（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 第3講 空間角學(xué)案

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1、（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 第3講 空間角學(xué)案考情考向分析以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點，熱點為異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角的求解，向量法作為傳統(tǒng)幾何法的補(bǔ)充，為考生答題提供新的工具熱點一異面直線所成的角(1)幾何法：按定義作出異面直線所成的角(即找平行線)，解三角形(2)向量法：設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)設(shè)l，m的夾角為，則cos .例1(1)(2018全國)在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解

2、析方法一如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B，由長方體性質(zhì)可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角連接DB，由題意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故選C.方法二如圖，以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由題意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，1101()22，|2，

3、|，cos，.故選C.(2)(2018浙江省杭州二中月考)已知異面直線a，b所成的角為50，過空間一定點P最多可作n條直線與直線a，b均成角，則下列判斷不正確的是()A當(dāng)65時，n3 B當(dāng)n1時，只能為25C當(dāng)30時，n2 D當(dāng)75時，n4答案B解析將空間直線平移，異面直線的夾角不變，則可將異面直線a，b平移到同一平面內(nèi)，使得點P為平移后的直線a，b的交點，則當(dāng)025時，n0；當(dāng)25時，n1，此時該直線為直線a，b所成銳角的角平分線所在的直線；當(dāng)2565時，n2，此時這兩條直線在平面內(nèi)的投影為直線a，b所成銳角的角平分線所在的直線；當(dāng)65時，n3，此時其中兩條直線在平面內(nèi)的投影為直線a，b所成

4、銳角的角平分線所在的直線，另一條直線為直線a，b所成鈍角的角平分線所在的直線；當(dāng)65 B D|，所以cos ，故選A.熱點二直線與平面所成的角(1)幾何法：按定義作出直線與平面所成的角(即找到斜線在平面內(nèi)的投影)，解三角形(2)向量法：設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面的法向量為(a2，b2，c2)，設(shè)直線l與平面的夾角為，則sin |cosa，|.例2(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)在如圖所示的幾何體中，平面DAE平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，四邊形DCFE為菱形已知ABCD，ABC60，CDAB1.(1)線段AC上是否存在一點N，使得AE平面FDN？證明你的結(jié)論；(

5、2)若線段FC在平面ABCD上的投影長度為，求直線AC與平面ADF所成角的正弦值解(1)在線段AC上存在點N，使得AE平面FDN，且N是AC的中點如圖，取AC的中點N，連接NF，DN，連接EC交DF于點O，連接ON.四邊形CDEF為菱形，O為EC的中點在ACE中，由中位線定理可得ONAE.ON平面FDN，AE平面FDN，AE平面FDN，在線段AC上存在點N，使得AE平面FDN，且N是AC的中點(2)方法一DECF，DE在平面ABCD上的投影長度為，過點E作EOAD于點O，平面DAE平面ABCD，且平面DAE平面ABCDAD，EO平面DAE，EO平面ABCD，則OD，在等腰梯形ABCD中，由已知

6、易得ADBC1，點O為線段AD的中點設(shè)點C到平面FDA的距離為h，VCFDAVFADC，hSFDAEOSADC，易知SADC，EO，取AB的中點M，連接CM，取CM的中點P，連接AP，DP，F(xiàn)P，OP.O，P分別為AD，MC的中點，AMDCEF，且AMDCEF，OPEF且OPEF，四邊形OPFE為平行四邊形，OEFP，OEFP，F(xiàn)P平面ABCD.易求得AP，DPFP，AF，DF，DF2AD2AF2，ADF為直角三角形，SFDA.h.設(shè)直線AC與平面FDA所成的角為，在ADC中，易得AC，則sin .方法二DECF，DE在平面ABCD上的投影長度為，過點E作EOAD于點O，平面DAE平面ABCD

7、，且平面DAE平面ABCDAD，EO平面DAE.EO平面ABCD，則OD，在等腰梯形ABCD中，由已知易得ADBC1.點O為線段AD的中點以O(shè)為原點，OE所在直線為z軸，過O且平行于DC的直線為y軸，過O且垂直于yOz平面的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得x軸在平面ABCD內(nèi)可得A，C，D，E，(0,1,0).設(shè)平面ADF的法向量為n(x，y，z)，則得令x1，得平面ADF的一個法向量為n(1，2)若直線AC與平面ADF所成的角為，則sin |cosn，|.思維升華(1)運用幾何法求直線與平面所成的角一般是按找證求的步驟進(jìn)行(2)直線和平面所成角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦

8、值的絕對值，注意所求角和兩向量夾角間的關(guān)系跟蹤演練2(2018杭州質(zhì)檢)如圖，在等腰三角形ABC中，ABAC，A120，M為線段BC的中點，D為線段BC上一點，且BDBA，沿直線AD將ADC翻折至ADC，使ACBD.(1)證明：平面AMC平面ABD；(2)求直線CD與平面ABD所成的角的正弦值(1)證明因為ABC為等腰三角形，M為BC的中點，所以AMBD，又因為ACBD，AMACA，AM，AC平面AMC，所以BD平面AMC，因為BD平面ABD，所以平面AMC平面ABD.(2)解在平面ACM中，過C作CFAM交直線AM于點F，連接FD.由(1)知，平面AMC平面ABD，又平面AMC平面ABDAM

9、，CF平面AMC，所以CF平面ABD.所以CDF為直線CD與平面ABD所成的角設(shè)AM1，則ABACAC2，BC2，MD2，DCDC22，AD.在RtCMD中，MC2DC2MD2(22)2(2)294.設(shè)AFx，在RtCFA和RtCFM中，AC2AF2MC2MF2，即4x294(x1)2，解得x22，即AF22.所以CF2.故直線CD與平面ABD所成的角的正弦值等于.熱點三二面角二面角有兩種求法：幾何法：利用定義作出二面角的平面角，然后計算向量法：利用兩平面的法向量設(shè)平面，的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)，設(shè)二面角a的平面角為(0)，則|cos |cos，v|.例3如圖

10、，在矩形ABCD中，AB2，AD4，點E在線段AD上且AE3，現(xiàn)分別沿BE，CE所在的直線將ABE，DCE翻折，使得點D落在線段AE上，則此時二面角DECB的余弦值為()A. B. C. D.答案D解析如圖1所示，連接BD，設(shè)其與CE的交點為H，由題意易知BDCE.翻折后如圖2所示，連接BD， 圖1圖2則在圖2中，BHD即為二面角DECB的平面角，易求得BD2，DH，BH，所以cosDHB，故選D.思維升華(1)構(gòu)造二面角的平面角的方法(幾何法)：根據(jù)定義；利用二面角的棱的垂面；利用兩同底等腰三角形底邊上的兩條中線等(2)向量法：根據(jù)兩平面的法向量跟蹤演練3(2018紹興質(zhì)檢)已知四面體SAB

11、C中，二面角BSAC，ASBC，ASCB的平面角的大小分別為，則()A.B.2C3D23答案C解析設(shè)三棱錐的頂點S距離底面ABC無窮遠(yuǎn)，則三棱錐SABC近似為以ABC為底面的三棱柱，此時二面角的平面角，等于三角形ABC的三個內(nèi)角；若頂點S與底面ABC的距離趨向于0，則三棱錐SABC近似壓縮為四頂點共面，則當(dāng)S為ABC內(nèi)一點時，二面角的平面角，的大小都為，因此(，3)，故選C.真題體驗1(2017全國)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成30角；當(dāng)直線AB與a成6

12、0角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最大值為60.其中正確的是_(填寫所有正確結(jié)論的編號)答案解析依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長為1.由題意知，點B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓設(shè)直線a的方向向量為a(0,1,0)，直線b的方向向量為b(1,0,0)，以O(shè)x軸為始邊沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為，則B(cos ，sin ，0)，(cos ，sin ，1)，|.設(shè)直線AB與a所成的角為，則cos |sin |，4590，正確，錯誤；設(shè)直線AB與b所成的角為，則cos |cos |.當(dāng)直線AB與a的夾

13、角為60，即60時，|sin |cos cos 60，|cos |，cos |cos |.4590，60，即直線AB與b的夾角為60.正確，錯誤2(2017浙江改編)如圖，已知正四面體DABC(所有棱長均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點，APPB，2，分別記二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為，則，的大小關(guān)系為_答案解析如圖，作出點D在底面ABC上的射影O，過點O分別作PR，PQ，QR的垂線OE，OF，OG，連接DE，DF，DG，則DEO，DFO，DGO.由圖可知，它們的對邊都是DO，只需比較EO，F(xiàn)O，GO的大小即可如圖，在AB邊上取點P，使AP2PB，連接OQ

14、，OR，則O為QRP的中心設(shè)點O到QRP三邊的距離為a，則OGa，OFOQsinOQFORsinORPa，OFOGOE，2，綜上所述，12，又由最小角定理得32，故選D.3如圖，正四棱錐PABCD.記異面直線PA與CD所成的角為，直線PA與平面ABCD所成的角為，二面角PBCA的平面角為，則()A BC DPAO.又OEBC，POBC，OE與PO相交于點O，BC平面POE，PEBC，因此PEO為二面角PBCA的平面角OEtanPAO，PEOPAO.又PABPBE，cosPBE，cosPEO，OEBE，PEPB，cosPBEPEO，又PBEPAB，故選C.4已知四邊形ABCD，ABBDDA2，B

15、CCD，現(xiàn)將ABD沿BD折起，使二面角ABDC的大小在內(nèi)，則直線AB與CD所成角的余弦值的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析設(shè)BD的中點為E，連接AE，CE，因為ABBDDA2，BCCD，所以AE，CE1，且AEBD，CEBD，則AEC為二面角ABDC的平面角，在平面ABD內(nèi)，過點A作AFBD，使AFBD，構(gòu)造平行四邊形ABDF，連接FD，CF，則CDF或其補(bǔ)角即為異面直線AB與CD的夾角，則在AEC中，由余弦定理得AC2AE2CE22AECEcosAEC42cosAEC，又因為AEC，所以AC242cosAEC1,7因為AEBD，CEBD，且AECEE，AE，CE平面AEC，所以B

16、D平面AEC，則BDAC，所以AFAC，則在RtCAF中，CF2AC2AF25,11，則在CDF中，由余弦定理易得直線AB與CD的夾角的余弦值為|cosCDF|，故選A.5長方體的對角線與過同一個頂點的三個表面所成的角分別為，則cos2cos2cos2_.答案2解析設(shè)長方形的長、寬、高分別為a，b，c，則對角線長d，所以cos2cos2cos22222.6.如圖所示，在正方體AC1中， AB2, A1C1B1D1E，直線AC與直線DE所成的角為，直線DE與平面BCC1B1所成的角為，則cos_.答案解析由題意可知，則cossin ，以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1方向為x，y，z軸正方向建

17、立空間直角坐標(biāo)系，則D，E，平面BCC1B1的法向量，由此可得cossin .7.(2018浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，平行四邊形PDCE垂直于梯形ABCD所在的平面，ADCBAD90，PDC120，F(xiàn)為PA的中點，PD1，ABADCD1.(1)求證：AC平面DEF；(2)求直線BC與平面PAD所成角的余弦值(1)證明連接PC.設(shè)PC與DE的交點為M，連接FM，因為F，M分別為PA，PC的中點，則FMAC.因為FM平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF.(2)解方法一(幾何法)取CD的中點G，連接AG，則AGBC，所以直線AG與平面PAD所成的角即為直線BC與平面PAD所成的角

18、過點G作GHPD，交PD于點H，又平面PDCE平面ABCD，平面PDCE平面ABCDCD，ADCD，AD平面ABCD，所以AD平面PDCE，又GH平面PDCE，所以ADGH，因為PDADD，PD，AD平面PAD，所以GH平面PAD，則GAH即為所求的線面角，易得GH，AGBC，則sinGAH，所以直線BC與平面PAD所成角的余弦值為.方法二(向量法)過點D在平面PDCE中作DQPE，交PE于點Q，由已知可得PQ，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DQ所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由題意可得D(0,0,0)，P，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，則(

19、1,0,0)，設(shè)平面PAD的法向量n(x，y，z)，則即令y，得平面PAD一個法向量n(0，1)，(1,1,0)設(shè)直線BC與平面PAD所成的角為，則sin |cosn，|，所以直線BC與平面PAD所成角的余弦值為.8(2018浙江省杭州二中月考)如圖，等腰梯形ABCD中，ABCDBC2，AD5，M，N是AD上的點，且AMDN2，現(xiàn)將ABM，CDN分別沿BM，CN折起，使得A，D重合記作S.(1)求證：BC平面SMN；(2)求直線SN與底面BCNM所成角的余弦值(1)證明BCMN，且MN平面SMN，BC平面SMN，BC平面SMN.(2)解過S向底面作垂線，垂足為O，連接BC的中點Q與MN的中點P

20、，根據(jù)對稱性可知O在PQ上，分別連接SQ，SP，ON，則SNO是所求的線面角在SPQ中，SP，SQ，PQ，則SO，則sinSNO，cosSNO.9(2018湖州、衢州、麗水質(zhì)檢)已知矩形ABCD滿足AB2，BC，PAB是正三角形，平面PAB平面ABCD.(1)求證：PCBD；(2)設(shè)直線l過點C且l平面ABCD，點F是直線l上的一個動點，且與點P位于平面ABCD的同側(cè)記直線PF與平面PAB所成的角為，若0CF1，求tan 的取值范圍(1)證明取AB的中點E，連接PE，EC.因為點E是正三角形PAB的邊AB的中點，所以PEAB.又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PE平面PAB

21、，所以PE平面ABCD，因為BD平面ABCD，則PEBD.因為，EBCBCD90，所以EBCBCD.故ECBBDC，所以ECBDBCBDCDBC90，所以CEBD，又CEPEE，CE，PE平面PEC，故BD平面PEC，又PC平面PEC，因此PCBD.(2)解方法一在平面PAB內(nèi)過點B作直線mFC，過F作FGm，交m于點G，連接PG，則四邊形BGFC為矩形，BCFG，BCFG.又由(1)及題意得，BC平面PAB，所以FG平面PAB，所以GPF是直線PF與平面PAB所成的角，所以點F到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離，即為BC，因為0CF1，所以1GP2，故tan .方法二如圖，以E為坐標(biāo)原點，EB，EP所在直線為x軸，z軸，過點E平行于BC的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)CFa(0a1)，則P(0,0，)，F(xiàn)(1，a)，所以(1，a)，取平面PAB的一個法向量為n(0,1,0)，則sin ，由00，得0x，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；令f(x)0，得x1，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf，所以sin 的最大值為.