（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第四單元 導數(shù)及其應用學案 理

（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第四單元 導數(shù)及其應用學案 理導數(shù)的基本運算原函數(shù)導函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)f(x)logax(a>0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)3復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為yxyu·ux，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積1下列求導運算正確的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：選B1；(log2x)；(3x)3xln 3；(x2cos x)2xcos xx2sin x，故選B.2函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導數(shù)為()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：選Cf(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)3函數(shù)f(x)ax33x22，若f(1)4，則a的值是()A. B.C. D.解析：選D因為f(x)3ax26x，所以f(1)3a64，所以a.4(2016·天津高考)已知函數(shù)f(x)(2x1)ex，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則f(0)的值為_解析：因為f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：35函數(shù)y的導數(shù)為_解析：y.答案：y清易錯1利用公式求導時，一定要注意公式的適用范圍及符號，如(xn)nxn1中n0且nQ*，(cos x)sin x.2注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.1已知函數(shù)f(x)sin xcos x，若f(x)f(x)，則tan x的值為()A1 B3C1 D2解析：選Bf(x)(sin xcos x)cos xsin x，又f(x)f(x)，cos xsin xsin xcos x，tan x3.2若函數(shù)f(x)2xln x且f(a)0，則2aln 2a()A1 B1Cln 2 Dln 2解析：選Af(x)2xln 2，由f(a)2aln 20，得2aln 2，則a·2a·ln 21，即2aln 2a1.導數(shù)的幾何意義過雙基函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))相應地，切線方程為yy0f(x0)·(xx0)1.(2018·鄭州質(zhì)檢)已知yf(x)是可導函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導函數(shù)，則g(3)()A1 B0C2 D4解析：選B由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，所以g(3)13×0.2設函數(shù)f(x)xln x，則點(1,0)處的切線方程是_解析：因為f(x)ln x1，所以f(1)1，所以切線方程為xy10.答案：xy103已知曲線y2x2的一條切線的斜率為2，則切點的坐標為_解析：因為y4x，設切點為(m，n)，則4m2，所以m，則n2×2，則切點的坐標為.答案：4函數(shù)yf(x)的圖象在點M(1，f(1)處的切線方程是y3x2，則f(1)f(1)_.解析：因為函數(shù)yf(x)的圖象在點M(1，f(1)處的切線方程是y3x2，所以f(1)3，且f(1)3×121，所以f(1)f(1)134.答案：4清易錯1求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過P點的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者2曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別1若存在過點(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切，則a等于()A1或 B1或C或 D或7解析：選A因為yx3，所以y3x2，設過點(1,0)的直線與yx3相切于點(x0，x)，則在該點處的切線斜率為k3x，所以切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切線上，則x00或x0，當x00時，由y0與yax2x9相切，可得a，當x0時，由yx與yax2x9相切，可得a1，所以選A.2.(2017·蘭州一模)已知直線y2x1與曲線yx3axb相切于點(1,3)，則實數(shù)b的值為_解析：因為函數(shù)yx3axb的導函數(shù)為y3x2a，所以此函數(shù)的圖象在點(1,3)處的切線斜率為3a，所以解得答案：3利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性過雙基1函數(shù)f(x)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與f(x)的關系(1)若f(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間上是增加的(2)若f(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間上是減少的(3)若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)2利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)求f(x)(2)在定義域內(nèi)解不等式f(x)>0或f(x)<0.(3)根據(jù)結果確定f(x)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間1函數(shù)f(x)2x39x212x1的單調(diào)減區(qū)間是()A(1,2) B(2，)C(，1) D(，1)和(2，)解析：選A解f(x)6x218x12<0可得1<x<2，所以單調(diào)減區(qū)間是(1,2)2已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()解析：選D當x<0時，由導函數(shù)f(x)ax2bxc<0，知相應的函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當x>0時，由導函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可知，導函數(shù)在區(qū)間(0，x1)內(nèi)的值是大于0的，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增只有D選項符合題意3已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，2 B.C2，) D5，)解析：選C由題意得f(x)2xa0在(1，)上恒成立g(x)2x2ax30在(1，)上恒成立a2240或2a2或a>2a2，故選C.清易錯若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f(x)0，且在(a，b)的任意子區(qū)間，等號不恒成立；若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0，且在(a，b)的任意子區(qū)間，等號不恒成立若函數(shù)f(x)x3x2mx1是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)，f(x)0恒成立，412m0，即m.答案：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值過雙基1函數(shù)的極大值在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在任何一點的函數(shù)值都小于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)yf(x)的極大值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值2函數(shù)的極小值在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在任何一點的函數(shù)值都大于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)yf(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點3函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值1如圖是f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選A由圖象及極值點的定義知，f(x)只有一個極小值點2若函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時取得極值，則a的值為()A2 B3C4 D5解析：選Df(x)3x22ax3，由題意知f(3)0，即3×(3)22a×(3)30，解得a5.3(2017·濟寧一模)函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為()A. B1C0 D不存在解析：選Af(x)x，且x>0.令f(x)>0，得x>1；令f(x)<0，得0<x<1.f(x)在x1處取得極小值也是最小值，且f(1)ln 1.4若函數(shù)f(x)x2axln x有極值，則a的取值范圍為_解析：f(x)xa(x>0)，因為函數(shù)f(x)x2axln x有極值，令g(x)x2ax1，且g(0)1>0，所以解得a>2.答案：(2，)5設x1，x2是函數(shù)f(x)x32ax2a2x的兩個極值點，若x1<2<x2，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意，f(x)3x24axa20，得x或a.又x1<2<x2，x1，x2a，2<a<6.答案：(2,6) 清易錯1f(x0)0是x0為f(x)的極值點的既不充分也不必要條件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點；又如f(x)|x|，x0是它的極小值點，但f(0)不存在2求函數(shù)最值時，易誤認為極值點就是最值點，不通過比較就下結論1(2017·岳陽一模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是()Ayx3 Byln(x)Cyxex Dyx解析：選D因為A、B為單調(diào)函數(shù)，所以不存在極值，C不是奇函數(shù)，故選D.2設函數(shù)f(x)x33x1，x2,2的最大值為M，最小值為m，則Mm_.解析：f(x)3x23，由f(x)>0可得x>1或x<1，由f(x)<0可得1<x<1，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間是2，1，1,2，減區(qū)間是1,1又因為f(2)1，f(1)3，f(1)1，f(2)3，所以M3，m1，所以Mm2.答案：2定積分過雙基1定積分的概念在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式2定積分的性質(zhì)(1) kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；(2) f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx；(3) f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)為了方便，常把F(b)F(a)記作F(x) ，即f(x)dxF(x) F(b)F(a)1若f(x)f(f(1)1，則a的值為()A1 B2C1 D2解析：選A因為f(1)lg 10，f(0)3t2dtt3a3，所以由f(f(1)1得a31，所以a1.2.(exx)dx_.解析：(exx)dx(e00)e.答案：e3(2015·天津高考)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_解析：如圖，陰影部分的面積即為所求由得A(1,1)故所求面積為S(xx2)dx.答案：清易錯定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結果可以為負由曲線yx2和直線x0，x1，y所圍成的圖形(如圖所示)的面積為()A. B.C. D.解析：選D由題意及圖形可得陰影部分的面積Sdxdx.一、選擇題1已知函數(shù)f(x)logax(a>0且a1)，若f(1)1，則a()AeB.C. D.解析：選B因為f(x)，所以f(1)1，所以ln a1，所以a.2直線ykx1與曲線yx2axb相切于點A(1,3)，則2ab的值為()A1 B1C2 D2解析：選C由曲線yx2axb，得y2xa，由題意可得解得所以2ab2.3函數(shù)y2x33x2的極值情況為()A在x0處取得極大值0，但無極小值B在x1處取得極小值1，但無極大值C在x0處取得極大值0，在x1處取得極小值1D以上都不對解析：選Cy6x26x，由y6x26x>0，可得x>1或x<0，即單調(diào)增區(qū)間是(，0)，(1，)由y6x26x<0，可得0<x<1，即單調(diào)減區(qū)間是(0,1)，所以函數(shù)在x0處取得極大值0，在x1處取得極小值1.4若f(x)x2mln x在(1，)是減函數(shù)，則m的取值范圍是()A1，) B(1，)C(，1 D(，1)解析：選C由題意，f(x)x0在(1，)上恒成立，即mx2在(1，)上恒成立，又因為x2>1，所以m1.5函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：選D依題意得f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)>0，解得x>2，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)故選D.6已知函數(shù)f(x)x(xm)2在x1處取得極小值，則實數(shù)m()A0 B1C2 D3解析：選Bf(x)x(x22mxm2)x32mx2m2x，所以f(x)3x24mxm2(xm)(3xm)由f(1)0可得m1或m3.當m3時，f(x)3(x1)(x3)，當1<x<3時，f(x)<0，當x<1或x>3時，f(x)>0，此時在x1處取得極大值，不合題意，m1，此時f(x)(x1)(3x1)，當<x <1時，f(x)<0，當x<或x>1時，f(x)>0，此時在x1處取得極小值選B.7由曲線yx21，直線x0，x2和x軸所圍成的封閉圖形的面積是()A.(x21)dxB.|x21|dxC.(x21)dxD.(x21)dx(1x2)dx解析：選B作出封閉圖形的示意圖如圖所示，易得所圍成的封閉圖形的面積是S(1x2)dx(x21)dx|x21|dx.8若函數(shù)f(x)的值域為0，)，則實數(shù)a的取值范圍是()A2,3 B(2,3C(，2 D(，2)解析：選A當x0時，0f(x)12x<1；當x>0時，f(x)x33xa，f(x)3x23，當x(0,1)時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x(1，)時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以當x1時，函數(shù)f(x)取得最小值f(1)13aa2.由題意得0a21，解得2a3，選A.二、填空題9若函數(shù)f(x)xaln x不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知f(x)的定義域為(0，)，f(x)1，要使函數(shù)f(x)xaln x不是單調(diào)函數(shù)，則需方程10在(0，)上有解，即xa，a<0.答案：(，0)10已知函數(shù)f(x)ln xf(1)x23x4，則f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.答案：811已知函數(shù)f(x)的圖象在點M(1，f(1)處的切線方程是yx3，則f(1)f(1)_.解析：由題意知f(1)，f(1)×13，f(1)f(1)4.答案：412已知函數(shù)g(x)滿足g(x)g(1)ex1g(0)xx2，且存在實數(shù)x0，使得不等式2m1g(x0)成立，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：g(x)g(1)ex1g(0)x，令x1時，得g(1)g(1)g(0)1，g(0)1，g(0)g(1)e011，g(1)e，g(x)exxx2，g(x)ex1x，當x<0時，g(x)<0，當x>0時，g(x)>0，當x0時，函數(shù)g(x)取得最小值g(0)1.根據(jù)題意得2m1g(x)min1，m1.答案：1，)三、解答題13已知函數(shù)f(x)xb(x0)，其中a，bR.(1)若曲線yf(x)在點P(2，f(2)處的切線方程為y3x1，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)若對于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立，求實數(shù)b的取值范圍解：(1)f(x)1(x0)，由已知及導數(shù)的幾何意義得f(2)3，則a8.由切點P(2，f(2)在直線y3x1上可得2b7，解得b9，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x9.(2)由(1)知f(x)1(x0)當a0時，顯然f(x)>0，這時f(x)在(，0)，(0，)上是增函數(shù)當a>0時，令f(x)0，解得x±，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，)(，0)(0，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值所以當a>0時，f(x)在(，)，(，)上是增函數(shù)，在(，0)，(0，)上是減函數(shù)(3)由(2)知，對于任意的a，不等式f(x)10在上恒成立等價于即對于任意的a成立，從而得b，所以實數(shù)b的取值范圍是.14已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解：(1)對f(x)求導，得f(x)(x>0)，由f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，則f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因為x1不在f(x)的定義域(0，)內(nèi)，故舍去當x(0,5)時，f(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當x(5，)時，f(x)>0，故f(x)在(5，)內(nèi)為增函數(shù)由此知函數(shù)f(x)在x5時取得極小值f(5)ln 5，無極大值高考研究課(一)導數(shù)運算是基點、幾何意義是重點、定積分應用是潛考點 全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度導數(shù)的幾何意義5年7考求切線、已知切線求參數(shù)、求切點坐標定積分未考查導數(shù)的運算典例(1)(2018·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)cos x，則f()f()ABC D(2)已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的導函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，則f2 018(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dcos xsin x(3)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2xf(1)ln x，則f(1)()Ae B1C1 De解析(1)f(x)cos x(sin x)，f()f·(1).(2)f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4為周期的函數(shù)，f2 018(x)f2(x)cos xsin x，故選D.(3)由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，則f(1)1.答案(1)C(2)D(3)B方法技巧1可導函數(shù)的求導步驟(1)分析函數(shù)yf(x)的結構特點，進行化簡；(2)選擇恰當?shù)那髮Х▌t與導數(shù)公式求導；(3)化簡整理答案2求導運算應遵循的原則求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯即時演練1(2018·江西九校聯(lián)考)已知y(x1)(x2)(x3)，則y()A3x212x6 Bx212x11Cx212x6 D3x212x11解析：選D法一：y(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)3x212x11.法二：y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.2已知函數(shù)f(x)xln x，若f(x0)2，則x0_.解析：f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案：e導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義為高考熱點內(nèi)容，考查題型多為選擇、填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，難度較低，屬中、低檔題.常見的命題角度有：(1)求切線方程；(2)確定切點坐標；(3)已知切線求參數(shù)值或范圍；(4)切線的綜合應用.角度一：求切線方程1已知函數(shù)f(x)ln(1x)xx2，則曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程是_解析：f(x)12x，f(1)，f(1)ln 2，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yln 2(x1)，即3x2y2ln 230.答案：3x2y2ln 230角度二：確定切點坐標2已知函數(shù)f(x)(x>0)，直線l：xty20.若直線l與曲線yf(x)相切，則切點橫坐標的值為_解析：由f(x)(x>0)，得f(x)(x>0)當x(0,1)時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x(1，)時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增根據(jù)直線l的方程xty2，可得l恒過點(2,0)當t0時，直線l：x2垂直于x軸，不與曲線yf(x)相切，舍去；當t0時，設切點A(x0，y0)，直線l可化為yx，斜率kf(x0)，又直線l和曲線yf(x)均過點A(x0，y0)，則滿足y0x0，所以··，兩邊約去t后，可得(x02)·1，化簡得x4x020，解得x02±.綜上所述，切點的橫坐標為2±.答案：2±角度三：已知切線求參數(shù)值或范圍3(2017·武漢一模)已知a為常數(shù)，若曲線yax23xln x上存在與直線xy10垂直的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知曲線上存在某點的導數(shù)值為1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根當a0時，顯然滿足題意；當a0時，需滿足0，解得a0.綜上，a.答案：4若兩曲線yx21與yaln x1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍是_解析：設yaln x1的切點為(x0，y0)，求導y，則切線的斜率為，所以公切線方程為y(aln x01)(xx0)，聯(lián)立方程yx21可得x2xaaln x00，由題意，可得24(aaln x0)0，則a4x(1ln x0)令f(x)4x2(1ln x)(x>0)，則f(x)4x(12ln x)，易知，函數(shù)f(x)4x2(1ln x)在(0，)上是增函數(shù)，在(，)上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)4x2(1ln x)的最大值是f()2e，則正實數(shù)a的取值范圍是(0,2e答案：(0,2e角度四：切線的綜合應用5已知函數(shù)f(x)mln(x1)，g(x)(x>1)(1)討論函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(1，)上的單調(diào)性；(2)若yf(x)與yg(x)的圖象有且僅有一條公切線，試求實數(shù)m的值解：(1)F(x)f(x)g(x)(x>1)，當m0時，F(xiàn)(x)<0，函數(shù)F(x)在(1，)上單調(diào)遞減當m>0時，由F(x)<0，得1<x<1，所以函數(shù)F(x)在上單調(diào)遞減；由F(x)>0，得x>1，所以函數(shù)F(x)在上單調(diào)遞增綜上所述，當m0時，函數(shù)F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，當m>0時，函數(shù)F(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)函數(shù)f(x)mln(x1)在點(a，mln(a1)處的切線方程為ymln(a1)(xa)，即yxmln(a1).函數(shù)g(x)在點處的切線方程為y(xb)，即yx.因為yf(x)與yg(x)的圖象有且僅有一條公切線，即所以有唯一數(shù)對(a，b)，滿足這個方程組，由得a1m(b1)2，代入消去a整理得：2mln(b1)mln mm10，關于b(b>1)的方程有唯一的解，令h(b)2mln(b1)mln mm1，則h(b)，方程組有解時，m>0，所以h(b)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以h(b)minhmmln m1，因為b，h(b)，b1，h(b)，所以只需mmln m10.令p(m)mmln m1，則p(m)ln m在m>0時為單調(diào)遞減函數(shù)，且m1時，p(m)0.所以p(m)maxp(1)0，所以m1時，關于b(b>1)的方程2mln(b1)mln mm10有唯一解，此時ab0，公切線為yx.方法技巧利用導數(shù)解決切線問題的方法(1)已知切點A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)已知過某點M(x1，f(x1)(不是切點)的切線斜率為k時，常需設出切點A(x0，f(x0)，利用k求解定積分及應用典例(1)(2018·東營模擬)設f(x)則f(x)dx等于()A. B.C. D不存在(2)設f(x)則f(x)dx的值為()A. B.3C. D.3(3)設a0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析(1)如圖，f(x)dxx2dx(2x)dxx3.(2) f(x)dxdx(x21)dx，因為 表示圓心在原點，半徑為1的上半圓的面積，則dx； (x21)dx，所以f(x)dx.(3)封閉圖形如圖所示，則dxxa0a2，解得a.答案(1)C(2)A(3)方法技巧求定積分的2種方法及注意事項(1)定理法運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點：對被積函數(shù)要先化簡，再求積分；求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和；對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值符號再求積分；注意用“F(x)f(x)”檢驗積分的對錯(2)面積法根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分即時演練1(2018·西安調(diào)研)定積分(2xex)dx的值為()Ae2 Be1Ce De1解析：選C(2xex)dx(x2ex)1e11e.故選C.2直線y2x3與拋物線yx2所圍成封閉圖形的面積為_解析：如圖，由方程組可得x11，x23，故所求圖形面積為S (2x3)x2dx1(2x3)dxx2dx(x23x) x3.答案：3如圖，在長方形OABC內(nèi)任取一點P，則點P落在陰影部分的概率為_解析：由圖知長方形OABC的面積為e；函數(shù)yax過點(1，e)，則ae，所以曲線的方程為yex，A，D在直線y1x上，所以陰影部分的面積S(exx1)dxe，所以在長方形OABC內(nèi)任取一點P，則點P落在陰影部分的概率P1.答案：11(2014·全國卷)設曲線yaxln(x1)在點(0,0)處的切線方程為y2x，則a()A0 B1C2 D3解析：選Dya，由題意得yx02，即a12，所以a3.2(2017·全國卷)曲線yx2在點(1,2)處的切線方程為_解析：因為y2x，所以在點(1,2)處的切線方程的斜率為y|x12×11，所以切線方程為y2x1，即xy10.答案：xy103(2016·全國卷)若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b_.解析：yln x2的切線方程為：y·xln x11(設切點橫坐標為x1)，yln(x1)的切線方程為：yxln(x21)(設切點的橫坐標為x2)，解得x1，x2，bln x111ln 2.答案：1ln 24(2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖象在點(1，f(1)處的切線過點(2,7)，則a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)切線過點(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案：15(2015·全國卷)已知曲線yxln x在點(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.解析：yxln x，y1，yx12.曲線yxln x在點(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.y2x1與曲線yax2(a2)x1相切，a0(當a0時曲線變?yōu)閥2x1與已知直線平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.答案：8一、選擇題1若axdx，則二項式6展開式中的常數(shù)項是()A20 B20C540 D540解析：選Caxdxx2，則6展開式的通項Tr1(3)rCx62r，令62r0可得r3，則常數(shù)項是T4(3)3C540.2(2018·衡水調(diào)研)曲線y1在點(1，1)處的切線方程為()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：選Ay1，y，yx12，曲線在點(1，1)處的切線斜率為2，所求切線方程為y12(x1)，即y2x1.3(2018·濟南一模)已知曲線f(x)ln x的切線經(jīng)過原點，則此切線的斜率為()Ae BeC. D解析：選C法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x).設切點P(x0，ln x0)，則切線的斜率為kf(x0)kOP.ln x01，x0e，k.法二：(數(shù)形結合法)：在同一坐標系下作出yln x及曲線yln x經(jīng)過原點的切線，由圖可知，切線的斜率為正，且小于1，故選C.4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m的值為()A1 B3C4 D2解析：選Df(x)，直線l的斜率為kf(1)1.又f(1)0，直線l的方程為yx1.g(x)xm，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，又因為y0xmx0(m0)，解得m2，故選D.5(2018·南昌二中模擬)設點P是曲線yx3x上的任意一點，P點處切線傾斜角的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選C因為y3x2，故切線斜率k，所以切線傾斜角的取值范圍是.6已知曲線y，則曲線的切線斜率取得最小值時的直線方程為()Ax4y20 Bx4y20C4x2y10 D4x2y10解析：選Ay，因為ex0，所以ex22(當且僅當ex，即x0時取等號)，則ex24，故y(當x0時取等號)當x0時，曲線的切線斜率取得最大值，此時切點的坐標為，切線的方程為y(x0)，即x4y20.故選A.二、填空題7若a和b是計算機在區(qū)間(0,2)上產(chǎn)生的隨機數(shù)，那么函數(shù)f(x)lg(ax24x4b)的值域為R的概率為_解析：由題意知所表示的平面區(qū)域是正方形，其面積為4.因為函數(shù)f(x)lg(ax24x4b)的值域為R，所以ax24x4b取遍所有的正數(shù)，則化簡可得如圖所示，不等式所表示的圖形的面積S2×da1ln a212ln 2，所以所求事件的概率為.答案：8已知函數(shù)f(x)eaxbx(a<0)在點(0，f(0)處的切線方程為y5x1，且f(1)f(1)12.則a，b的值分別為_解析：f(x)eaxbx，那么f(x)aeaxb，由得化簡得(ea2)(a1)0，由a<0，得a1，b6.答案：1,69(2017·東營一模)函數(shù)f(x)xln x在點P(x0，f(x0)處的切線與直線xy0垂直，則切點P(x0，f(x0)的坐標為_解析：f(x)xln x，f(x)ln x1，由題意得f(x0)·(1)1，即f(x0)1ln x011ln x00x01，f(x0)1·ln 10，P(1,0)答案：(1,0)10設過曲線f(x)exx(e為自然對數(shù)的底數(shù))上的任意一點的切線為l1，總存在過曲線g(x)mx3sin x上的一點處的切線l2，使l1l2，則m的取值范圍是_解析：設曲線f(x)上任意一點A(x1，y1)，曲線g(x)上存在一點B(x2，y2)，f(x)ex1，g(x)m3cos x.由題意可得f(x1)g(x2)1，且f(x1)ex11(，1)，g(x2)m3cos x2m3，m3因為過曲線f(x)exx(e為自然對數(shù)的底數(shù))上的任意一點的切線為l1，總存在過曲線g(x)mx3sin x上的一點處的切線l2，使l1l2，所以(0,1)m3，m3，所以m30，且m31，解得2m3.答案：2,3三、解答題11已知函數(shù)f(x)x32x23x(xR)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍解：(1)由題意得f(x)x24x3，則f(x)(x2)211，即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是1，)(2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由題意，及(1)可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)12已知函數(shù)f(x)x2ax(3a)ln x，aR.(1)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與直線2xy10垂直，求a的值；(2)設f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2，求證：f(x1)f(x2)>5.解：(1)f(x)xa，f(1)42a，由題意知42a，解得a.(2)證明：由題意知，x1，x2為f(x)0的兩根，2<a<3.又x1x2a，x1x23a，f(x1)f(x2)(xx)a(x1x2)(3a)ln x1x2a2a3(3a)ln(3a)設h(a)a2a3(3a)ln(3a)，a(2,3)，則h(a)aln(3a)，h(a)1>0，故h(a)在(2,3)上遞增又h(2)2<0，a3時，h(a)，a0(2,3)，當a(2，a0)時，h(a)遞減，當a(a0,3)時，h(a)遞增，h(a)minh(a0)aa03(3a0)·(a0)a2a03(a02)25>5，a(2,3)，h(a)>5，綜上，f(x1)f(x2)>5.1(2018·廣東七校聯(lián)考)已知函數(shù)yx2的圖象在點(x0，x)處的切線為l，若l也與函數(shù)yln x，x(0,1)的圖象相切，則x0必滿足()A0<x0< B.<x0<1C.<x0< D.<x0<解析：選Dyln x，x(0,1)的導數(shù)y>1，設切點為(t，ln t)，則切線l的方程為yxln t1，因為函數(shù)yx2的圖象在點(x0，x)處的切線l的斜率為2x0，則切線方程為y2x0xx，因為l也與函數(shù)yln x，x(0,1)的圖象相切，則有則1ln 2x0x，x0(1，)令g(x)x2ln 2x1，x(1，)，所以該函數(shù)的零點就是x0，則排除A、B；又因為g(x)2x>0，所以函數(shù)g(x)在(1，)上單調(diào)遞增又g(1)ln 2<0，g()1ln 2<0，g()2ln 2>0，從而<x0<.2函數(shù)yf(x)圖象上不同兩點M(x1，y1)，N(x2，y2)處的切線的斜率分別是kM，kN，規(guī)定(M，N)(|MN|為線段MN的長度)叫做曲線yf(x)在點M與點N之間的“彎曲度”設曲線f(x)x32上不同兩點M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1x21，則(M，N)的取值范圍是_解析：f(x)3x2，設x1x2t(|t|>2)，則(M，N).設g(x)x，x>4，則g(x)1>0，所以g(x)在(4，)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(4).所以t22>，所以0<(M，N)<.答案：高考研究課(二) 函數(shù)單調(diào)性必考，導數(shù)工具離不了全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度函數(shù)單調(diào)性5年6考討論單調(diào)性及證明單調(diào)性問題函數(shù)單調(diào)性的判斷典例(2016·山東高考節(jié)選)已知f(x)a(xln x)，aR，討論f(x)的單調(diào)性解f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.當a0，x(0,1)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；x(1，)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減當a0時，f(x).若0a2，則 1，當x(0,1)或x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減若a2，則 1，在x(0，)內(nèi)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增若a2，則0 1，當x或x(1，)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減綜上所述，當a0時，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減；當0a2時，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當a2時，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增；當a2時，f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增方法技巧導數(shù)法判斷函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)性的步驟(1)求f(x)；(2)確定f(x)在(a，b)內(nèi)的符號；(3)作出結論：f(x)0時為增函數(shù)；f(x)0時為減函數(shù)提醒研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論即時演練1(2017·蕪湖一模)函數(shù)f(x)exex，xR的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.B.C. D.解析：選D由題意知，f(x)exe，令f(x)0，解得x1，故選D.2(2016·全國卷節(jié)選)討論函數(shù)f(x)ex的單調(diào)性，并證明當x>0時，(x2)exx2>0.解：f(x)的定義域為(，2)(2，)f(x)0，當且僅當x0時，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上單調(diào)遞增因此當x(0，)時，f(x)>f(0)1.所以(x2)ex>(x2)，即(x2)exx2>0.利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應用 函數(shù)的單調(diào)性是高考命題的重點，其應用是考查熱點.,常見的命題角度有：(1)yf(x)與yf(x)的圖象辨識；(2)比較大小；(3)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；(4)構造函數(shù)解不等式.角度一：yf(x)與yf(x)的圖象辨識1.已知函數(shù)f(x)ax3bx2cxd，若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則一定有()Ab>0，c>0Bb<0，c>0Cb>0，c<0Db<0，c<0解析：選B由函數(shù)的圖象與y軸的交點在原點的上方可知，d>0，f(x)3ax22bxc，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)有兩個極值點，且先增，再減，最后增，所以方程f(x)0有兩個大于0不同的實根，且a>0，由根與系數(shù)的關系可得>0，>0，則b<0，c>0.2.已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是()解析：選B由函數(shù)f(x)的導函數(shù)yf(x)的圖象自左至右是先增后減，可知函數(shù)yf(x)圖象的切線的斜率自左至右先增大后減小角度二：比較大小3設定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，且滿足f(2x)f(x)，<0，若x1x2>2，x1<x2，則()Af(x1)<f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)>f(x2)Df(x1)與f(x2)的大小不能確定解析：選C由f(2x)f(x)，可得函數(shù)f(x)的圖象關于直線x1對稱，當x>1時，x