高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例》理

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1、A　[第27講　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例] (時間：35分鐘　分值：80分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[2013·大連模擬] 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，則·＝(　　) A．－ B．－ C. D. 2．[2013·大連模擬] 若向量a與b不共線，a·b≠0，且c＝a－b，則向量a與c的夾角為(　　) A．0 B. C. D. 3．[2013·錦州模擬] 已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，且|AB|＝，則·＝(　　) A. B．－ C. D．－ 4．

2、已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，則向量a，b的夾角為(　　) A. B. C. D. 5．[2013·鄭州檢測] 設(shè)A1，A2，A3，A4是平面上給定的4個不同點，則使＋＋＋＝0成立的點M的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 6．[2013·石家莊模擬] 若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為(　　) A.－1 B．1 C. D．2 7．已知兩個單位向量e1，e2的夾角為θ，則下列命題不正確的是(　　) A．e1在e2方向上的射影為cosθ B．e＝e C．(e

3、1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 8．[2013·大連模擬] 設(shè)向量a與b的夾角為θ，定義a與b的“向量積”：a×b是一個向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，則|a×b|＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知兩個單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________． 10．[2013·煙臺質(zhì)檢] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，i，j分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，則實數(shù)m＝________． 11．若

4、等邊三角形ABC的邊長為2，平面內(nèi)一點M滿足＝＋，則·＝________． 12．(13分)[2013·吉林模擬] 已知m，x∈R，向量a＝(x，－m)，b＝((m＋1)x，x)． (1)當(dāng)m>0時，若|a|<|b|，求x的取值范圍； (2)若a·b>1－m對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍． 13．(12分)已知向量a＝cos，sin，b＝cos，－sin，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|的值； (2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值． B　[

5、第27講　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例] (時間：35分鐘　分值：80分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[2013·遼寧卷] 已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b 2．對于向量a，b，c和實數(shù)λ，下列命題中為真命題的是(　　) A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0 B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，則b＝c 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4

6、，則·等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 4．[2013·沈陽模擬] 如圖K27－1，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，則·＝(　　) 圖K27－1 A．2 B. C. D. 5．[2013·鄭州模擬] 如圖K27－2，設(shè)E，F(xiàn)分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB＝3，AC＝6，則·＝(　　) 圖K27－2 A．8 B．10 C．11 D．12 6．已知點A，B，C在圓x2＋y2＝1上，滿足2＋＋＝0(其中O為坐標(biāo)原點)，又||＝||，則向量在向量方向上的投影為(　　) A．1 B．－1

7、 C. D．－ 7．[2013·吉林模擬] 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，設(shè)向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，則角A的大小為(　　) A. B. C. D. 8．設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標(biāo)是(　　) A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1，2) D．(2，2) 9．已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________． 10．[2013·鄭州檢測] 若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為

8、鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是________． 11．[2013·北京卷] 已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為________，·的最大值為________． 12．(13分)在?ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P. (1)若＝(3，5)，求點C的坐標(biāo)； (2)當(dāng)||＝||時，求點P的軌跡． 13．(12分)[2013·石家莊模擬] 已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx，2cosx)． (1)求證：向量a與

9、向量b不可能平行； (2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值． 課時作業(yè)(二十七)A 【基礎(chǔ)熱身】 1．D　[解析] ·＝||||cos∠BAC＝||||·＝. 2．D　[解析] ∵a·c＝a· ＝a·a－a·b＝a2－a2＝0， 又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故選D. 3．B　[解析] 設(shè)AB中點為P， ∵|AB|＝，∴|AP|＝. 又|OA|＝1，∴∠AOP＝， ∴∠AOB＝， ∴·＝||||cos＝－. 4．B　[解析] 由a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)， 得b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)

10、． 設(shè)向量a，b的夾角為θ， 則cosθ＝＝＝，∴θ＝. 【能力提升】 5．B　[解析] 設(shè)A1A2中點為P，A3A4中點為Q，則＋＝2，＋＝2， ∴2＋2＝0，即＝－，∴M為PQ中點， 所以有且只有一個點適合條件． 6．B　[解析] |a＋b－c|＝＝，由于a·b＝0，所以上式＝，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝≤1，故選B. 7．D　[解析] ∵|e1|＝1，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝θ， ∴e1在e2方向上的射影數(shù)量為|e1|cosθ＝cosθ， ∴A正確； 又e＝e＝1，∴B正確； ∵(e1＋e2)·(e1－

11、e2)＝e－e＝0， ∴(e1＋e2)⊥(e1－e2)，∴C正確； ∵e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝cosθ，∴D不成立． 8．B　[解析] ∵|a|＝|b|＝2，a·b＝－2， ∴cosθ＝＝－. 又θ∈[0，π]，∴sinθ＝.∴|a×b|＝2×2×＝2. 9．－6　[解析] ∵〈e1，e2〉＝，|e1|＝1，|e2|＝1， ∴b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2) ＝3|e1|2－2e1·e2－8|e1|2＝3－2cos－8＝－6. 10．0或－2　[解析] ∵△ABC為直角三角形， ∴當(dāng)A為直角時，·＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0?m＝－

12、2； 當(dāng)B為直角時，·＝·(－)＝(i＋j)·[i＋(m－1)j]＝1＋m－1＝0?m＝0； 當(dāng)C為直角時，·＝·(－)＝(2i＋mj)·[i＋(m－1)j]＝2＋m2－m＝0，此方程無解． ∴實數(shù)m＝0或－2. 11．－2　[解析] 以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A，B，C三點的坐標(biāo)分別為A(－，0)，B(，0)，C(0，3)．設(shè)M點的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y－3)，＝(，－3)，＝(－，－3)． 又＝＋，即(x，y－3)＝， 可得M，所以·＝－2. 12．解：(1)|a|2＝x2＋m2，|b|2＝(m＋1)2x2＋x

13、2， 因為|a|<|b|，所以|a|2<|b|2. 從而x2＋m2<(m＋1)2x2＋x2. 因為m>0，所以. (2)a·b＝(m＋1)x2－mx. 由題意，得(m＋1)x2－mx>1－m對任意的實數(shù)x恒成立， 即(m＋1)x2－mx＋m－1>0對任意的實數(shù)x恒成立． 當(dāng)m＋1＝0，即m＝－1時，顯然不成立， 從而 解得所以m>. 【難點突破】 13．解：(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x. |a＋b|＝ ＝＝2. ∵x∈，∴cosx≥0， ∴|a＋b|＝2cosx. (2)f(x)＝cos2x－4λcosx，

14、即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2. ∵x∈，∴0≤cosx≤1. ①當(dāng)λ<0時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx＝0時， f(x)取得最小值－1，這與已知矛盾； ②當(dāng)0≤λ≤1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx＝λ時， f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－， 解得λ＝； ③當(dāng)λ>1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx＝1時，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－， 解得λ＝，這與λ>1相矛盾． 綜上所述，λ＝即為所求． 課時作業(yè)(二十七)B 【基礎(chǔ)熱身】 1．B　[解析] 本小題主要考查向量的數(shù)量積以及性質(zhì)．解題的突破口為對于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方． 因為|

15、a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B. 2．B　[解析] a·b＝0?a⊥b，故A錯；a2＝b2?|a|＝|b|，得不出a＝±b，不要與實數(shù)x，y滿足|x|＝|y|?x＝±y混淆，故C錯；a·b＝a·c?a·(b－c)＝0，同A知D錯，故選B. 3．D　[解析] 因為∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝2＝16. 4．D　[解析] ∵＝＋＝＋ ， ∴·＝(＋ )·＝·＋ ·. 又∵AB⊥AD，∴·＝0， ∴·＝ ·＝||||cos∠ADB ＝||cos∠ADB＝||＝. 【能力提升】 5．B　[解析] ·＝(＋

16、)·(＋)＝＋·－ ＝·－||2＋·(－) ＝||2＝(62＋32)＝10. 6．C　[解析] 由2＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0得，＝－，即O，B，C三點共線． 又||＝||＝1，故向量在向量方向上的投影為||cos＝. 7．B　[解析] m·n＝b(b－c)＋c2－a2 ＝c2＋b2－a2－bc＝0， ∴cosA＝＝.∵0

17、由a＋b與ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0.若a·b＝－1，則a與b夾角180°，與a，b不共線矛盾，∴k－1＝0，∴k＝1. 10.　[解析] 平行四邊形面積S＝|α||β|sinθ＝， ∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ≥.又θ∈(0，π)，∴θ∈. 11．1　1　[解析] 本題考查平面向量的數(shù)量積，平面向量的投影等基礎(chǔ)知識． 方法一：投影法：設(shè)向量，的夾角為θ，則·＝·＝||·||cosθ，由圖可知，||cosθ＝||，所以原式等于||2＝1，要使·最大只要使向量在向量上的投影

18、達(dá)到最大即可，因為在向量上的投影達(dá)到最大為||＝1，所以(·)max＝||2＝1. 方法二：因為＝＋且⊥，所以·＝(＋)·＝||2＝1，·＝(＋)·＝·＝||||＝||，所以要使·最大，只要||最大即可，明顯隨著E點在AB邊上移動||max＝1，故(·)max＝1. 方法三：以D為坐標(biāo)原點，與所在直線分別為x，y軸， 建立平面直角坐標(biāo)系， 如圖所示，可知E(x，1)，0≤x≤1， 所以＝(x，1)，＝(0，1)，可得·＝x×0＋1×1＝1. 因為＝(1，0)，所以·＝x，因為1≥x≥0，所以(·)max＝1. 12．解：(1)設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0，y0)， 又＝＋＝(3

19、，5)＋(6，0)＝(9，5)， 即(x0－1，y0－1)＝(9，5)， ∴x0＝10，y0＝6，即點C(10，6)． (2)設(shè)P(x，y)， 則＝－＝(x－1，y－1)－(6，0) ＝(x－7，y－1)， ＝＋＝＋3 ＝＋3(－) ＝3－ ＝(3(x－1)，3(y－1))－(6，0) ＝(3x－9，3y－3)． ∵||＝||，∴平行四邊形ABCD為菱形， ∴⊥， ∴(x－7，y－1)·(3x－9，3y－3)＝0， 即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0. ∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)． 故點P的軌跡是以(5，1)為圓心，2為半徑

20、的圓且去掉與直線y＝1的兩個交點． 【難點突破】 13．解：(1)證明：假設(shè)a∥b， 則2cosx(cosx＋sinx)＝sinx(cosx－sinx)， 即2cos2x＋2sinxcosx＝sinxcosx－sin2x，1＋sinxcosx＋cos2x＝0， 1＋sin2x＋＝0，即sin＝－3?sin＝－. 而sin∈[－1，1]，－<－1，矛盾．故假設(shè)不成立，向量a與向量b不平行． (2)a·b＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＝cos2x－sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝sin， a·b＝1?sin＝. 又x∈[－π，0]?2x＋∈， ∴2x＋＝－或2x＋＝－或2x＋＝， ∴x＝－π，－或0.