2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破一 離心率的求法學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1

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1、專題突破一　離心率的求法 一、以漸近線為指向求離心率 例1　(1)已知雙曲線兩漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為________． 答案　2或 解析　方法一　由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況． 當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時， 若其中一條漸近線的傾斜角為60°，如圖1所示； 若其中一條漸近線的傾斜角為30°，如圖2所示， 所以雙曲線的一條漸近線的斜率k＝或k＝， 即＝或. 又b2＝c2－a2，所以＝3或， 所以e2＝4或，所以e＝2或. 同理，當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，則有＝或， 所以＝或，亦可得到e＝或2. 綜上可得，雙曲線的離心率為2或. 方法二　根據(jù)

2、方法一得到：當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，漸近線的傾斜角θ為30°或60°， 則離心率e＝＝或2； 當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，漸近線的傾斜角θ為30°或60°， 則離心率e＝＝2或. 綜上可得，雙曲線的離心率為2或. (2)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是________． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　[2，＋∞) 解析　由題意知≥，即2≥3， ∴e＝≥2， 故離心率e的取值范圍是[2，＋∞)． 點評　(1)雙曲線的離心率與漸近線方程之

3、間有著密切的聯(lián)系，可以借助＝進(jìn)行互求．一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會有兩解(焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論． (2)當(dāng)直線與雙曲線有一個公共點時，利用數(shù)形結(jié)合思想得到已知直線與漸近線斜率的關(guān)系，得到的范圍，再利用e＝得到離心率的取值范圍． 跟蹤訓(xùn)練1　中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，－2)，則它的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　D 解析　由題意知，過點(4，－2)的漸近線的方程為 y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b

4、. 方法一　設(shè)b＝k(k>0)，則a＝2k，c＝k， ∴e＝＝＝. 方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝. 二、以焦點三角形為指向求離心率 例2　如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________． 思維切入　連接AF1，在△F1AF2中利用雙曲線的定義可求解． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案?。? 解析　方法一　如圖，連接AF1，由△F2AB是等邊三角形，知∠AF2F1＝30°. 易知△AF1F2為直

5、角三角形， 則|AF1|＝|F1F2|＝c， |AF2|＝c，∴2a＝(－1)c， 從而雙曲線的離心率e＝＝1＋. 方法二　如圖，連接AF1，易得∠F1AF2＝90°， β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°， 于是離心率 e＝＝＝ ＝＝＋1. 點評　涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的值． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF1的中點在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c得離心率 答案　A 解析　

6、如圖，設(shè)PF1的中點為M，連接PF2. 因為O為F1F2的中點， 所以O(shè)M為△PF1F2的中位線． 所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因為∠PF1F2＝30°， 所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|. 由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|， 即a＝， 2c＝|F1F2|＝|PF2|，即c＝， 則e＝＝·＝. 三、尋求齊次方程求離心率 例3　已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________． 思維切

7、入　通過2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的關(guān)系式， 再由b2＝c2－a2，得到a和c的關(guān)系式，同時除以a2，即可得到關(guān)于e的一元二次方程，求得e. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　2 解析　如圖，由題意知|AB|＝， |BC|＝2c. 又2|AB|＝3|BC|， ∴2×＝3×2c， 即2b2＝3ac， ∴2(c2－a2)＝3ac， 兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0， 解得e＝2(負(fù)值舍去)． 點評　求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得．但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難

8、或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解． 跟蹤訓(xùn)練3　已知橢圓＋＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)為右焦點，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為________． 考點　橢圓的離心率問題 題點　求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率 答案　 解析　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c. 由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2， 將b2＝a2－c2代入，得a2

9、－ac－c2＝0， 即e2＋e－1＝0，解得e＝. 因為0b>0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且·＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________． 思維切入　設(shè)P點坐標(biāo)，通過·＝c2及橢圓方程得到x2的值，由x2∈[0，a2]，求得a2的范圍進(jìn)而求得e的取值范圍． 考點　橢圓的離心率問題 題點　由a與c的關(guān)系式得離心率 答案　 解析　設(shè)P(x，y)，則·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2， 將y2＝b2－x2代入上式，

10、 解得x2＝＝. 又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2， ∴e＝∈. 點評　一是通過設(shè)點的坐標(biāo)，利用圓錐曲線上點的坐標(biāo)的范圍，轉(zhuǎn)化為離心率的取值范圍． 二是利用焦半徑的范圍得到a與c的不等式從而求得離心率的范圍． (1)橢圓焦半徑的取值范圍為[a－c，a＋c]． (2)雙曲線的焦半徑 ①點P與焦點F同側(cè)時，其取值范圍為[c－a，＋∞)； ②點P與焦點F異側(cè)時，其取值范圍為[c＋a，＋∞)． 跟蹤訓(xùn)練4　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為(　　) A.B.C．

11、2D. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　B 解析　∵P在雙曲線的右支上， ∴由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a， ∵|PF1|＝4|PF2|， ∴4|PF2|－|PF2|＝2a， 即|PF2|＝a， 根據(jù)點P在雙曲線的右支上， 可得|PF2|＝a≥c－a， ∴a≥c，又∵e>1，∴10，b>0)的離心率為，那么雙曲線－＝1的離心率為(　　) A.B.C.D．2 考點　 題點　 答案　A 解析　由已知橢圓的離心率為，得＝， ∴a2＝4b2. ∴e2

12、＝＝＝，∴雙曲線的離心率e＝. 2．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右頂點到其漸近線的距離不大于a，其離心率e的取值范圍為(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] 考點　 題點　 答案　D 解析　依題意，點(a,0)到漸近線bx＋ay＝0的距離不大于a， ∴≤a，解得e≤. 又∵e>1，∴1

13、>b>0)與曲線x2＋y2＝a2－b2無公共點，則橢圓的離心率e的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 考點　 題點　 答案　D 解析　由題意知圓的半徑是橢圓的焦距， ∴由圓在橢圓內(nèi)部，得b>c，即b2>c2， ∴a2>2c2，故00，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________． 考點　 題點　 答案　 解析　根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點P在第一象限， 則解得 又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最?。? 在△PF1F2

14、中，由余弦定理， 得＝cos30°， ∴2ac＝3a2＋c2. 等式兩邊同除以a2，得e2－2e＋3＝0，解得e＝. 一、選擇題 1．已知點(2,3)在雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為(　　) A．2B.C．3D．4 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　A 解析　根據(jù)點(2,3)在雙曲線上，得 －＝1，① 考慮到焦距為4，則2c＝4，即c＝2.② 聯(lián)立①②及a2＋b2＝c2， 解得a＝1，b＝，所以離心率e＝2. 2．(2018·江西贛州高二檢測)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，

15、則該雙曲線的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點　 題點　 答案　B 解析　雙曲線－＝1的一條漸近線為y＝x， 由題意知＝， ∴e＝＝＝. 3．若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2) 考點　 題點　 答案　C 解析　e＝，∵a>1，∴e∈(1，)． 4．橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過F2作傾斜角為120°的直線與橢圓的一個交點為M，若MF1⊥MF2，則橢圓的離心率為(　　) A.B.－1C．2－3D．2－ 考點　 題點　 答案　B 解析　由

16、題意知，在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝2c，∠F1F2M＝60°， ∴|MF2|＝c，|MF1|＝2c×＝c，|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1. 5．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F引它的一條漸近線的垂線FM，垂足為M，并且交y軸于點E，若M為EF的中點，則該雙曲線的離心率為(　　) A．2B.C．3D. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　D 解析　取右焦點F(c,0)，漸近線方程為y＝x， ∵FM⊥OM，∴可得直線FM的方程為y＝－(x－c)， 令x＝0，解得y＝， ∴E， ∴線段FE的中點M， 又中點M在

17、漸近線y＝x上， ∴＝×， 解得a＝b， ∴雙曲線的離心率e＝＝＝. 6．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點P在雙曲線上，則雙曲線的離心率是(　　) A．4＋2 B．2－1 C. D.＋1 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　D 解析　因為MF1的中點P在雙曲線上， 所以|PF2|－|PF1|＝2a， 因為△MF1F2為正三角形，邊長都是2c， 所以c－c＝2a， 所以e＝＝＝＋1. 7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，滿足·＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取

18、值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. 考點　橢圓的離心率問題 題點　由a與c的關(guān)系式得離心率 答案　C 解析　∵·＝0，∴⊥， ∴點M在以F1F2為直徑的圓上， 又點M總在橢圓的內(nèi)部， ∴c

19、到直線m：y＝kx＋1的距離為d＝， ∵直線m：y＝kx＋1被圓x2＋y2＝1截得的弦長l≥， ∴2≥，即2≥， 解得d2≤，∴≤. ∴b＝1且c＝＝，即a2＝1＋， 則e2＝＝＝≤， 得e∈. 二、填空題 9．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點且與x軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點，若△OAB的面積為，則雙曲線的離心率為________． 考點　 題點　 答案　 解析　設(shè)F為右焦點，其坐標(biāo)為(c,0)，令x＝c， 代入y＝±x，可得y＝±， ∵S△OAB＝bc， ∴××c＝， ∴＝，則e＝. 10．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左

20、、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為________． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　 解析　不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點， |PF1|＝r1，|PF2|＝r2. 根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a， 又r1＋r2＝3b， 故r1＝，r2＝. 又r1·r2＝ab， 所以·＝ab， 解得＝(負(fù)值舍去)， 故e＝＝＝ ＝＝. 11．過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________．

21、考點　 題點　 答案　 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，① ＋＝1，② ∵M(jìn)是AB中點，∴＝1，＝1， ∵直線AB的方程是y＝－(x－1)＋1， ∴y1－y2＝－(x1－x2)， ①－②可得＋＝0， 即＋＝0， ∴a＝b，則c＝a，∴e＝＝. 12．(2018·廣東深圳高二期中)橢圓M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上任意一點，且·的最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中c＝，則橢圓M的離心率e的取值范圍是________． 考點　 題點　 答案　 解析　由題意可知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 設(shè)P(

22、x，y)． 由＋＝1，得x2＝， ∵＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)， ∴·＝x2－c2＋y2＝－c2＋y2＝a2－c2－， 當(dāng)y＝0時，·取得最大值a2－c2， 即c2≤a2－c2≤3c2，∴c≤a≤2c， 則≤e≤. 三、解答題 13．雙曲線－＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍． 考點　 題點　 解　由題意，知直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 因為點(1,0)到直線l的距離d1＝， 點(－1,0)到直線l的距離

23、d2＝， 所以s＝d1＋d2＝＝. 由s≥c，得≥c，即5a≥2c2. 于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0， 解得≤e2≤5. 因為e>1，所以e的取值范圍是. 14．我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知F1，F(xiàn)2是一對相關(guān)曲線的焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當(dāng)∠F1PF2＝60°時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點　 題點　 答案　A 解析　設(shè)|F1F2|＝2c，|PF1|＋|PF2|＝2a1， ||PF1|－|PF2||＝2a2，e1＝，e2＝＝. 在△PF1F2中，由余弦

24、定理， 得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60° ＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|， 所以16c2＝(|PF1|＋|PF2|)2＋3(|PF1|－|PF2|)2 ＝4a＋12a， 即4＝＋3e?e＝或e＝1(舍去)?e1＝. 15．已知直線y＝－x＋1與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點． (1)若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長； (2)若向量與向量互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點)，當(dāng)橢圓的離心率e∈時，求橢圓長軸長的最大值． 考點　 題點　 解　(1

25、)∵e＝＝，2c＝2，∴a＝， 則b＝＝， ∴橢圓的方程為＋＝1. 將y＝－x＋1代入橢圓的方程，消去y得5x2－6x－3＝0，其中Δ>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝，x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝×＝. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵⊥，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0. 由消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0. 由Δ＝(－2a2)2－4a2(a2＋b2)(1－b2)>0，整理得a2＋b2>1. 又x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1y2＝(－x1＋1)(－x2＋1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1. 由x1x2＋y1y2＝0，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0. ∴－＋1＝0， 整理得a2＋b2－2a2b2＝0. ∵b2＝a2－c2＝a2－a2e2，代入上式得2a2＝1＋， ∴a2＝. ∵≤e≤，∴≤e2≤，∴≤1－e2≤， ∴≤≤2，∴≤1＋≤3， ∴≤a2≤，符合條件a2＋b2>1， 由此得≤a≤，∴≤2a≤. 故橢圓長軸長的最大值為. 18