生長(zhǎng)因素相同且發(fā)芽與否相互獨(dú)立)，用ξ表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對(duì)值． (1)求隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望； (2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率． 解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4，對(duì)應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0， 所以ξ

6、的所有可能取值為0,2,4， P(ξ＝0)＝C×2×2＝， P(ξ＝2)＝C×3×1＋C×1×3＝， P(ξ＝4)＝C×4×0＋C×0×4＝. 所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ 0 2 4 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝. (2)由(1)知ξ的所有可能取值為0,2,4， 當(dāng)ξ＝0時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，對(duì)x∈R恒成立，即解集為R； 當(dāng)ξ＝2時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0， 即22＋>0，對(duì)x∈R恒成立，即解集為R； 當(dāng)ξ＝4時(shí)，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集為x≠，不滿(mǎn)足題

7、意． 所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝. B組——大題增分練 1．(2018·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門(mén)學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試，每門(mén)得A等級(jí)的概率都是，該學(xué)生各學(xué)科等級(jí)成績(jī)彼此獨(dú)立．規(guī)定：有一門(mén)學(xué)科獲A等級(jí)加1分，有兩門(mén)學(xué)科獲A等級(jí)加2分，有三門(mén)學(xué)科獲A等級(jí)加3分，四門(mén)學(xué)科獲A等級(jí)則加5分．記X1表示該生的加分?jǐn)?shù)，X2表示該生獲A等級(jí)的學(xué)科門(mén)數(shù)與未獲A等級(jí)學(xué)科門(mén)數(shù)的差的絕對(duì)值． (1)求X1的數(shù)學(xué)期望； (2)求X2的分布列． 解：(1)記該學(xué)生有i門(mén)學(xué)科獲得A等級(jí)為事件Ai，i＝0,1,2,3,4. X1的可能取值為0,1,2,3,5.

8、 則P(Ai)＝Ci4－i， 即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，則X1的分布列為 X1 0 1 2 3 5 P 所以E(X1)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝. (2)X2的可能取值為0,2,4，則 P(X2＝0)＝P(A2)＝； P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝＋＝； P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝＋＝. 所以X2的分布列為 X2 0 2 4 P 2.(2018·南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點(diǎn)P處分別向A，B，C三個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，每人向三個(gè)目標(biāo)各射

9、擊一次．每人每次射擊每個(gè)目標(biāo)均相互獨(dú)立，且兩人各自擊中A，B，C的概率分別為，，. (1)設(shè)X表示甲擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)求甲、乙兩人共擊中目標(biāo)數(shù)為2個(gè)的概率． 解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)設(shè)Y表示乙擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)， 由(1)可知，P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝

10、，P(Y＝2)＝. 則P(X＝0，Y＝2)＝×＝， P(X＝1，Y＝1)＝×＝， P(X＝2，Y＝0)＝×＝， 所以P(X＋Y＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝. 所以甲、乙兩人共擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)為2的概率為. 3.如圖，設(shè)P1，P2，…，P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S. (1)求S＝的概率； (2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)． 解：(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有C種不同選法，其中S＝的為有一個(gè)角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6

11、×2＝12種， 所以P＝＝. (2)S的所有可能取值為，，.S＝的為頂角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6種， 所以P＝＝. S＝的為等邊三角形(如△P1P3P5)，共2種， 所以P＝＝. 又由(1)知P＝＝， 故S的分布列為 S P 所以E(S)＝×＋×＋×＝. 4．一個(gè)摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒(méi)收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相

12、應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，k倍的獎(jiǎng)勵(lì)(k∈N*)，且游戲費(fèi)仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為X元． (1)求概率P(X＝0)的值； (2)為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求k的最小值． 解：(1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”， 則P(X＝0)＝3××2＝. (2)依題意得，X的可能值為k，－1,1,0， 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝， 結(jié)合(1)知，參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝， 為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元， 所以k≥110，即kmin＝110. 故k的最小值為110.