《江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列講義（含解析）》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列講義（含解析）（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列講義（含解析）這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時(shí)都較多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一個(gè)內(nèi)容但2017年兩道必做題一改常規(guī)，既考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，又考查概率分布與期望值；既考查運(yùn)算能力，又考查思維能力.2018年又只考查了空間向量由于考題屬中檔題要求，所以不宜過(guò)難立體幾何題應(yīng)當(dāng)容易建立空間直角坐標(biāo)系，以計(jì)算空間角為主；概率題是離散型隨機(jī)變量及其分布列的均值與方差、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布這幾個(gè)基本知識(shí)交叉考查第一講 隨機(jī)變量與分布列題型(一)離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望主要考查特殊事
2、件的概率求解以及分布列與期望的求解.典例感悟例1 (2018無(wú)錫期末)某公司有A，B，C，D四輛汽車(chē)，其中A車(chē)的車(chē)牌尾號(hào)為0，B，C兩輛車(chē)的車(chē)牌尾號(hào)為6，D車(chē)的車(chē)牌尾號(hào)為5，已知在非限行日，每輛車(chē)都有可能出車(chē)或不出車(chē)其中A，D兩輛汽車(chē)每天出車(chē)的概率為，B，C兩輛汽車(chē)每天出車(chē)的概率為，且四輛汽車(chē)是否出車(chē)是相互獨(dú)立的該公司所在地區(qū)汽車(chē)限行規(guī)定如下：汽車(chē)車(chē)牌尾號(hào)車(chē)輛限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五(1)求該公司在星期四至少有兩輛汽車(chē)出車(chē)的概率；(2)設(shè)X表示該公司在星期一和星期二兩天出車(chē)的車(chē)輛數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解 (1)記該公司在星期四至少有兩輛汽車(chē)出車(chē)
3、為事件A，則為該公司在星期四最多有一輛汽車(chē)出車(chē)P()22C2C2.所以P(A)1P().所以該公司在星期四至少有兩輛汽車(chē)出車(chē)的概率為.(2)由題意，X的可能值為0,1,2,3,4.P(X0)22；P(X1)C2C2；P(X2)2222CC；P(X3)2C2C；P(X4)22.所以X的分布列為X01234PE(X)234.所以X的數(shù)學(xué)期望為. 方法技巧求離散型隨機(jī)變量分布列及期望的關(guān)鍵和步驟由于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是根據(jù)其分布列運(yùn)用相應(yīng)公式求解，因而解決這種問(wèn)題的關(guān)鍵是求離散型隨機(jī)變量的分布列，而分布列是由隨機(jī)變量及其相應(yīng)的概率值構(gòu)成的，所以這類(lèi)問(wèn)題主要就是求隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率具體步驟如
4、下：演練沖關(guān)(2018揚(yáng)州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時(shí)間安排生活趣味數(shù)學(xué)和校園舞蹈賞析兩場(chǎng)講座已知A，B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場(chǎng)講座任意選聽(tīng)一場(chǎng)若A組1人選聽(tīng)生活趣味數(shù)學(xué)，其余4人選聽(tīng)校園舞蹈賞析；B組2人選聽(tīng)生活趣味數(shù)學(xué)，其余3人選聽(tīng)校園舞蹈賞析(1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽(tīng)校園舞蹈賞析的概率；(2)若從A，B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽(tīng)生活趣味數(shù)學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽(tīng)校園舞蹈賞析”為事件M，則P(M)，故選出的3人中恰有2人選聽(tīng)校園舞蹈賞析的概率為.(2)X可能
5、的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0123.題型(二)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布主要考查對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型的識(shí)別以及二項(xiàng)分布模型公式的應(yīng)用. 典例感悟例2(2018南京、鹽城一模)某年級(jí)星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐課程(1)求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率；(2)設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上
6、綜合實(shí)踐課”的概率為P1.(2)由題意得XB，P(Xk)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布為：X012345P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)5. 方法技巧二項(xiàng)分布的分布列及期望問(wèn)題求解三步驟第一步判斷二項(xiàng)分布先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，即若滿(mǎn)足：對(duì)立性：即一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個(gè)發(fā)生；重復(fù)性：試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，保證每一次試驗(yàn)中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，否則不服從二項(xiàng)分布第二步求概率若該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，還需要通過(guò)古典概型或相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算出試驗(yàn)中“成功”“不成功”的概率
7、分別是多少第三步求期望根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列列出相應(yīng)的分布列，再根據(jù)期望公式或二項(xiàng)分布期望公式求期望即可演練沖關(guān)(2018蘇北四市三調(diào))將4本不同的書(shū)隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)抽屜中(1)求4本書(shū)恰好放在四個(gè)不同抽屜中的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示放在2號(hào)抽屜中書(shū)的本數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)將4本不同的書(shū)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)抽屜中，共有44256種不同放法記“4本書(shū)恰好放在四個(gè)不同抽屜中”為事件A，則事件A共包含A24個(gè)基本事件，所以P(A)，所以4本書(shū)恰好放在四個(gè)不同抽屜中的概率為.(2)法一：X的所有可能取值為0,1,2,3,4，P(X0)，P(X1)，
8、P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列為X01234P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)012341.法二：每本書(shū)放入2號(hào)抽屜的概率為P(B)，P()1.根據(jù)題意XB，所以P(Xk)Ck4k，k0,1,2,3,4，所以X的分布列為X01234P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)41.題型(三)概率與其他知識(shí)的綜合主要考查與概率或期望有關(guān)的綜合問(wèn)題或在復(fù)雜背景下的概率與期望的綜合問(wèn)題.典例感悟例3(2018南通調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(nN*)局根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽記甲贏得比賽的概率為P(n)(1)求
9、P(2)與P(3)的值；(2)試比較P(n)與P(n1)的大小，并證明你的結(jié)論解(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局，所以P(2)C4C4，同理P(3)C6C6C6.(2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n1局，故P(n)C2nC2nC2n2n2n2n，所以P(n1).又1，所以，所以P(n)P(n1)方法技巧二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理的交匯問(wèn)題，其求解的一般思路是先利用二項(xiàng)分布求其P(n)和P(n1)，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、立體幾何等知識(shí)交匯命題演練沖關(guān)1(2018常州期末)已知正四棱錐PABCD的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)相等，在這個(gè)
10、正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機(jī)變量的值：若這兩條棱所在的直線(xiàn)相交，則的值是這兩條棱所在直線(xiàn)的夾角大小(弧度制)；若這兩條棱所在的直線(xiàn)平行，則0；若這兩條棱所在的直線(xiàn)異面，則的值是這兩條棱所在直線(xiàn)所成角的大小(弧度制)(1)求P(0)的值；(2)求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望E()解：根據(jù)題意，該四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，底面為正方形，容易得到PAC，PBD為等腰直角三角形的可能取值為0，共C28種情況，其中，0時(shí)，有2種；時(shí)，兩條棱所在直線(xiàn)相交時(shí)，4個(gè)側(cè)面三角形，共43種，兩條棱所在直線(xiàn)異面時(shí)，底面一條邊與不相鄰的兩條側(cè)棱，共42種，共有342420(種)；時(shí)，兩個(gè)等腰直角
11、三角形，2種，底面正方形，4種，共有246(種)(1)P(0).(2)P，P.再根據(jù)(1)的結(jié)論，隨機(jī)變量的分布列為：0PE()0.2(2017江蘇高考)已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球，n個(gè)黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k1,2,3，mn).123mn(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X).解：(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：p.(2)證明：隨機(jī)變量X的
12、概率分布為：XP隨機(jī)變量X的期望為：E(X).所以E(X)(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)0的解集為R的概率解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4，對(duì)應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0，所以的所有可能取值為0,2,4，P(0)C22，P(2)C31C13，P(4)C40C04.所以隨機(jī)變量的概率分布為024P數(shù)學(xué)期望E()024.(2)由(1)知的所有可能取值為0,2,4，當(dāng)0時(shí)，代入x2x10，得10，對(duì)xR恒成立，即解集為R；當(dāng)2時(shí)，代入x2x10，得2x22x10，即220，對(duì)xR恒成立，即解集為R；當(dāng)4時(shí)，代入x2x10，得4x2
13、4x10，其解集為x，不滿(mǎn)足題意所以不等式x2x10的解集為R的概率PP(0)P(2).B組大題增分練1(2018鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門(mén)學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試，每門(mén)得A等級(jí)的概率都是，該學(xué)生各學(xué)科等級(jí)成績(jī)彼此獨(dú)立規(guī)定：有一門(mén)學(xué)科獲A等級(jí)加1分，有兩門(mén)學(xué)科獲A等級(jí)加2分，有三門(mén)學(xué)科獲A等級(jí)加3分，四門(mén)學(xué)科獲A等級(jí)則加5分記X1表示該生的加分?jǐn)?shù)，X2表示該生獲A等級(jí)的學(xué)科門(mén)數(shù)與未獲A等級(jí)學(xué)科門(mén)數(shù)的差的絕對(duì)值(1)求X1的數(shù)學(xué)期望；(2)求X2的分布列解：(1)記該學(xué)生有i門(mén)學(xué)科獲得A等級(jí)為事件Ai，i0,1,2,3,4.X1的可能取值為0,1,2,3,5.則P(Ai)Ci4i，即P(A0)，P(A1
14、)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，則X1的分布列為X101235P所以E(X1)01235.(2)X2的可能取值為0,2,4，則P(X20)P(A2)；P(X22)P(A1)P(A3)；P(X24)P(A0)P(A4).所以X2的分布列為X2024P2.(2018南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點(diǎn)P處分別向A，B，C三個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，每人向三個(gè)目標(biāo)各射擊一次每人每次射擊每個(gè)目標(biāo)均相互獨(dú)立，且兩人各自擊中A，B，C的概率分別為，.(1)設(shè)X表示甲擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲、乙兩人共擊中目標(biāo)數(shù)為2個(gè)的概率解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3
15、.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望E(X)0123. (2)設(shè)Y表示乙擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)，由(1)可知，P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).則P(X0，Y2)，P(X1，Y1)，P(X2，Y0)， 所以P(XY2)P(X0，Y2)P(X1，Y1)P(X2，Y0).所以甲、乙兩人共擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)為2的概率為. 3.如圖，設(shè)P1，P2，P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.(1)求S的概率；(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)解：(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形
16、共有C種不同選法，其中S的為有一個(gè)角是30的直角三角形(如P1P4P5)，共6212種，所以P.(2)S的所有可能取值為，.S的為頂角是120的等腰三角形(如P1P2P3)，共6種，所以P.S的為等邊三角形(如P1P3P5)，共2種，所以P.又由(1)知P，故S的分布列為SP所以E(S).4一個(gè)摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒(méi)收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，k倍的獎(jiǎng)勵(lì)(kN*)，且游戲費(fèi)仍退還給參加者記參加者玩1次游戲的收益為X元(1)求概率P(X0)的值；(2)為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求k的最小值解：(1)事件“X0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”，則P(X0)32.(2)依題意得，X的可能值為k，1,1,0，且P(Xk)3，P(X1)3，P(X1)32，結(jié)合(1)知，參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為E(X)k(1)1，為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，所以k110，即kmin110.故k的最小值為110.
江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列講義（含解析）
