《（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 解析幾何學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 解析幾何學(xué)案（91頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 解析幾何學(xué)案小題考情分析大題考情分析?？键c(diǎn)1.雙曲線的漸近線、離心率及焦點(diǎn)問題(5年4考) 2.橢圓的離心率問題，橢圓與直線、雙曲線的綜合問題(5年3考)直線與圓錐曲線解答題是高考的熱點(diǎn)也是重點(diǎn)部分，主要涉及以下兩種考法：(1)直線與橢圓有關(guān)范圍、最值的綜合問題；(2)直線與拋物線有關(guān)范圍、最值的綜合問題.偶考點(diǎn)1.圓與不等式的交匯問題2.拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線問題考點(diǎn)(一)直 線 的 方 程主要考查直線方程、兩條直線的位置關(guān)系及三個距離公式的應(yīng)用.典例感悟典例(1)已知直線l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若l1l2，則實(shí)數(shù)a的值為()AB
2、0C或0 D2(2)已知點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線yaxb(a0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0,1) B.C. D.(3)過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點(diǎn)，且到點(diǎn)P(0,4)距離為2的直線方程為_.解析(1)由l1l2得1(a)2a(a1)，即2a23a0，解得a0或a.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a0或a時均有l(wèi)1l2，故選C.(2)易知BC所在直線的方程是xy1，由消去x，得y，當(dāng)a0時，直線yaxb與x軸交于點(diǎn)，結(jié)合圖形(圖略)知，化簡得(ab)2a(a1)，則a.a0，0，解得b.考慮極限位置，即當(dāng)a0時，易得b1，故b的取值范圍是
3、.(3)由得l1與l2的交點(diǎn)為(1,2)當(dāng)所求直線斜率不存在，即直線方程為x1時，顯然不滿足題意當(dāng)所求直線斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y2k(x1)，即kxy2k0，點(diǎn)P(0,4)到直線的距離為2，2，k0或k.直線方程為y2或4x3y20.答案(1)C(2)B(3)y2或4x3y20方法技巧解決直線方程問題的2個關(guān)注點(diǎn)(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的情況(2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意演練沖關(guān)1已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)，B(a,1
4、)，且l1與l垂直，直線l2：2xby10與直線l1平行，則ab()A4 B2 C0 D2解析：選B由題知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為1，所以1，所以a4.又l1l2，所以1，b2，所以ab422，故選B.2(2018浙江名師預(yù)測卷)“m1”是“直線l1：mx(2m1)y10與直線l2：3xmy30垂直”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A若直線l1：mx(2m1)y10與直線l2：3xmy30垂直，則3mm(2m1)0，即2m(m1)0，解得m0或m1，則“m1”是“直線l1：mx(2m1)y10與直線l2：3xmy30垂直”的充分不
5、必要條件故選A.3若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為()A. B. C. D.解析：選B由l1l2，得(a2)a13，且a2a36，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1與l2間的距離為d.考點(diǎn)(二)圓 的 方 程主要考查圓的方程的求法，常涉及弦長公式、直線與圓相切等問題.典例感悟典例(1)已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A.B.C. D.(2)(2018廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x24y的焦點(diǎn)，且該圓與直線yx3相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_解析(1)設(shè)ABC外接圓的一般方程為x2
6、y2DxEyF0，ABC外接圓的一般方程為x2y22xy10，圓心為，故ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 .(2)拋物線x24y的焦點(diǎn)為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2(y1)2r2(r0)，因?yàn)樵搱A與直線yx3，即xy30相切，所以r，故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2(y1)22.答案(1)B(2)x2(y1)22方法技巧圓的方程的2種求法幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)演練沖關(guān)1圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)
7、24D(x1)2(y)24解析：選D圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需求圓心(2,0)關(guān)于直線yx對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，則解得所以圓(x2)2y24的圓心關(guān)于直線yx對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，)，從而所求圓的方程為(x1)2(y)24，故選D.2已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程是()A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28解析：選A根據(jù)題意，直線xy10與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，即圓心為(1,0)因?yàn)閳AC與直線xy30相切，所以半徑r，則圓C的方程為(x1)2y22，故選A.3
8、圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.由已知又圓心(a，b)到y(tǒng)軸、x軸的距離分別為|a|，|b|，所以|a|r，|b|23r2.綜上，解得a2，b1，r2，所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)24考點(diǎn)(三)直線(圓)與圓的位置關(guān)系主要考查直線(圓)與圓位置關(guān)系的判斷、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解決參數(shù)問題或與圓有關(guān)的軌跡問題.典例感悟典例(1)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置
9、關(guān)系是()A內(nèi)切B相交C外切 D相離(2)(2018麗水、衢州、湖州高三聯(lián)考)已知直線l1：2xy10，直線l2：4x2ya0，圓C：x2y22x0.若圓C上任意一點(diǎn)P到兩直線l1，l2的距離之和為定值2，則實(shí)數(shù)a_.解析(1)由題知圓M：x2(ya)2a2(a0)，圓心(0，a)到直線xy0的距離d，所以22，解得a2，即圓M的圓心為(0,2)，半徑為2.又圓N的圓心為(1,1)，半徑為1，則圓M，圓N的圓心距|MN|，兩圓半徑之差為1，半徑之和為3,13，故兩圓相交(2)由題可知l1l2，若圓C上任意一點(diǎn)到兩直線的距離之和為定值2，則兩平行線之間的距離為2，且位于圓的兩側(cè)因?yàn)橹本€l1：2x
10、y10，直線l2：2xy0，所以l1與l2之間的距離d2，解得a18或a22，當(dāng)a22時，兩條直線在圓的同側(cè)，此時圓C上的點(diǎn)到兩直線的距離之和大于2，舍去，故a18.答案(1)B(2)18方法技巧1直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路(1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實(shí)現(xiàn)，兩圓位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點(diǎn)斜式過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算2直線截圓所得弦長的求解方
11、法(1)根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即l2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式求解演練沖關(guān)1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y2x1與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，則cosAOB()ABC D解析：選D因?yàn)閳Ax2y24的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y2x1的距離d，所以弦長|AB|22.在AOB中，由余弦定理得cosAOB.2(2018浙江名師預(yù)測卷)已知圓C的方程為x
12、2y21，直線l的方程為xy2，過圓C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為45的直線，交l于點(diǎn)A，則|PA|的最小值為()A. B1C.1 D2解析：選D由題意可知，直線PA平行于坐標(biāo)軸，或與坐標(biāo)軸重合不妨設(shè)直線PAy軸，設(shè)P(cos ，sin )，則A(cos ，2cos )，|PA|2cos sin |2sin(45)|，|PA|的最小值為2.故選D.3已知動圓C過A(4,0)，B(0，2)兩點(diǎn)，過點(diǎn)M(1，2)的直線交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)圓C的面積最小時，|EF|的最小值為_解析：依題意得，動圓C的半徑不小于|AB|，即當(dāng)圓C的面積最小時，AB是圓C的一條直徑，此時圓心C是線段AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)C(2
13、，1)，又點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)，且|CM|0)(3)圓的直徑式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的兩端點(diǎn)是A(x1，y1)，B(x2，y2)4直線與圓位置關(guān)系的判定方法(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：0相交，0相離，0相切(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則dr相離，dr相切5圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則(1)當(dāng)|O1O2|r1r2時，兩圓外離；(2)當(dāng)|O1O2|r1r2時，兩圓外切；(3)當(dāng)|r1r2|O1O2|r1r2時，兩圓相交；(4)當(dāng)|O1O2
14、|r1r2|時，兩圓內(nèi)切；(5)當(dāng)0|O1O2|r1r2|時，兩圓內(nèi)含(二) 二級結(jié)論要用好1直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20的位置關(guān)系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.針對練1若直線l1：mxy80與l2：4x(m5)y2m0垂直，則m_.解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12若點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2y2r2上，則圓過該點(diǎn)的切線方程為：x0xy0yr2.針對練2過點(diǎn)(1，)且與圓x2y24相切的直線l的方程為_解析：點(diǎn)(1，)在
15、圓x2y24上，切線方程為xy4，即xy40.答案：xy40(三) 易錯易混要明了1易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等設(shè)方程時，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為1；再如，忽視斜率不存在的情況直接將過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線設(shè)為yy0k(xx0)等針對練3已知直線過點(diǎn)P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為_解析：當(dāng)截距為0時，直線方程為5xy0；當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為1，代入P(1,5)，得a6，直線方程為xy60.答案：5xy0或xy602討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，
16、另一條直線斜率為0.如果利用直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20垂直的充要條件A1A2B1B20，就可以避免討論針對練4已知直線l1：(t2)x(1t)y1與l2：(t1)x(2t3)y20互相垂直，則t的值為_解析：l1l2，(t2)(t1)(1t)(2t3)0，解得t1或t1.答案：1或13求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導(dǎo)致錯解針對練5兩平行直線3x2y50與6x4y50間的距離為_解析：把直線6x4y50化為3x2y0，故兩平行線間的距離d.答案：4易誤認(rèn)為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解針對練6已知兩圓x2y22x
17、6y10，x2y210x12ym0相切，則m_.解析：由x2y22x6y10，得(x1)2(y3)211，由x2y210x12ym0，得(x5)2(y6)261m.當(dāng)兩圓外切時，有，解得m2510；當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有，解得m2510.答案：2510 A組107提速練一、選擇題1已知直線l：yk(x)和圓C：x2(y1)21，若直線l與圓C相切，則k()A0B.C.或0 D.或0解析：選D因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心C(0,1)到直線l的距離d1，解得k0或k，故選D.2(2018寧波十校高三5月適應(yīng)性考試)已知直線l過圓(x1)2(y2)21的圓心，當(dāng)原點(diǎn)到直線l距離最大時，直線l的方程為()
18、Ay2 Bx2y50Cx2y30 Dx2y50解析：選D設(shè)圓心為M，則M(1,2)當(dāng)l與OM垂直時，原點(diǎn)到l的距離最大作出示意圖如圖，kOM2，l的斜率為.直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.3直線l：ykx1與圓O：x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，則“k1”是“|AB|”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A依題意，注意到|AB|等價于圓心O到直線l的距離等于，即有，k1.因此，“k1”是“|AB|”的充分不必要條件4若三條直線l1：4xy3，l2：mxy0，l3：xmy2不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值最多有()A2個 B3個 C4個 D6個解
19、析：選C三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)若l1l2，則m4；若l1l3，則m；若l2l3，則m的值不存在；若三條直線相交于同一點(diǎn)，則m1或.故實(shí)數(shù)m的取值最多有4個，故選C.5(2018溫州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，1)，B(2,0)，過A的直線交x軸于點(diǎn)C(a,0)，若直線AC的傾斜角是直線AB傾斜角的2倍，則a()A. B.C1 D.解析：選B設(shè)直線AC的傾斜角為，直線AB的傾斜角為，即有tan tan 2.又tan ，tan ，所以，解得a.6與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x2)2(
20、y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22解析：選D由題意知，曲線方程為(x6)2(y6)2(3)2，過圓心(6,6)作直線xy20的垂線，垂線方程為yx，則所求的最小圓的圓心必在直線yx上，又圓心(6,6)到直線xy20的距離d5，故最小圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)22.7(2018長沙模擬)若直線(21)x(2)y20(R)被圓C：(x1)2y24所截得的弦為MN，則|MN|的最小值是()A. B2C2 D4解析：選C直線方程(21)x(2)y20(R)可化為(2xy1)(x2y2)0(R)，若則所以直線
21、恒過圓C：(x1)2y24內(nèi)的定點(diǎn)P(0，1)，當(dāng)直線(21)x(2)y20(R)與直線CP垂直時，|MN|最小，此時|MN|222.故選C.8(2018合肥質(zhì)檢)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：選B由題可知，圓心C(1,1)，半徑r2.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為x0，計(jì)算出弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為ykx3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有1，解得k，
22、所以直線l的方程為yx3，即3x4y120.綜上，直線l的方程為x0或3x4y120，故選B.9兩個圓C1：x2y22axa240(aR)與C2：x2y22by1b20(bR)恰有三條公切線，則ab的最小值為()A3 B3C6 D6解析：選B兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C1：(xa)2y24，圓C2：x2(yb)21，所以C1(a,0)，C2(0，b)，213，即a2b29.由2，得(ab)218，所以3ab3，當(dāng)且僅當(dāng)“ab”時等號成立所以ab的最小值為3.10若圓(x3)2(y5)2r2上有且只有兩個點(diǎn)到直線4x3y20的距離等于1，則半徑r的取值范圍是()A(4,
23、6) B4,6C(4,5) D(4,5解析：選A設(shè)直線4x3ym0與直線4x3y20之間的距離為1，則有1，m3或m7.圓心(3，5)到直線4x3y30的距離等于6，圓心(3，5)到直線4x3y70的距離等于4，因此所求圓半徑的取值范圍是(4,6)，故選A.二、填空題11直線l：xy230(R)恒過定點(diǎn)_，P(1，1)到直線l的距離的最大值為_解析：直線l：xy230(R)，即(y3)x20，令解得直線l恒過定點(diǎn)(2,3)不妨記Q(2,3)，則P(1,1)到直線l的距離的最大值為|PQ|.答案：(2,3)12若直線l1：yxa和直線l2：yxb將圓(x1)2(y2)28分成長度相等的四段弧，則
24、a2b2_.解析：由題意得直線l1和l2截圓所得弦所對的圓心角相等，均為90，因此圓心到兩直線的距離均為r2，即2，得a2b2(21)2(12)218.答案：1813已知點(diǎn)M(2,1)及圓x2y24，則過M點(diǎn)的圓的切線方程為_，若直線axy40與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2，則a_.解析：若過點(diǎn)M的圓的切線斜率不存在，則切線方程為x2，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件若切線斜率存在，可設(shè)切線方程為yk(x2)1，由圓心到直線的距離等于半徑得2，解得k，故切線方程為y(x2)1，即3x4y100.綜上，過M點(diǎn)的圓的切線方程為x2或3x4y100.由，得a.答案：x2或3x4y10014已知C的方程為x22x
25、y20，直線l：kxyx2k0與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|取最大值時，k_；當(dāng)ABC的面積最大時，k_.解析：圓的方程可化為(x1)2y21，圓心C(1,0)，半徑為1，當(dāng)直線過圓心時，弦AB為直徑，|AB|最大，此時k1.設(shè)ACB，則SABC11sin sin ，當(dāng)90時，ABC的面積最大，此時圓心到直線的距離為，由d，解得k0或k6.答案：10或615已知圓O：x2y2r2與圓C：(x2)2y2r2(r0)在第一象限的一個公共點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作與x軸平行的直線分別交兩圓于不同兩點(diǎn)A，B(異于P點(diǎn))，且OAOB，則直線OP的斜率是_，r_.解析：兩圓的方程相減得，4x40，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x1
26、.易知P為AB的中點(diǎn)，因?yàn)镺AOB，所以|OP|AP|PB|，所以O(shè)AP為等邊三角形，所以APO60，因?yàn)锳Bx軸，所以POC60，所以直線OP的斜率為.設(shè)P(1，y1)，則y1，所以P(1，)，代入圓O，解得r2.答案：216(2018浦江模擬)設(shè)A是直線yx4上一點(diǎn)，P，Q是圓C：x2(y2)217上不同的兩點(diǎn)，若圓心C是APQ的重心則APQ面積的最大值為_解析：如圖，圓心C是APQ的重心，ACPQ，設(shè)C到PQ的距離為x，則PQ2，則A到PQ的距離為3x，SPAQ23x3x3.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時等號成立APQ面積的最大值為.答案：17定義：若平面點(diǎn)集A中的任一個點(diǎn)(x0，y0)，總存在正實(shí)
27、數(shù)r，使得集合(x，y)|0；(x，y)|xy|6；(x，y)|0x2(y)21其中是開集的是_(請寫出所有符合條件的序號)解析：集合(x，y)|0)與圓x2y24交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|，那么k的取值范圍是()A(，) B，)C，2) D，2)解析：選C當(dāng)|時，O，A，B三點(diǎn)為等腰三角形AOB的三個頂點(diǎn)，其中OAOB2，AOB120，從而圓心O到直線xyk0(k0)的距離為1，即1，解得k；當(dāng)k時，|，又直線與圓x2y24有兩個不同的交點(diǎn)，故2，即k0)設(shè)條件p：0r1，即0r1時，直線在圓外，圓上沒有點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)2r1，即r1時，直線在圓外，圓上只有1個點(diǎn)到直線
28、的距離為1；當(dāng)02r1，即1r2時，直線在圓外，此時圓上有2個點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)2r0，即r2時，直線與圓相切，此時圓上有2個點(diǎn)到直線的距離為1；當(dāng)0r21，即2r1，即r3時，直線與圓相交，此時圓上有4個點(diǎn)到直線的距離為1.綜上，當(dāng)0r3時，圓C上至多有2個點(diǎn)到直線xy30的距離為1；由圓C上至多有2個點(diǎn)到直線xy30的距離為1可得0rb0)，而拋物線y24x的焦點(diǎn)為(1,0)，所以c1，又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓方程為1.故選A.答案(1)A(2)A方法技巧1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(
29、2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)注意應(yīng)用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤2求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的思路方法(1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程(2)計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y22px或x22py(p0)，橢圓常設(shè)為mx2ny21(m0，n0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn0)演練沖關(guān)1已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為4，漸近線方程為2xy0，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選A易知雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)在x
30、軸上，所以由漸近線方程為2xy0，得2，因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c2.結(jié)合c2a2b2，可得a2，b4，所以雙曲線的方程為1.2(2018杭二中高三期中)過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F的直線l：yx4與雙曲線C只有一個公共點(diǎn)，則雙曲線C的焦距為_，C的離心率為_解析：雙曲線C：1(a0，b0)的漸近線方程為yx，因?yàn)檫^雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F的直線l：yx4與雙曲線C只有一個公共點(diǎn)，所以又因?yàn)閍2b2c2，所以a2，b2，c4，所以2c8，e2.答案：823已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，過P作PAl于點(diǎn)A，當(dāng)AFO30(O為坐標(biāo)原點(diǎn))時，|PF
31、|_.解析：法一：令l與y軸的交點(diǎn)為B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以|AB|.設(shè)P(x0，y0)，則x0，代入x24y中，得y0，所以|PF|PA|y01.法二：如圖所示，AFO30，PAF30，又|PA|PF|，APF為頂角APF120的等腰三角形，而|AF|，|PF|.答案：考點(diǎn)(二)圓錐曲線的幾何性質(zhì)主要考查橢圓、雙曲線的離心率的計(jì)算、雙曲線漸近線的應(yīng)用以及拋物線的有關(guān)性質(zhì).典例感悟典例(1)(2018浙江名師預(yù)測卷)設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則拋物線C的方程為()Ay24x或y28xBy22
32、x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x(2)(2017全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)若MAN60，則C的離心率為_解析(1)因?yàn)閽佄锞€C的方程為y22px(p0)，所以焦點(diǎn)F.設(shè)M(x，y)，由拋物線的性質(zhì)可得|MF|x5，所以x5.因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得圓心橫坐標(biāo)為，又由已知可得圓的半徑也為，故可知該圓與y軸相切于點(diǎn)(0,2)，故圓心縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，所以M.將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程，得p210p160，所以p2或p8，所以拋物線C的方程為y2
33、4x或y216x，故選C.(2)雙曲線的右頂點(diǎn)為A(a,0)，一條漸近線的方程為yx，即bxay0，則圓心A到此漸近線的距離d.又因?yàn)镸AN60，圓的半徑為b，所以bsin 60，即，所以e.答案(1)C(2)方法技巧1橢圓、雙曲線的離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值；利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程演練沖關(guān)1已知雙曲線C：1(a0，b0)的兩條漸近線的夾角為60，則雙曲線C
34、的離心率為()A. B.C.或 D.或2解析：選D兩條漸近線的夾角為60，且兩條漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，tan 30或tan 60.由，得e21，e(舍負(fù))；由，得e213，e2(舍負(fù))故選D.2(2017全國卷)設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則m的取值范圍是()A(0,19，) B(0， 9，)C(0,14，) D(0， 4，)解析：選A當(dāng)0m3時，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則tan 60，即，解得0m1.當(dāng)m3時，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則tan 60，即，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)3如圖，拋物線
35、y24x的一條弦AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，取線段OB的中點(diǎn)D，延長OA至點(diǎn)C，使|OA|AC|，過點(diǎn)C，D作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，G，則|EG|的最小值為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則y32y1，y4y2，|EG|y4y3y22y1.因?yàn)锳B為拋物線y24x的焦點(diǎn)弦，所以y1y24，所以|EG|y22y224，當(dāng)且僅當(dāng)y2，即y24時取等號，所以|EG|的最小值為4.答案：4考點(diǎn)(三)圓錐曲線與圓、直線的綜合問題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題.典例感悟典例(1)已知直線ykxt與圓x2(y1)21相切且與拋物線C：
36、x24y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A(，3)(0，)B(，2)(0，)C(3,0) D(2,0)(2)已知雙曲線C：mx2ny21(mn0，解得t0或t3.故選A.(2)圓x2y26x2y90的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)21，則圓心為M(3,1)，半徑r1.當(dāng)m0時，由mx2ny21得1，則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，不妨設(shè)雙曲線與圓相切的漸近線方程為yx，即axby0，則圓心到直線的距離d1，即|3ab|c，平方得9a26abb2c2a2b2，即8a26ab0，則ba，平方得b2a2c2a2，即c2a2，則ca，離心率e；當(dāng)m0，n0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，
37、F2(c,0)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，且|PF2|F1F2|，若直線PF1與圓x2y2a2相切，則雙曲線的離心率為()A.B.C2 D3解析：選B取線段PF1的中點(diǎn)為A，連接AF2，又|PF2|F1F2|，則AF2PF1，直線PF1與圓x2y2a2相切，|AF2|2a，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a2c，|PA|PF1|ac，則在RtAPF2中，4c2(ac)24a2，化簡得(3c5a)(ac)0，則雙曲線的離心率為.2已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，則直線OM與直線l的斜率之積為()A9 BC D3
38、解析：選A設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb，故直線OM的斜率kOM，所以kOMk9，即直線OM與直線l的斜率之積為9. (一) 主干知識要記牢圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)圖形幾何性質(zhì)軸長軸長2a，短軸長2b實(shí)軸長2a，虛軸長2b離心率e (0e1)e1漸近線yx(二) 二級結(jié)論要用好1橢圓焦點(diǎn)三角形的3個規(guī)律設(shè)橢圓方程是1
39、(ab0)，焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)(1)三角形的三個邊長是|PF1|aex0，|PF2|aex0，|F1F2|2c，e為橢圓的離心率(2)如果PF1F2中F1PF2，則這個三角形的面積SPF1F2c|y0|b2tan .(3)橢圓的離心率e.2雙曲線焦點(diǎn)三角形的2個結(jié)論P(yáng)(x0，y0)為雙曲線1(a0，b0)上的點(diǎn)，PF1F2為焦點(diǎn)三角形(1)面積公式SPF1F2c|y0|r1r2sin (其中|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)(2)焦半徑若P在右支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a；若P在左支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a
40、.3拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)弦AB的4個結(jié)論(1)xAxB；(2)yAyBp2；(3)|AB|(是直線AB的傾斜角)；(4)|AB|xAxBp.4圓錐曲線的通徑(1)橢圓通徑長為；(2)雙曲線通徑長為；(3)拋物線通徑長為2p.5圓錐曲線中的最值(1)橢圓上兩點(diǎn)間的最大距離為2a(長軸長)(2)雙曲線上兩點(diǎn)間的最小距離為2a(實(shí)軸長)(3)橢圓焦半徑的取值范圍為ac，ac，ac與ac分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最小距離與最大距離(4)拋物線上的點(diǎn)中頂點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離最短(三) 易錯易混要明了1利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件如在雙曲線的定義中，有兩點(diǎn)
41、是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支針對練1ABC的頂點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_解析：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，過點(diǎn)P作AC，BC的垂線PD，PF，垂足分別為D，F(xiàn)，則|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，|CA|CB|AD|BF|6.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x3)答案：1(x3)2解決橢圓、雙曲線、拋物線問題時，要注意其焦點(diǎn)的位置針對練2若橢圓1的離
42、心率為，則k的值為_解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，a28k，b29，e2，解得k4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，a29，b28k，e2，解得k.答案：4或3直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零，判別式0的限制尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時，必須先有“判別式0”；在解決交點(diǎn)、弦長、中點(diǎn)、斜率、對稱或存在性問題時都應(yīng)在“0”下進(jìn)行 A組107提速練一、選擇題1(2018浙江高考)雙曲線y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(，0)，(，0)B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析：選B雙曲線方程為y21，a23，b21，且
43、雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，c2，即得該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，(2,0)2雙曲線C：1(a0，b0)的離心率e，則它的漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx解析：選A由雙曲線C：1(a0，b0)的離心率e，可得，1，可得，故雙曲線的漸近線方程為yx.3(2017全國卷)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：選A以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，由圓心到直線bxay2ab0的距離da，得a23b2，所以C的離心率e .4(2018溫州適應(yīng)性測試)已知雙曲線1(a0
44、，b0)的離心率e(1,2，則其經(jīng)過第一、三象限的漸近線的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)殡p曲線1(a0，b0)的離心率e(1,2，所以12，所以14，又c2a2b2，所以00，b0)經(jīng)過第一、三象限的漸近線的方程為yx，設(shè)其傾斜角為，則tan ，又，所以，故選C.5(2017全國卷)過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MNl，則M到直線NF的距離為()A. B2C2 D3解析：選C由題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x軸的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314.又NMF等于直線FM的傾斜角，即NMF60，因此MNF是邊長為4的等邊三角形，所以點(diǎn)M到直線NF的距離為42.6已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0
（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 解析幾何學(xué)案
