2020年廣東省南民私立中學高三數(shù)學第一輪復習 復數(shù)的基本概念

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1、第一節(jié) 復數(shù)的基本概念 一、知識歸納 1、知識精講： 1）復數(shù)的概念：形如a+bi（a、b∈R）的數(shù)。a、b分別叫做它的實部與虛部。 2）復數(shù)的分類：復數(shù)a+bi（a、b∈R），當b=0時就是實數(shù)；當b≠0時，叫做虛數(shù)；當a=0，b≠0時，叫做純虛數(shù)。 3）復數(shù)相等的充要條件：若a、b、c、d∈R，則a+bi=c+di＜＝＞a=c，b=d。 注:①兩個實數(shù)可以比較大小,但兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較大小。 4）共軛復數(shù)：兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)。即若z=a+bi，則=a-bi，（a、b∈R） 注： ①當b≠0時，又可說成互為共軛虛數(shù)；②實數(shù)的共軛復數(shù)是其本

2、身。 5）復平面：建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面。x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫做虛軸。 注：復數(shù)z=a+bi（a、b∈R）與復平面內(nèi)的點P(a,b)及向量是一一對應的. 6）復數(shù)是實數(shù)的充要條件： ① z=a+bi∈Rb=0（a、b∈R）； ②z∈Rz=； ③Z∈R。 7）復數(shù)是純虛數(shù)的充要條件： ① z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0（a、b∈R）； ②z是純虛數(shù)或0Z+=0； ③z是純虛數(shù) z2＜0。 8)復數(shù)的摸：|z|=|a+bi|=，顯然有|z|=||。 9）幾個重要結(jié)論： ①； ②； 2．重點難點：復數(shù)的概念。 3．思維點撥：轉(zhuǎn)化的思想，將

3、復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題。 4．特別注意：不一定等于。 二．問題討論 例1：設(shè)復數(shù)z=lg(m2－2m－2)+(m2+3m+2)i，試求實數(shù)m取何值時，(1)z是純虛數(shù)； (2)z是實數(shù); (3)z對應的點位于復平面的第二象限. 解：（1）由，得； （2）由m2+3m+2=0得m=―1，―2。 （3）由得或。 【思維點撥】對復數(shù)的分類條件要注意其充要性；對復數(shù)相等、共軛復數(shù)的概念的運用也是這樣。 例2：設(shè)z∈C,求滿足 且|z－2|=2的復數(shù)z。 解：∵，∴，∴，， ∴或，設(shè)，則或。 當時，，所以，故或4。不合舍去，∴z=4。 當時，由|Z－2|=2得，聯(lián)立解得， 綜

4、上可得：z=4或。 【思維點撥】利用復數(shù)是實數(shù)的充要條件解題有時會顯得簡單。 變式：已知z∈C，|z－2|=1且復數(shù)z－2對應的點落在直線y=x上，求z。 解：設(shè)z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴， ∴或。 【思維點撥】從整體出發(fā)利用條件，可簡化運算，本題也可設(shè)z=a+bi再利用條件，但運算復雜。 例3：求7+24i的平方根。 解：設(shè)平方根為x+yi（x，y∈R），則(x+yi)2=7+24i。即或， 故7+24i的平方根為±(4+3i)。 例4：已知z=1+i，a，b為實數(shù)，(1)若ω=z2+3－4,求|ω|; (2)若，求a，b的值。 解：（1）ω=(1+i)2+

5、3(1－i)－4=―1―i，∴。 （2）由條件，∴，∴。 【思維點撥】利用復數(shù)的充要條件解題。 例5：已知，對于任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立,試求實數(shù)a的取值范圍。 解：∵|z1|＞|z2|，∴，∴，對成立。 當，即時，不等式成立； 當時。綜上得。 【思維點撥】通過轉(zhuǎn)化將復數(shù)問題變?yōu)閷崝?shù)問題是常用手段。 例6：已知i是虛數(shù)單位，數(shù)z和ω滿足zω+2iz－2iω+1=0，且|z|2=3。求證：|ω－4i|的值是一個常數(shù)，并求這個常數(shù)。 解：∵z(ω+2i)=2iω－1, ∴,∴。 設(shè)，∴，。 ∵，∴， 即,∴。 所以|ω－4i|是一個常數(shù)。 三、課堂小結(jié) 1． 在復數(shù)的求解過程中，要注意復數(shù)整體思想的把握和應用。 2．掌握轉(zhuǎn)化的思想，將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題。 四、布置作業(yè) 能力提高 五、課后小結(jié)