（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 理

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1、（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 理導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的

2、導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積1下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：選B1；(log2x)；(3x)3xln 3；(x2cos x)2xcos xx2sin x，故選B.2函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：選Cf(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)3函數(shù)f(x)ax33x22，若f(1)4，則a的值是()A. B.C. D.解析：選D因?yàn)閒(x)3ax26x，所以f(1)3a64，所以a.4(2016天津高考)

3、已知函數(shù)f(x)(2x1)ex，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(0)的值為_(kāi)解析：因?yàn)閒(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：35函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)解析：y.答案：y清易錯(cuò)1利用公式求導(dǎo)時(shí)，一定要注意公式的適用范圍及符號(hào)，如(xn)nxn1中n0且nQ*，(cos x)sin x.2注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.1已知函數(shù)f(x)sin xcos x，若f(x)f(x)，則tan x的值為()A1 B3C1 D2解析：選Bf(x)(sin xcos x)cos xsin x，又f(x)f(x)，co

4、s xsin xsin xcos x，tan x3.2若函數(shù)f(x)2xln x且f(a)0，則2aln 2a()A1 B1Cln 2 Dln 2解析：選Af(x)2xln 2，由f(a)2aln 20，得2aln 2，則a2aln 21，即2aln 2a1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義過(guò)雙基函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)1.(2018鄭州質(zhì)檢)已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)

5、是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)()A1 B0C2 D4解析：選B由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，所以g(3)130.2設(shè)函數(shù)f(x)xln x，則點(diǎn)(1,0)處的切線方程是_解析：因?yàn)閒(x)ln x1，所以f(1)1，所以切線方程為xy10.答案：xy103已知曲線y2x2的一條切線的斜率為2，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)解析：因?yàn)閥4x，設(shè)切點(diǎn)為(m，n)，則4m2，所以m，則n22，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為.答案：4函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是y3x2，則f(

6、1)f(1)_.解析：因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是y3x2，所以f(1)3，且f(1)3121，所以f(1)f(1)134.答案：4清易錯(cuò)1求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過(guò)P點(diǎn)的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者2曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別1若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切，則a等于()A1或 B1或C或 D或7解析：選A因?yàn)閥x3，所以y3x2，設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與yx3相切于點(diǎn)(x0，x)，則在該點(diǎn)處的切線斜率為k3x，所以切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x

7、，又(1,0)在切線上，則x00或x0，當(dāng)x00時(shí)，由y0與yax2x9相切，可得a，當(dāng)x0時(shí)，由yx與yax2x9相切，可得a1，所以選A.2.(2017蘭州一模)已知直線y2x1與曲線yx3axb相切于點(diǎn)(1,3)，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)解析：因?yàn)楹瘮?shù)yx3axb的導(dǎo)函數(shù)為y3x2a，所以此函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為3a，所以解得答案：3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性過(guò)雙基1函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與f(x)的關(guān)系(1)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增加的(2)若f(x)0或f(x)0.(3)根據(jù)結(jié)果確定f(x)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間1函數(shù)f(x)2x39x212x1

8、的單調(diào)減區(qū)間是()A(1,2) B(2，)C(，1) D(，1)和(2，)解析：選A解f(x)6x218x120可得1x2，所以單調(diào)減區(qū)間是(1,2)2已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()解析：選D當(dāng)x0時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc0時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，x1)內(nèi)的值是大于0的，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增只有D選項(xiàng)符合題意3已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，2 B.C2，) D5，)解析：選C由題意得f(x)2xa0在(1，)上恒成立g(x)2x2

9、ax30在(1，)上恒成立a2240或2a2或a2a2，故選C.清易錯(cuò)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f(x)0，且在(a，b)的任意子區(qū)間，等號(hào)不恒成立；若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0，且在(a，b)的任意子區(qū)間，等號(hào)不恒成立若函數(shù)f(x)x3x2mx1是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)，f(x)0恒成立，412m0，即m.答案：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值過(guò)雙基1函數(shù)的極大值在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小于x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)x

10、0為函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值2函數(shù)的極小值在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都大于x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)3函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值1如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)

11、的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選A由圖象及極值點(diǎn)的定義知，f(x)只有一個(gè)極小值點(diǎn)2若函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時(shí)取得極值，則a的值為()A2 B3C4 D5解析：選Df(x)3x22ax3，由題意知f(3)0，即3(3)22a(3)30，解得a5.3(2017濟(jì)寧一模)函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為()A. B1C0 D不存在解析：選Af(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2axln x有極值，令g(x)x2ax1，且g(0)10，所以解得a2.答案：(2，)5設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)x32ax2a2x的兩個(gè)極值點(diǎn)，若x1

12、2x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意，f(x)3x24axa20，得x或a.又x12x2，x1，x2a，2a0可得x1或x1，由f(x)0可得1x0且a1)，若f(1)1，則a()AeB.C. D.解析：選B因?yàn)閒(x)，所以f(1)1，所以ln a1，所以a.2直線ykx1與曲線yx2axb相切于點(diǎn)A(1,3)，則2ab的值為()A1 B1C2 D2解析：選C由曲線yx2axb，得y2xa，由題意可得解得所以2ab2.3函數(shù)y2x33x2的極值情況為()A在x0處取得極大值0，但無(wú)極小值B在x1處取得極小值1，但無(wú)極大值C在x0處取得極大值0，在x1處取得極小值1D以上都不對(duì)解析：選C

13、y6x26x，由y6x26x0，可得x1或x0，即單調(diào)增區(qū)間是(，0)，(1，)由y6x26x0，可得0x1，所以m1.5函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：選D依題意得f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)故選D.6已知函數(shù)f(x)x(xm)2在x1處取得極小值，則實(shí)數(shù)m()A0 B1C2 D3解析：選Bf(x)x(x22mxm2)x32mx2m2x，所以f(x)3x24mxm2(xm)(3xm)由f(1)0可得m1或m3.當(dāng)m3時(shí)，f(x)3(x1)(x3)，當(dāng)

14、1x3時(shí)，f(x)0，當(dāng)x3時(shí)，f(x)0，此時(shí)在x1處取得極大值，不合題意，m1，此時(shí)f(x)(x1)(3x1)，當(dāng)x 1時(shí)，f(x)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)在x1處取得極小值選B.7由曲線yx21，直線x0，x2和x軸所圍成的封閉圖形的面積是()A.(x21)dxB.|x21|dxC.(x21)dxD.(x21)dx(1x2)dx解析：選B作出封閉圖形的示意圖如圖所示，易得所圍成的封閉圖形的面積是S(1x2)dx(x21)dx|x21|dx.8若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A2,3 B(2,3C(，2 D(，2)解析：選A當(dāng)x0時(shí)，0f(x)12x0時(shí)，f(x

15、)x33xa，f(x)3x23，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(1)13aa2.由題意得0a21，解得2a3，選A.二、填空題9若函數(shù)f(x)xaln x不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1，要使函數(shù)f(x)xaln x不是單調(diào)函數(shù)，則需方程10在(0，)上有解，即xa，a0.答案：(，0)10已知函數(shù)f(x)ln xf(1)x23x4，則f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.答案：811已知函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1)

16、處的切線方程是yx3，則f(1)f(1)_.解析：由題意知f(1)，f(1)13，f(1)f(1)4.答案：412已知函數(shù)g(x)滿足g(x)g(1)ex1g(0)xx2，且存在實(shí)數(shù)x0，使得不等式2m1g(x0)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)解析：g(x)g(1)ex1g(0)x，令x1時(shí)，得g(1)g(1)g(0)1，g(0)1，g(0)g(1)e011，g(1)e，g(x)exxx2，g(x)ex1x，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0時(shí)，g(x)0，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值g(0)1.根據(jù)題意得2m1g(x)min1，m1.答案：1，)三、解答題13已知函數(shù)f(x)xb(x0)，其中a，bR.

17、(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)P(2，f(2)處的切線方程為y3x1，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)若對(duì)于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解：(1)f(x)1(x0)，由已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f(2)3，則a8.由切點(diǎn)P(2，f(2)在直線y3x1上可得2b7，解得b9，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x9.(2)由(1)知f(x)1(x0)當(dāng)a0時(shí)，顯然f(x)0，這時(shí)f(x)在(，0)，(0，)上是增函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，解得x，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，)(，0)(0，)(，)f(x)00f(x)極

18、大值極小值所以當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(，)，(，)上是增函數(shù)，在(，0)，(0，)上是減函數(shù)(3)由(2)知，對(duì)于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立等價(jià)于即對(duì)于任意的a成立，從而得b，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是.14已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解：(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f(x)(x0)，由f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于直線yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，則f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因?yàn)閤1不在f(x)的定義域(0，)內(nèi)，故

19、舍去當(dāng)x(0,5)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(5，)內(nèi)為增函數(shù)由此知函數(shù)f(x)在x5時(shí)取得極小值f(5)ln 5，無(wú)極大值高考研究課(一)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是基點(diǎn)、幾何意義是重點(diǎn)、定積分應(yīng)用是潛考點(diǎn) 全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度導(dǎo)數(shù)的幾何意義5年7考求切線、已知切線求參數(shù)、求切點(diǎn)坐標(biāo)定積分未考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算典例(1)(2018惠州模擬)已知函數(shù)f(x)cos x，則f()f()ABC D(2)已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，則f2 018(x)等于()Asin xcos x B

20、sin xcos xCsin xcos x Dcos xsin x(3)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2xf(1)ln x，則f(1)()Ae B1C1 De解析(1)f(x)cos x(sin x)，f()f(1).(2)f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4為周期的函數(shù)，f2 018(x)f2(x)cos xsin x，故選D.(3)由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)

21、2f(1)1，則f(1)1.答案(1)C(2)D(3)B方法技巧1可導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)步驟(1)分析函數(shù)yf(x)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)行化簡(jiǎn)；(2)選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)；(3)化簡(jiǎn)整理答案2求導(dǎo)運(yùn)算應(yīng)遵循的原則求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)即時(shí)演練1(2018江西九校聯(lián)考)已知y(x1)(x2)(x3)，則y()A3x212x6 Bx212x11Cx212x6 D3x212x11解析：選D法一：y(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)3x212x11.法二：y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x2

22、12x11.2已知函數(shù)f(x)xln x，若f(x0)2，則x0_.解析：f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案：e導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義為高考熱點(diǎn)內(nèi)容，考查題型多為選擇、填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)中，難度較低，屬中、低檔題.常見(jiàn)的命題角度有：(1)求切線方程；(2)確定切點(diǎn)坐標(biāo)；(3)已知切線求參數(shù)值或范圍；(4)切線的綜合應(yīng)用.角度一：求切線方程1已知函數(shù)f(x)ln(1x)xx2，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程是_解析：f(x)12x，f(1)，f(1)ln 2，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為yln 2(x1

23、)，即3x2y2ln 230.答案：3x2y2ln 230角度二：確定切點(diǎn)坐標(biāo)2已知函數(shù)f(x)(x0)，直線l：xty20.若直線l與曲線yf(x)相切，則切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值為_(kāi)解析：由f(x)(x0)，得f(x)(x0)當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增根據(jù)直線l的方程xty2，可得l恒過(guò)點(diǎn)(2,0)當(dāng)t0時(shí)，直線l：x2垂直于x軸，不與曲線yf(x)相切，舍去；當(dāng)t0時(shí)，設(shè)切點(diǎn)A(x0，y0)，直線l可化為yx，斜率kf(x0)，又直線l和曲線yf(x)均過(guò)點(diǎn)A(x0，y0)，則滿足y0x0，所以，兩邊約去t后，可得(x02)1，化簡(jiǎn)得x4x020，解得x02.綜上所述，切點(diǎn)的橫

24、坐標(biāo)為2.答案：2角度三：已知切線求參數(shù)值或范圍3(2017武漢一模)已知a為常數(shù)，若曲線yax23xln x上存在與直線xy10垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知曲線上存在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根當(dāng)a0時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)a0時(shí)，需滿足0，解得a0.綜上，a.答案：4若兩曲線yx21與yaln x1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：設(shè)yaln x1的切點(diǎn)為(x0，y0)，求導(dǎo)y，則切線的斜率為，所以公切線方程為y(aln x01)(xx0)，聯(lián)立方程yx21可得x2xaaln x00，由題意，可得24(aaln x0)0，則a4

25、x(1ln x0)令f(x)4x2(1ln x)(x0)，則f(x)4x(12ln x)，易知，函數(shù)f(x)4x2(1ln x)在(0，)上是增函數(shù)，在(，)上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)4x2(1ln x)的最大值是f()2e，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2e答案：(0,2e角度四：切線的綜合應(yīng)用5已知函數(shù)f(x)mln(x1)，g(x)(x1)(1)討論函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(1，)上的單調(diào)性；(2)若yf(x)與yg(x)的圖象有且僅有一條公切線，試求實(shí)數(shù)m的值解：(1)F(x)f(x)g(x)(x1)，當(dāng)m0時(shí)，F(xiàn)(x)0時(shí)，由F(x)0，得1x0，得x1，所以函數(shù)F(x)在上單

26、調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)F(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)函數(shù)f(x)mln(x1)在點(diǎn)(a，mln(a1)處的切線方程為ymln(a1)(xa)，即yxmln(a1).函數(shù)g(x)在點(diǎn)處的切線方程為y(xb)，即yx.因?yàn)閥f(x)與yg(x)的圖象有且僅有一條公切線，即所以有唯一數(shù)對(duì)(a，b)，滿足這個(gè)方程組，由得a1m(b1)2，代入消去a整理得：2mln(b1)mln mm10，關(guān)于b(b1)的方程有唯一的解，令h(b)2mln(b1)mln mm1，則h(b)，方程組有解時(shí)，m0，所以h(b)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以h(

27、b)minhmmln m1，因?yàn)閎，h(b)，b1，h(b)，所以只需mmln m10.令p(m)mmln m1，則p(m)ln m在m0時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，且m1時(shí)，p(m)0.所以p(m)maxp(1)0，所以m1時(shí)，關(guān)于b(b1)的方程2mln(b1)mln mm10有唯一解，此時(shí)ab0，公切線為yx.方法技巧利用導(dǎo)數(shù)解決切線問(wèn)題的方法(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)已知過(guò)某點(diǎn)M(x1，f(x1)(不是切點(diǎn))的切線斜率為k時(shí)，常需設(shè)出切點(diǎn)A(x0，f(x0)，利用k求解定積

28、分及應(yīng)用典例(1)(2018東營(yíng)模擬)設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A. B.C. D不存在(2)設(shè)f(x)則f(x)dx的值為()A. B.3C. D.3(3)設(shè)a0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析(1)如圖，f(x)dxx2dx(2x)dxx3.(2) f(x)dxdx(x21)dx，因?yàn)?表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的上半圓的面積，則dx； (x21)dx，所以f(x)dx.(3)封閉圖形如圖所示，則dxxa0a2，解得a.答案(1)C(2)A(3)方法技巧求定積分的2種方法及注意事項(xiàng)(1)定理法運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：對(duì)被積函數(shù)要先化

29、簡(jiǎn)，再求積分；求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”，分段積分再求和；對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要先去掉絕對(duì)值符號(hào)再求積分；注意用“F(x)f(x)”檢驗(yàn)積分的對(duì)錯(cuò)(2)面積法根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分即時(shí)演練1(2018西安調(diào)研)定積分(2xex)dx的值為()Ae2 Be1Ce De1解析：選C(2xex)dx(x2ex)1e11e.故選C.2直線y2x3與拋物線yx2所圍成封閉圖形的面積為_(kāi)解析：如圖，由方程組可得x11，x23，故所求圖形面積為S (2x3)x2dx1(2x3)dxx2dx(x23x) x3.答案：3如圖，在長(zhǎng)方形OABC內(nèi)任取一點(diǎn)P

30、，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率為_(kāi)解析：由圖知長(zhǎng)方形OABC的面積為e；函數(shù)yax過(guò)點(diǎn)(1，e)，則ae，所以曲線的方程為yex，A，D在直線y1x上，所以陰影部分的面積S(exx1)dxe，所以在長(zhǎng)方形OABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率P1.答案：11(2014全國(guó)卷)設(shè)曲線yaxln(x1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y2x，則a()A0 B1C2 D3解析：選Dya，由題意得yx02，即a12，所以a3.2(2017全國(guó)卷)曲線yx2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_(kāi)解析：因?yàn)閥2x，所以在點(diǎn)(1,2)處的切線方程的斜率為y|x1211，所以切線方程為y2x1，即xy10.答案：xy

31、103(2016全國(guó)卷)若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b_.解析：yln x2的切線方程為：yxln x11(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1)，yln(x1)的切線方程為：yxln(x21)(設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2)，解得x1，x2，bln x111ln 2.答案：1ln 24(2015全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，則a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案：15(2015全國(guó)卷)已知曲線yxln x在

32、點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.解析：yxln x，y1，yx12.曲線yxln x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.y2x1與曲線yax2(a2)x1相切，a0(當(dāng)a0時(shí)曲線變?yōu)閥2x1與已知直線平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.答案：8一、選擇題1若axdx，則二項(xiàng)式6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()A20 B20C540 D540解析：選Caxdxx2，則6展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr1(3)rCx62r，令62r0可得r3，則常數(shù)項(xiàng)是T4(3)3C540.2(2018衡水調(diào)研)曲線y1在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為()Ay2x1 By2

33、x1Cy2x3 Dy2x2解析：選Ay1，y，yx12，曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率為2，所求切線方程為y12(x1)，即y2x1.3(2018濟(jì)南一模)已知曲線f(x)ln x的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則此切線的斜率為()Ae BeC. D解析：選C法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x).設(shè)切點(diǎn)P(x0，ln x0)，則切線的斜率為kf(x0)kOP.ln x01，x0e，k.法二：(數(shù)形結(jié)合法)：在同一坐標(biāo)系下作出yln x及曲線yln x經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線，由圖可知，切線的斜率為正，且小于1，故選C.4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，

34、且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m的值為()A1 B3C4 D2解析：選Df(x)，直線l的斜率為kf(1)1.又f(1)0，直線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，又因?yàn)閥0xmx0(m0)，解得m2，故選D.5(2018南昌二中模擬)設(shè)點(diǎn)P是曲線yx3x上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)閥3x2，故切線斜率k，所以切線傾斜角的取值范圍是.6已知曲線y，則曲線的切線斜率取得最小值時(shí)的直線方程為()Ax4y20 Bx4y20C4x2y10 D4x2y10解析：選Ay，因

35、為ex0，所以ex22(當(dāng)且僅當(dāng)ex，即x0時(shí)取等號(hào))，則ex24，故y(當(dāng)x0時(shí)取等號(hào))當(dāng)x0時(shí)，曲線的切線斜率取得最大值，此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的方程為y(x0)，即x4y20.故選A.二、填空題7若a和b是計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,2)上產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，那么函數(shù)f(x)lg(ax24x4b)的值域?yàn)镽的概率為_(kāi)解析：由題意知所表示的平面區(qū)域是正方形，其面積為4.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)lg(ax24x4b)的值域?yàn)镽，所以ax24x4b取遍所有的正數(shù)，則化簡(jiǎn)可得如圖所示，不等式所表示的圖形的面積S2da1ln a212ln 2，所以所求事件的概率為.答案：8已知函數(shù)f(x)eaxbx(a0)在點(diǎn)(0，f(

36、0)處的切線方程為y5x1，且f(1)f(1)12.則a，b的值分別為_(kāi)解析：f(x)eaxbx，那么f(x)aeaxb，由得化簡(jiǎn)得(ea2)(a1)0，由a0，得a1，b6.答案：1,69(2017東營(yíng)一模)函數(shù)f(x)xln x在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線與直線xy0垂直，則切點(diǎn)P(x0，f(x0)的坐標(biāo)為_(kāi)解析：f(x)xln x，f(x)ln x1，由題意得f(x0)(1)1，即f(x0)1ln x011ln x00x01，f(x0)1ln 10，P(1,0)答案：(1,0)10設(shè)過(guò)曲線f(x)exx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的任意一點(diǎn)的切線為l1，總存在過(guò)曲線g(x)mx3sin

37、x上的一點(diǎn)處的切線l2，使l1l2，則m的取值范圍是_解析：設(shè)曲線f(x)上任意一點(diǎn)A(x1，y1)，曲線g(x)上存在一點(diǎn)B(x2，y2)，f(x)ex1，g(x)m3cos x.由題意可得f(x1)g(x2)1，且f(x1)ex11(，1)，g(x2)m3cos x2m3，m3因?yàn)檫^(guò)曲線f(x)exx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的任意一點(diǎn)的切線為l1，總存在過(guò)曲線g(x)mx3sin x上的一點(diǎn)處的切線l2，使l1l2，所以(0,1)m3，m3，所以m30，且m31，解得2m3.答案：2,3三、解答題11已知函數(shù)f(x)x32x23x(xR)的圖象為曲線C.(1)求過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的

38、取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍解：(1)由題意得f(x)x24x3，則f(x)(x2)211，即過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是1，)(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由題意，及(1)可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)12已知函數(shù)f(x)x2ax(3a)ln x，aR.(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線2xy10垂直，求a的值；(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x15.解：(1)f(x)xa，f(1)42a，由題意知42a，解得a.(2

39、)證明：由題意知，x1，x2為f(x)0的兩根，2a0，故h(a)在(2,3)上遞增又h(2)25，a(2,3)，h(a)5，綜上，f(x1)f(x2)5.1(2018廣東七校聯(lián)考)已知函數(shù)yx2的圖象在點(diǎn)(x0，x)處的切線為l，若l也與函數(shù)yln x，x(0,1)的圖象相切，則x0必滿足()A0x0 B.x01C.x0 D.x01，設(shè)切點(diǎn)為(t，ln t)，則切線l的方程為yxln t1，因?yàn)楹瘮?shù)yx2的圖象在點(diǎn)(x0，x)處的切線l的斜率為2x0，則切線方程為y2x0xx，因?yàn)閘也與函數(shù)yln x，x(0,1)的圖象相切，則有則1ln 2x0x，x0(1，)令g(x)x2ln 2x1，x

40、(1，)，所以該函數(shù)的零點(diǎn)就是x0，則排除A、B；又因?yàn)間(x)2x0，所以函數(shù)g(x)在(1，)上單調(diào)遞增又g(1)ln 20，g()1ln 20，從而x02)，則(M，N).設(shè)g(x)x，x4，則g(x)10，所以g(x)在(4，)上單調(diào)遞增，所以g(x)g(4).所以t22，所以0(M，N)0時(shí)，(x2)exx20.解：f(x)的定義域?yàn)?，2)(2，)f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上單調(diào)遞增因此當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性是高考命題的重點(diǎn)，其應(yīng)用是

41、考查熱點(diǎn).,常見(jiàn)的命題角度有：(1)yf(x)與yf(x)的圖象辨識(shí)；(2)比較大??；(3)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；(4)構(gòu)造函數(shù)解不等式.角度一：yf(x)與yf(x)的圖象辨識(shí)1.已知函數(shù)f(x)ax3bx2cxd，若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則一定有()Ab0，c0Bb0Cb0，c0Db0，c0，f(x)3ax22bxc，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且先增，再減，最后增，所以方程f(x)0有兩個(gè)大于0不同的實(shí)根，且a0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得0，0，則b0.2.已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()解析：選B由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象自左至右是先增后減，可知函數(shù)yf(x)圖象的切線的斜率自左至右先增大后減小角度二：比較大小3設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(2x)f(x)，2，x1x2，則()Af(x1)f(x2)Df(x1)與f(x2)的大小不能確定解析：選C由f(2x)f(x)，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，當(dāng)x1時(shí)，x