四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第9課時(shí) 直線與拋物線的位置關(guān)系同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第9課時(shí) 直線與拋物線的位置關(guān)系同步測(cè)試 新人教A版選修1 -11.直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn),與拋物線交于A、B兩點(diǎn),O為原點(diǎn),則的值為().A.12B.20C.-12D.-20【解析】焦點(diǎn)為(2,0),設(shè)直線l方程為x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8my-16=0,y1y2=-16,x1x2=(y1y2)2=4,=x1x2+y1y2=-12.【答案】C2.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AKl,垂足為K,則AKF的面積是().A.2B.4C.4D.

2、8【解析】由拋物線的定義知AF=AK,又KAF=60,所以AFK是正三角形.聯(lián)立方程組消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.由題意得A(3,2),所以AKF的邊長(zhǎng)為4,面積為42=4.【答案】C3.已知AB是過(guò)拋物線2x2=y的焦點(diǎn)的弦,若|AB|=4,則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是().A.1B.2C.D.【解析】如圖所示,設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x0,y0),分別過(guò)A,P,B三點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為A,Q,B,由題意得|AA|+|BB|=|AB|=4,|PQ|=2,又|PQ|=y0+,y0+=2,y0=.【答案】D4.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公

3、共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是().A.B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】由題意知,拋物線準(zhǔn)線方程為x=-2,點(diǎn)Q(-2,0),設(shè)直線l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.當(dāng)k=0時(shí),x=0,即直線l與拋物線的交點(diǎn)為(0,0),當(dāng)k0時(shí),0,-1k0或00)的準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為B,若=,則p=.【解析】由題知準(zhǔn)線l為x=-(p0),過(guò)點(diǎn)M且斜率為的直線為y=(x-1),則點(diǎn)A,設(shè)B(x,y),由=可知M為AB的中點(diǎn),又M(1,0),所以即代入y2=2px,得p2+4p-12=0,即p=2或p=-6

4、(舍去).【答案】27.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點(diǎn).(1)求證:OAOB.(2)當(dāng)OAB的面積為時(shí),求k的值.【解析】(1)如圖所示,由消去x得ky2+y-k=0.設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=-1,y1+y2=-.A,B兩點(diǎn)均在拋物線y2=-x上,=-x1,=-x2,=x1x2.又kOAkOB=-1,OAOB.(2)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N,顯然k0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).SOAB=SOAN+SOBN=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON|y1-y2|=1=.=,=,解得k=.拓展提升(水平二)8.已知F為

5、拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則ABO與AFO面積之和的最小值是().A.2B.3C.D.【解析】設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).又點(diǎn)F,直線AB與x軸的交點(diǎn)M(m,0),不妨設(shè)y10,由y2-ty-m=0,所以y1y2=-m,又=2,所以x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0,因?yàn)辄c(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),所以y1y2=-2,故m=2,所以SABO+SAFO=2(y1-y2)+y1=y1+2=3,當(dāng)且僅當(dāng)y1=y1=時(shí)取“=”.所以ABO與AFO面積之和的最小值是3.【答

6、案】B9.已知拋物線y2=8x,點(diǎn)Q是圓C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一點(diǎn),記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線x=-2的距離為d,則|PQ|+d的最小值為().A.5B.4C.3D.2【解析】由題意知,拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),連接PF(如圖),則d=|PF|.將圓C化為(x+1)2+(y-4)2=4,圓心為C(-1,4),半徑為r=2,則|PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有|PQ|+|PF|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)).而|FQ|為圓C上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離,顯然當(dāng)F,Q,C三點(diǎn)共線時(shí),|FQ|取得最小值,且為|CF|-r=-2=3,故選C.【答案】C

7、10.已知拋物線y2=4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則|AB|的最大值為.【解析】當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),|AB|=4;當(dāng)直線AB的斜率k存在時(shí),設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,t),則k=,直線AB的方程為y-t=(x-2),將y-t=(x-2)與y2=4x聯(lián)立,得y2-2ty+2t2-8=0,y1+y2=2t,y1y2=2t2-8,|AB|2=(y1-y2)2=-(t2-2)2+3636,|AB|6,當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí),等號(hào)成立.綜上所述,|AB|max=6.【答案】611.設(shè)拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn).(1)若p

8、=2,求線段AF的中點(diǎn)N的軌跡方程;(2)若直線AB的斜率為2,當(dāng)焦點(diǎn)為F時(shí),求OAB的面積;(3)若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn),求證:直線MA,MF,MB的斜率成等差數(shù)列.【解析】(1)焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),N(x,y),則由題意即故所求的軌跡方程為4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.(2) y2=2x,F,直線AB:y=2=2x-1,由得y2-y-1=0,|AB|=|y1-y2|=,設(shè)d為原點(diǎn)O到直線AB的距離,d=,SOAB=d|AB|=.(3)顯然直線MA,MB,MF的斜率都存在,分別設(shè)為k1,k2,k3.點(diǎn)A,B,M的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),M.設(shè)直線AB:y=k,代入拋物線方程,得y2-y-p2=0,所以y1y2=-p2.又=2px1,=2px2,所以x1+=+=(+p2),x2+=+=+=(+p2),所以k1+k2=+=+=-.而2k3=2=-,故k1+k2=2k3,所以直線MA,MF,MB的斜率成等差數(shù)列.