江蘇省2022高考數學二輪復習 專題七 隨機變量、空間向量（理）7.1 隨機變量與分布列講義（含解析）

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1、江蘇省2022高考數學二輪復習 專題七 隨機變量、空間向量（理）7.1 隨機變量與分布列講義（含解析） 這兩部分內容的教學課時都較多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一個內容．但2017年兩道必做題一改常規(guī)，既考查空間向量在立體幾何中的應用，又考查概率分布與期望值；既考查運算能力，又考查思維能力.2018年又只考查了空間向量．由于考題屬中檔題要求，所以不宜過難．立體幾何題應當容易建立空間直角坐標系，以計算空間角為主；概率題是離散型隨機變量及其分布列的均值與方差、n次獨立重復試驗的模型及二項分布這幾個基本知識交叉考查．　　 第一講 隨機變量與分布列 題型(一) 離散型隨機變量

2、的分布列及其期望 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主要考查特殊事件的概率求解以及分布列與期望的求解. [典例感悟] [例1]　 (2018·無錫期末)某公司有A，B，C，D四輛汽車，其中A車的車牌尾號為0，B，C兩輛車的車牌尾號為6，D車的車牌尾號為5，已知在非限行日，每輛車都有可能出車或不出車．其中A，D兩輛汽車每天出車的概率為，B，C兩輛汽車每天出車的概率為，且四輛汽車是否出車是相互獨立的．該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下： 汽車車牌尾號 車輛限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9 星期五 (1)求

3、該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率； (2)設X表示該公司在星期一和星期二兩天出車的車輛數之和，求X的分布列和數學期望． [解]　 (1)記該公司在星期四至少有兩輛汽車出車為事件A，則為該公司在星期四最多有一輛汽車出車． P()＝22＋C2＋C·2＝. 所以P(A)＝1－P()＝. 所以該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率為. (2)由題意，X的可能值為0,1,2,3,4. P(X＝0)＝22＝； P(X＝1)＝C2＋C·2＝； P(X＝2)＝22＋22＋C·C＝； P(X＝3)＝2C＋2C·＝； P(X＝4)＝22＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2

4、 3 4 P E(X)＝＋2×＋3×＋4×＝. 所以X的數學期望為. [方法技巧] 求離散型隨機變量分布列及期望的關鍵和步驟 由于離散型隨機變量的數學期望是根據其分布列運用相應公式求解，因而解決這種問題的關鍵是求離散型隨機變量的分布列，而分布列是由隨機變量及其相應的概率值構成的，所以這類問題主要就是求隨機變量取各個值的概率．具體步驟如下： [演練沖關] (2018·揚州考前調研)某校舉辦校園科技文化藝術節(jié)，在同一時間安排《生活趣味數學》和《校園舞蹈賞析》兩場講座．已知A，B兩學習小組各有5位同學，每位同學在兩場講座任意選聽一場．若A組1人選聽《生

5、活趣味數學》，其余4人選聽《校園舞蹈賞析》；B組2人選聽《生活趣味數學》，其余3人選聽《校園舞蹈賞析》． (1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率； (2)若從A，B兩組中各任選2人，設X為選出的4人中選聽《生活趣味數學》的人數，求X的分布列和數學期望E(X)． 解：(1)設“選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件M，則P(M)＝＝，故選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為. (2)X可能的取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列為：

6、X 0 1 2 3 P 所以X的數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 題型(二) n次獨立重復試驗的模型及二項分布 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主要考查對n次獨立重復試驗的模型的識別以及二項分布模型公式的應用. [典例感悟] [例2]　(2018·南京、鹽城一模)某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機選擇1節(jié)作為綜合實踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程． (1)求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率； (2)設這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數”為X，

7、求X的概率分布與數學期望E(X)． [解]　(1)這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率為P＝1－＝. (2)由題意得X～B， P(X＝k)＝Ck·5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 所以X的概率分布為： X 0 1 2 3 4 5 P 所以X的數學期望為E(X)＝5×＝. [方法技巧] 二項分布的分布列及期望問題求解三步驟 第一步 判斷 二項 分布 先判斷隨機變量是否服從二項分布，即若滿足：①對立性：即一次試驗中只有兩種結果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個發(fā)生；②重復性：試驗在相同條件下獨立重復地進行n次，保證每

8、一次試驗中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機變量服從二項分布，否則不服從二項分布 第二步 求概率 若該隨機變量服從二項分布，還需要通過古典概型或相互獨立事件的概率計算公式計算出試驗中“成功”“不成功”的概率分別是多少 第三步 求期望 根據二項分布的分布列列出相應的分布列，再根據期望公式或二項分布期望公式求期望即可 [演練沖關] (2018·蘇北四市三調)將4本不同的書隨機放入編號為1,2,3,4的四個抽屜中． (1)求4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率； (2)設隨機變量X表示放在2號抽屜中書的本數，求X的分布列和數學期望E(X)． 解：(1)將4本不同

9、的書放入編號為1,2,3,4的四個抽屜中，共有44＝256種不同放法． 記“4本書恰好放在四個不同抽屜中”為事件A， 則事件A共包含A＝24個基本事件， 所以P(A)＝＝， 所以4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率為. (2)法一：X的所有可能取值為0,1,2,3,4， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的數學期望為E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1. 法二：每本書放入2號抽屜的概率為P(B)＝，P()＝1－＝. 根據

10、題意X～B， 所以P(X＝k)＝Ck·4－k，k＝0,1,2,3,4， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的數學期望為E(X)＝4×＝1. 題型(三) 概率與其他知識的綜合 主要考查與概率或期望有關的綜合問題或在復雜背景下的概率與期望的綜合問題. [典例感悟] [例3]　(2018·南通調研)甲、乙兩人進行圍棋比賽，共比賽2n(n∈N*)局．根據以往比賽勝負的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局數多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P(n)． (1)求P(2)與P(3)的值；

11、(2)試比較P(n)與P(n＋1)的大小，并證明你的結論． [解]　(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局， 所以P(2)＝C4＋C4＝， 同理P(3)＝C6＋C6＋C6＝. (2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局數至少為n＋1局， 故P(n)＝C2n＋C2n＋…＋C2n ＝·2n ＝·2n ＝·2n ＝， 所以P(n＋1)＝. 又＝＝ ＝＝＞1， 所以＞，所以P(n)＜P(n＋1)． [方法技巧] 二項分布與二項式定理的交匯問題，其求解的一般思路是先利用二項分布求其P(n)和P(n＋1)，然后利用組合數的性質即可求得，概率還常與數列、函數、不等式、

12、數學歸納法、立體幾何等知識交匯命題． [演練沖關] 1．(2018·常州期末)已知正四棱錐P-ABCD的側棱和底面邊長相等，在這個正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機變量ξ的值： 若這兩條棱所在的直線相交，則ξ的值是這兩條棱所在直線的夾角大小(弧度制)；若這兩條棱所在的直線平行，則ξ＝0；若這兩條棱所在的直線異面，則ξ的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制)． (1)求P(ξ＝0)的值； (2)求隨機變量ξ的分布列及數學期望E(ξ)． 解：根據題意，該四棱錐的四個側面均為等邊三角形，底面為正方形，容易得到△PAC，△PBD為等腰直角三角形．ξ的可能取值為0，，，共C＝

13、28種情況，其中，ξ＝0時，有2種； ξ＝時，兩條棱所在直線相交時，4個側面三角形，共4×3種，兩條棱所在直線異面時，底面一條邊與不相鄰的兩條側棱，共4×2種，共有3×4＋2×4＝20(種)； ξ＝時，兩個等腰直角三角形，2種，底面正方形，4種，共有2＋4＝6(種)． (1)P(ξ＝0)＝＝. (2)P＝＝， P＝＝. 再根據(1)的結論，隨機變量ξ的分布列為： ξ 0 P E(ξ)＝0×＋×＋×＝π. 2．(2017·江蘇高考)已知一個口袋中有m個白球，n個黑球(m，n∈N*，n≥2)，這些球除顏色外完全相同．現將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖

14、所示的編號為1,2,3，…，m＋n的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k＝1,2,3，…，m＋n). 1 2 3 … m＋n (1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p； (2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E(X)是X的數學期望，證明：E(X)<. 解：(1)編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p為： p＝＝. (2)證明：隨機變量X的概率分布為： X … … P … … 隨機變量X的期望為： E(X)＝· ＝·. 所以E(X)< ＝ ＝(1＋C＋C＋…＋C) ＝(C

15、＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋…＋C) ＝…＝(C＋C) ＝＝， 即E(X)<. A組——大題保分練 1．(2018·南京學情調研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個，分別編號為1,2,3,4.現從袋中隨機取兩個球． (1)若兩個球顏色不同，求不同取法的種數； (2)在(1)的條件下，記兩球編號的差的絕對值為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布與數學期望． 解：(1)兩個球顏色不同的情況共有C·42＝96(種)． (2)隨機變量X所有可能的值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝

16、3)＝＝. 所以隨機變量X的概率分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2．某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為p1＝，乙的命中率為p2.在射擊比賽活動中，每人射擊兩發(fā)子彈，則完成一次檢測．在一次檢測中，若兩人命中次數相同且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“和諧組”． (1)若p2＝，求該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率； (2)若計劃在2019年每月進行1次檢測，記這12次檢測中該小組獲得“和諧組”的次數為X，如果E(X)≥5，求p2的取值范圍． 解：(1)記該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為P， 則P

17、＝＋×·×＝.即該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為. (2)該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為 P＝×Cp2(1－p2)＋p ＝p2－p. 因為該小組在這12次檢測中獲得“和諧組”的次數X～B(12，P)，所以E(X)＝12P. 由E(X)≥5得12≥5， 解得≤p2≤. 因為p2≤1，所以p2的取值范圍為. 3．從集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三個元素構成子集{a，b，c}． (1)求a，b，c中任意兩數之差的絕對值均不小于2的概率； (2)記a，b，c三個數中相鄰自然數的組數為ξ(如集合{3,4,5}中3和4相鄰，4和5相鄰，ξ＝2)，

18、求隨機變量ξ的概率分布及其數學期望E(ξ)． 解：(1)從9個不同的元素中任取3個不同元素，其基本事件總數為n＝C. 記“a，b，c中任意兩數之差的絕對值均不小于2”為事件A. 由題意，a，b，c均不相鄰，可利用插空法．假設有6個元素排成一列，則6個元素之間和兩端共有7個空位，現另取3個元素插入空位，共有C種插法，然后將這9個元素，從左到右編號，依次為1,2,3，…，9，則插入的這3個元素中任意兩者之差的絕對值均不小于2，所以事件A包含的基本事件數m＝C. 故P(A)＝＝. 所以a，b，c中任意兩數之差的絕對值均不小于2的概率為. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2. P(ξ＝0

19、)＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 P 數學期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4．已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為，某實驗小組對該種植物的種子進行發(fā)芽試驗，若該實驗小組共種 植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨立)，用ξ表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數與未發(fā)芽的種子數的差的絕對值． (1)求隨機變量ξ的概率分布和數學期望； (2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率． 解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數可能為0,1,2,3,4，對應的未發(fā)芽的種子數為4,3,2,1,0，

20、 所以ξ的所有可能取值為0,2,4， P(ξ＝0)＝C×2×2＝， P(ξ＝2)＝C×3×1＋C×1×3＝， P(ξ＝4)＝C×4×0＋C×0×4＝. 所以隨機變量ξ的概率分布為 ξ 0 2 4 P 數學期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝. (2)由(1)知ξ的所有可能取值為0,2,4， 當ξ＝0時，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，對x∈R恒成立，即解集為R； 當ξ＝2時，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0， 即22＋>0，對x∈R恒成立，即解集為R； 當ξ＝4時，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集為x≠

21、，不滿足題意． 所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集為R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝. B組——大題增分練 1．(2018·鎮(zhèn)江期末)某學生參加4門學科的學業(yè)水平測試，每門得A等級的概率都是，該學生各學科等級成績彼此獨立．規(guī)定：有一門學科獲A等級加1分，有兩門學科獲A等級加2分，有三門學科獲A等級加3分，四門學科獲A等級則加5分．記X1表示該生的加分數，X2表示該生獲A等級的學科門數與未獲A等級學科門數的差的絕對值． (1)求X1的數學期望； (2)求X2的分布列． 解：(1)記該學生有i門學科獲得A等級為事件Ai，i＝0,1,2,3,4. X1的可能取值為0,1,2,

22、3,5. 則P(Ai)＝Ci4－i， 即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，則X1的分布列為 X1 0 1 2 3 5 P 所以E(X1)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝. (2)X2的可能取值為0,2,4，則 P(X2＝0)＝P(A2)＝； P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝＋＝； P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝＋＝. 所以X2的分布列為 X2 0 2 4 P 2.(2018·南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點P處分別向A，B，C三個目標進行射擊，每人向三

23、個目標各射擊一次．每人每次射擊每個目標均相互獨立，且兩人各自擊中A，B，C的概率分別為，，. (1)設X表示甲擊中目標的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望； (2)求甲、乙兩人共擊中目標數為2個的概率． 解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)設Y表示乙擊中目標的個數， 由(1)可知，P(Y＝0)＝，P(

24、Y＝1)＝，P(Y＝2)＝. 則P(X＝0，Y＝2)＝×＝， P(X＝1，Y＝1)＝×＝， P(X＝2，Y＝0)＝×＝， 所以P(X＋Y＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝. 所以甲、乙兩人共擊中目標的個數為2的概率為. 3.如圖，設P1，P2，…，P6為單位圓上逆時針均勻分布的六個點，現任選其中三個不同點構成一個三角形，記該三角形的面積為隨機變量S. (1)求S＝的概率； (2)求S的分布列及數學期望E(S)． 解：(1)從六個點中任選三個不同點構成一個三角形共有C種不同選法，其中S＝的為有一個角是30°的直角三角形(如△P1P4P

25、5)，共6×2＝12種， 所以P＝＝. (2)S的所有可能取值為，，.S＝的為頂角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6種， 所以P＝＝. S＝的為等邊三角形(如△P1P3P5)，共2種， 所以P＝＝. 又由(1)知P＝＝， 故S的分布列為 S P 所以E(S)＝×＋×＋×＝. 4．一個摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當所指定的玻璃球不出現時，游戲費被沒收；當所指定的玻璃球出現1次，2次，3次時，

26、參加者可相應獲得游戲費的0倍，1倍，k倍的獎勵(k∈N*)，且游戲費仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為X元． (1)求概率P(X＝0)的值； (2)為使收益X的數學期望不小于0元，求k的最小值． 解：(1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現1次”， 則P(X＝0)＝3××2＝. (2)依題意得，X的可能值為k，－1,1,0， 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝， 結合(1)知，參加游戲者的收益X的數學期望為 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝， 為使收益X的數學期望不小于0元， 所以k≥110，即kmin＝110. 故k的最小值為110.