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1、第一節(jié) 復(fù)數(shù)的基本概念
一、知識(shí)歸納
1、知識(shí)精講：
1）復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a、b∈R）的數(shù)。a、b分別叫做它的實(shí)部與虛部。
2）復(fù)數(shù)的分類(lèi)：復(fù)數(shù)a+bi（a、b∈R），當(dāng)b=0時(shí)就是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)。
3）復(fù)數(shù)相等的充要條件：若a、b、c、d∈R，則a+bi=c+di＜＝＞a=c，b=d。
注:①兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,但兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小。
4）共軛復(fù)數(shù)：兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)。即若z=a+bi，則=a-bi，（a、b∈R）
注： ①當(dāng)b≠0時(shí)，又可說(shuō)成互為共軛虛數(shù)；②實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是其本
2、身。
5）復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面。x軸叫做實(shí)軸，y軸除去原點(diǎn)的部分叫做虛軸。
注：復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R）與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)P(a,b)及向量是一一對(duì)應(yīng)的.
6）復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件：
① z=a+bi∈Rb=0（a、b∈R）； ②z∈Rz=； ③Z∈R。
7）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件：
① z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0（a、b∈R）； ②z是純虛數(shù)或0Z+=0；
③z是純虛數(shù) z2＜0。
8)復(fù)數(shù)的摸：|z|=|a+bi|=，顯然有|z|=||。
9）幾個(gè)重要結(jié)論：
①； ②；
2．重點(diǎn)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念。
3．思維點(diǎn)撥：轉(zhuǎn)化的思想，將
3、復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題。
4．特別注意：不一定等于。
二．問(wèn)題討論
例1：設(shè)復(fù)數(shù)z=lg(m2－2m－2)+(m2+3m+2)i，試求實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，(1)z是純虛數(shù)；
(2)z是實(shí)數(shù); (3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.
解：（1）由，得；
（2）由m2+3m+2=0得m=―1，―2。
（3）由得或。
【思維點(diǎn)撥】對(duì)復(fù)數(shù)的分類(lèi)條件要注意其充要性；對(duì)復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的概念的運(yùn)用也是這樣。
例2：設(shè)z∈C,求滿(mǎn)足 且|z－2|=2的復(fù)數(shù)z。
解：∵，∴，∴，，
∴或，設(shè)，則或。
當(dāng)時(shí)，，所以，故或4。不合舍去，∴z=4。
當(dāng)時(shí)，由|Z－2|=2得，聯(lián)立解得，
綜
4、上可得：z=4或。
【思維點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件解題有時(shí)會(huì)顯得簡(jiǎn)單。
變式：已知z∈C，|z－2|=1且復(fù)數(shù)z－2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在直線(xiàn)y=x上，求z。
解：設(shè)z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴，
∴或。
【思維點(diǎn)撥】從整體出發(fā)利用條件，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，本題也可設(shè)z=a+bi再利用條件，但運(yùn)算復(fù)雜。
例3：求7+24i的平方根。
解：設(shè)平方根為x+yi（x，y∈R），則(x+yi)2=7+24i。即或，
故7+24i的平方根為±(4+3i)。
例4：已知z=1+i，a，b為實(shí)數(shù)，(1)若ω=z2+3－4,求|ω|; (2)若，求a，b的值。
解：（1）ω=(1+i)2+
5、3(1－i)－4=―1―i，∴。
（2）由條件，∴，∴。
【思維點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的充要條件解題。
例5：已知，對(duì)于任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：∵|z1|＞|z2|，∴，∴，對(duì)成立。
當(dāng)，即時(shí)，不等式成立；
當(dāng)時(shí)。綜上得。
【思維點(diǎn)撥】通過(guò)轉(zhuǎn)化將復(fù)數(shù)問(wèn)題變?yōu)閷?shí)數(shù)問(wèn)題是常用手段。
例6：已知i是虛數(shù)單位，數(shù)z和ω滿(mǎn)足zω+2iz－2iω+1=0，且|z|2=3。求證：|ω－4i|的值是一個(gè)常數(shù)，并求這個(gè)常數(shù)。
解：∵z(ω+2i)=2iω－1, ∴,∴。
設(shè)，∴，。
∵，∴，
即,∴。
所以|ω－4i|是一個(gè)常數(shù)。
三、課堂小結(jié)
1． 在復(fù)數(shù)的求解過(guò)程中，要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用。
2．掌握轉(zhuǎn)化的思想，將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題。
四、布置作業(yè)
能力提高
五、課后小結(jié)
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