江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列講義（含解析）

江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量（理）7.1 隨機(jī)變量與分布列講義（含解析）這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時(shí)都較多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一個(gè)內(nèi)容但2017年兩道必做題一改常規(guī)，既考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，又考查概率分布與期望值；既考查運(yùn)算能力，又考查思維能力.2018年又只考查了空間向量由于考題屬中檔題要求，所以不宜過難立體幾何題應(yīng)當(dāng)容易建立空間直角坐標(biāo)系，以計(jì)算空間角為主；概率題是離散型隨機(jī)變量及其分布列的均值與方差、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布這幾個(gè)基本知識(shí)交叉考查第一講 隨機(jī)變量與分布列題型(一)離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望主要考查特殊事件的概率求解以及分布列與期望的求解.典例感悟例1 (2018·無錫期末)某公司有A，B，C，D四輛汽車，其中A車的車牌尾號(hào)為0，B，C兩輛車的車牌尾號(hào)為6，D車的車牌尾號(hào)為5，已知在非限行日，每輛車都有可能出車或不出車其中A，D兩輛汽車每天出車的概率為，B，C兩輛汽車每天出車的概率為，且四輛汽車是否出車是相互獨(dú)立的該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：汽車車牌尾號(hào)車輛限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五(1)求該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率；(2)設(shè)X表示該公司在星期一和星期二兩天出車的車輛數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解 (1)記該公司在星期四至少有兩輛汽車出車為事件A，則為該公司在星期四最多有一輛汽車出車P()22C2C·2.所以P(A)1P().所以該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率為.(2)由題意，X的可能值為0,1,2,3,4.P(X0)22；P(X1)C2C·2；P(X2)2222C·C；P(X3)2C2C·；P(X4)22.所以X的分布列為X01234PE(X)2×3×4×.所以X的數(shù)學(xué)期望為. 方法技巧求離散型隨機(jī)變量分布列及期望的關(guān)鍵和步驟由于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是根據(jù)其分布列運(yùn)用相應(yīng)公式求解，因而解決這種問題的關(guān)鍵是求離散型隨機(jī)變量的分布列，而分布列是由隨機(jī)變量及其相應(yīng)的概率值構(gòu)成的，所以這類問題主要就是求隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率具體步驟如下：演練沖關(guān)(2018·揚(yáng)州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時(shí)間安排生活趣味數(shù)學(xué)和校園舞蹈賞析兩場講座已知A，B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場講座任意選聽一場若A組1人選聽生活趣味數(shù)學(xué)，其余4人選聽校園舞蹈賞析；B組2人選聽生活趣味數(shù)學(xué)，其余3人選聽校園舞蹈賞析(1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析的概率；(2)若從A，B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽生活趣味數(shù)學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析”為事件M，則P(M)，故選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析的概率為.(2)X可能的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×.題型(二)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布主要考查對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型的識(shí)別以及二項(xiàng)分布模型公式的應(yīng)用. 典例感悟例2(2018·南京、鹽城一模)某年級(jí)星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐課程(1)求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率；(2)設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率為P1.(2)由題意得XB，P(Xk)Ck·5k，k0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布為：X012345P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)5×. 方法技巧二項(xiàng)分布的分布列及期望問題求解三步驟第一步判斷二項(xiàng)分布先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，即若滿足：對(duì)立性：即一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個(gè)發(fā)生；重復(fù)性：試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，保證每一次試驗(yàn)中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，否則不服從二項(xiàng)分布第二步求概率若該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，還需要通過古典概型或相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算出試驗(yàn)中“成功”“不成功”的概率分別是多少第三步求期望根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列列出相應(yīng)的分布列，再根據(jù)期望公式或二項(xiàng)分布期望公式求期望即可演練沖關(guān)(2018·蘇北四市三調(diào))將4本不同的書隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)抽屜中(1)求4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示放在2號(hào)抽屜中書的本數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)將4本不同的書放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)抽屜中，共有44256種不同放法記“4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中”為事件A，則事件A共包含A24個(gè)基本事件，所以P(A)，所以4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中的概率為.(2)法一：X的所有可能取值為0,1,2,3,4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列為X01234P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)0×1×2×3×4×1.法二：每本書放入2號(hào)抽屜的概率為P(B)，P()1.根據(jù)題意XB，所以P(Xk)Ck·4k，k0,1,2,3,4，所以X的分布列為X01234P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)4×1.題型(三)概率與其他知識(shí)的綜合主要考查與概率或期望有關(guān)的綜合問題或在復(fù)雜背景下的概率與期望的綜合問題.典例感悟例3(2018·南通調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(nN*)局根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽記甲贏得比賽的概率為P(n)(1)求P(2)與P(3)的值；(2)試比較P(n)與P(n1)的大小，并證明你的結(jié)論解(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局，所以P(2)C4C4，同理P(3)C6C6C6.(2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n1局，故P(n)C2nC2nC2n·2n·2n·2n，所以P(n1).又1，所以，所以P(n)P(n1)方法技巧二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理的交匯問題，其求解的一般思路是先利用二項(xiàng)分布求其P(n)和P(n1)，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、立體幾何等知識(shí)交匯命題演練沖關(guān)1(2018·常州期末)已知正四棱錐P­ABCD的側(cè)棱和底面邊長相等，在這個(gè)正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機(jī)變量的值：若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大小(弧度制)；若這兩條棱所在的直線平行，則0；若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制)(1)求P(0)的值；(2)求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望E()解：根據(jù)題意，該四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，底面為正方形，容易得到PAC，PBD為等腰直角三角形的可能取值為0，共C28種情況，其中，0時(shí)，有2種；時(shí)，兩條棱所在直線相交時(shí)，4個(gè)側(cè)面三角形，共4×3種，兩條棱所在直線異面時(shí)，底面一條邊與不相鄰的兩條側(cè)棱，共4×2種，共有3×42×420(種)；時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形，2種，底面正方形，4種，共有246(種)(1)P(0).(2)P，P.再根據(jù)(1)的結(jié)論，隨機(jī)變量的分布列為：0PE()0×××.2(2017·江蘇高考)已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球，n個(gè)黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k1,2,3，mn).123mn(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)<.解：(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：p.(2)證明：隨機(jī)變量X的概率分布為：XP隨機(jī)變量X的期望為：E(X)··.所以E(X)<(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)<.A組大題保分練1(2018·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個(gè)，分別編號(hào)為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球(1)若兩個(gè)球顏色不同，求不同取法的種數(shù)；(2)在(1)的條件下，記兩球編號(hào)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望解：(1)兩個(gè)球顏色不同的情況共有C·4296(種)(2)隨機(jī)變量X所有可能的值為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以隨機(jī)變量X的概率分布列為X0123P所以E(X)0×1×2×3×.2某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為p1，乙的命中率為p2.在射擊比賽活動(dòng)中，每人射擊兩發(fā)子彈，則完成一次檢測在一次檢測中，若兩人命中次數(shù)相同且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“和諧組”(1)若p2，求該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率；(2)若計(jì)劃在2019年每月進(jìn)行1次檢測，記這12次檢測中該小組獲得“和諧組”的次數(shù)為X，如果E(X)5，求p2的取值范圍解：(1)記該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為P，則P×·×.即該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為.(2)該小組在一次檢測中榮獲“和諧組”的概率為P×Cp2(1p2)pp2p.因?yàn)樵撔〗M在這12次檢測中獲得“和諧組”的次數(shù)XB(12，P)，所以E(X)12P.由E(X)5得125，解得p2.因?yàn)閜21，所以p2的取值范圍為.3從集合M1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三個(gè)元素構(gòu)成子集a，b，c(1)求a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2的概率；(2)記a，b，c三個(gè)數(shù)中相鄰自然數(shù)的組數(shù)為(如集合3,4,5中3和4相鄰，4和5相鄰，2)，求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望E()解：(1)從9個(gè)不同的元素中任取3個(gè)不同元素，其基本事件總數(shù)為nC.記“a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2”為事件A.由題意，a，b，c均不相鄰，可利用插空法假設(shè)有6個(gè)元素排成一列，則6個(gè)元素之間和兩端共有7個(gè)空位，現(xiàn)另取3個(gè)元素插入空位，共有C種插法，然后將這9個(gè)元素，從左到右編號(hào)，依次為1,2,3，9，則插入的這3個(gè)元素中任意兩者之差的絕對(duì)值均不小于2，所以事件A包含的基本事件數(shù)mC.故P(A).所以a，b，c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2的概率為.(2)的所有可能取值為0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).所以的概率分布為012P數(shù)學(xué)期望E()0×1×2×.4已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為，某實(shí)驗(yàn)小組對(duì)該種植物的種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，若該實(shí)驗(yàn)小組共種植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨(dú)立)，用表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對(duì)值(1)求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(2)求不等式x2x1>0的解集為R的概率解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4，對(duì)應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0，所以的所有可能取值為0,2,4，P(0)C×2×2，P(2)C×3×1C×1×3，P(4)C×4×0C×0×4.所以隨機(jī)變量的概率分布為024P數(shù)學(xué)期望E()0×2×4×.(2)由(1)知的所有可能取值為0,2,4，當(dāng)0時(shí)，代入x2x1>0，得1>0，對(duì)xR恒成立，即解集為R；當(dāng)2時(shí)，代入x2x1>0，得2x22x1>0，即22>0，對(duì)xR恒成立，即解集為R；當(dāng)4時(shí)，代入x2x1>0，得4x24x1>0，其解集為x，不滿足題意所以不等式x2x1>0的解集為R的概率PP(0)P(2).B組大題增分練1(2018·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試，每門得A等級(jí)的概率都是，該學(xué)生各學(xué)科等級(jí)成績彼此獨(dú)立規(guī)定：有一門學(xué)科獲A等級(jí)加1分，有兩門學(xué)科獲A等級(jí)加2分，有三門學(xué)科獲A等級(jí)加3分，四門學(xué)科獲A等級(jí)則加5分記X1表示該生的加分?jǐn)?shù)，X2表示該生獲A等級(jí)的學(xué)科門數(shù)與未獲A等級(jí)學(xué)科門數(shù)的差的絕對(duì)值(1)求X1的數(shù)學(xué)期望；(2)求X2的分布列解：(1)記該學(xué)生有i門學(xué)科獲得A等級(jí)為事件Ai，i0,1,2,3,4.X1的可能取值為0,1,2,3,5.則P(Ai)Ci4i，即P(A0)，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，則X1的分布列為X101235P所以E(X1)0×1×2×3×5×.(2)X2的可能取值為0,2,4，則P(X20)P(A2)；P(X22)P(A1)P(A3)；P(X24)P(A0)P(A4).所以X2的分布列為X2024P2.(2018·南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點(diǎn)P處分別向A，B，C三個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，每人向三個(gè)目標(biāo)各射擊一次每人每次射擊每個(gè)目標(biāo)均相互獨(dú)立，且兩人各自擊中A，B，C的概率分別為，.(1)設(shè)X表示甲擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲、乙兩人共擊中目標(biāo)數(shù)為2個(gè)的概率解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)××，P(X1)××××××，P(X2)××××××，P(X3)××.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×. (2)設(shè)Y表示乙擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)，由(1)可知，P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).則P(X0，Y2)×，P(X1，Y1)×，P(X2，Y0)×， 所以P(XY2)P(X0，Y2)P(X1，Y1)P(X2，Y0).所以甲、乙兩人共擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)為2的概率為. 3.如圖，設(shè)P1，P2，P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.(1)求S的概率；(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)解：(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有C種不同選法，其中S的為有一個(gè)角是30°的直角三角形(如P1P4P5)，共6×212種，所以P.(2)S的所有可能取值為，.S的為頂角是120°的等腰三角形(如P1P2P3)，共6種，所以P.S的為等邊三角形(如P1P3P5)，共2種，所以P.又由(1)知P，故S的分布列為SP所以E(S)×××.4一個(gè)摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，k倍的獎(jiǎng)勵(lì)(kN*)，且游戲費(fèi)仍退還給參加者記參加者玩1次游戲的收益為X元(1)求概率P(X0)的值；(2)為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求k的最小值解：(1)事件“X0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”，則P(X0)3××2.(2)依題意得，X的可能值為k，1,1,0，且P(Xk)3，P(X1)3，P(X1)3×2×，結(jié)合(1)知，參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為E(X)k×(1)×1×，為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元，所以k110，即kmin110.故k的最小值為110.