四川省成都市高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線及方程 第9課時 直線與拋物線的位置關系同步測試 新人教A版選修1 -1

四川省成都市高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線及方程 第9課時 直線與拋物線的位置關系同步測試 新人教A版選修1 -11.直線l經過拋物線y2=8x的焦點,與拋物線交于A、B兩點,O為原點,則·的值為().A.12B.20C.-12D.-20【解析】焦點為(2,0),設直線l方程為x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8my-16=0,y1y2=-16,x1x2=·=(y1y2)2=4,·=x1x2+y1y2=-12.【答案】C2.拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,經過點F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AKl,垂足為K,則AKF的面積是().A.2B.4C.4D.8【解析】由拋物線的定義知AF=AK,又KAF=60°,所以AFK是正三角形.聯(lián)立方程組消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.由題意得A(3,2),所以AKF的邊長為4,面積為×4×2=4.【答案】C3.已知AB是過拋物線2x2=y的焦點的弦,若|AB|=4,則AB的中點的縱坐標是().A.1B.2C.D.【解析】如圖所示,設AB的中點為P(x0,y0),分別過A,P,B三點作準線l的垂線,垂足分別為A',Q,B',由題意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4,|PQ|=2,又|PQ|=y0+,y0+=2,y0=.【答案】D4.設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是().A.B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】由題意知,拋物線準線方程為x=-2,點Q(-2,0),設直線l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.當k=0時,x=0,即直線l與拋物線的交點為(0,0),當k0時,0,-1k<0或0<k1.綜上,k的取值范圍是-1,1.【答案】C5.線段AB是拋物線y2=x的一條焦點弦,且|AB|=4,則線段AB的中點C到直線x+=0的距離為. 【解析】設點A(x1,y1),B(x2,y2),因為|AB|=x1+x2+p=4,所以x1+x2=4-=,所以中點C(x0,y0)到直線x+=0的距離為x0+=+=+=.【答案】6.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線為l,過點M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A,與拋物線的一個交點為B,若=,則p=. 【解析】由題知準線l為x=-(p>0),過點M且斜率為的直線為y=(x-1),則點A,設B(x,y),由=可知M為AB的中點,又M(1,0),所以即代入y2=2px,得p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).【答案】27.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點.(1)求證:OAOB.(2)當OAB的面積為時,求k的值.【解析】(1)如圖所示,由消去x得ky2+y-k=0.設點A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關系得y1·y2=-1,y1+y2=-.A,B兩點均在拋物線y2=-x上,=-x1,=-x2,·=x1x2.又kOA·kOB=·=-1,OAOB.(2)設直線與x軸交于點N,顯然k0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).SOAB=SOAN+SOBN=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON|·|y1-y2|=·1·=.=,=,解得k=±.拓展提升(水平二)8.已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,·=2(其中O為坐標原點),則ABO與AFO面積之和的最小值是().A.2B.3C.D.【解析】設直線AB的方程為x=ty+m,點A(x1,y1),B(x2,y2).又點F,直線AB與x軸的交點M(m,0),不妨設y1>0,由y2-ty-m=0,所以y1y2=-m,又·=2,所以x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0,因為點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,所以y1y2=-2,故m=2,所以SABO+SAFO=×2×(y1-y2)+××y1=y1+2=3,當且僅當y1=y1=時取“=”.所以ABO與AFO面積之和的最小值是3.【答案】B9.已知拋物線y2=8x,點Q是圓C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一點,記拋物線上任意一點P到直線x=-2的距離為d,則|PQ|+d的最小值為().A.5B.4C.3D.2【解析】由題意知,拋物線y2=8x的焦點為F(2,0),連接PF(如圖),則d=|PF|.將圓C化為(x+1)2+(y-4)2=4,圓心為C(-1,4),半徑為r=2,則|PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有|PQ|+|PF|FQ|(當且僅當F,P,Q三點共線時取得等號).而|FQ|為圓C上的動點Q到定點F的距離,顯然當F,Q,C三點共線時,|FQ|取得最小值,且為|CF|-r=-2=3,故選C.【答案】C10.已知拋物線y2=4x的弦AB的中點的橫坐標為2,則|AB|的最大值為. 【解析】當直線AB的斜率不存在時,|AB|=4;當直線AB的斜率k存在時,設點A(x1,y1),B(x2,y2),中點坐標為(2,t),則k=,直線AB的方程為y-t=(x-2),將y-t=(x-2)與y2=4x聯(lián)立,得y2-2ty+2t2-8=0,y1+y2=2t,y1y2=2t2-8,|AB|2=(y1-y2)2=-(t2-2)2+3636,|AB|6,當且僅當t=±時,等號成立.綜上所述,|AB|max=6.【答案】611.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經過點F的直線與拋物線交于A,B兩點.(1)若p=2,求線段AF的中點N的軌跡方程;(2)若直線AB的斜率為2,當焦點為F時,求OAB的面積;(3)若M是拋物線C準線上的點,求證:直線MA,MF,MB的斜率成等差數(shù)列.【解析】(1)焦點F(1,0),設點A(x0,y0),N(x,y),則由題意即故所求的軌跡方程為4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.(2) y2=2x,F,直線AB:y=2=2x-1,由得y2-y-1=0,|AB|=|y1-y2|=,設d為原點O到直線AB的距離,d=,SOAB=d|AB|=.(3)顯然直線MA,MB,MF的斜率都存在,分別設為k1,k2,k3.點A,B,M的坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),M.設直線AB:y=k,代入拋物線方程,得y2-y-p2=0,所以y1y2=-p2.又=2px1,=2px2,所以x1+=+=(+p2),x2+=+=+=(+p2),所以k1+k2=+=+=-.而2k3=2×=-,故k1+k2=2k3,所以直線MA,MF,MB的斜率成等差數(shù)列.