2020年高考數(shù)學(xué) 專家講壇 第7講 不等式及綜合應(yīng)用（含2020試題含點(diǎn)評(píng)）

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1、第七講不等式及綜合應(yīng)用真題試做1(2020高考浙江卷)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C5 D62(2020高考江蘇卷)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)考情分析不等式部分在高考中往往是一到兩個(gè)填空題，重點(diǎn)考查一元二次不等式、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題和基本不等式在求最值中的應(yīng)用，解答題一般沒(méi)有純不等式的題目，而會(huì)穿插在其他知識(shí)中進(jìn)行綜合考查一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是分析、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)與工具在近幾年的高考中，涉及二次不等式的試題占有較大的比例，試題形式活潑且多種多樣，

2、既有填空題，又有解答題，多數(shù)是與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何及實(shí)際問(wèn)題相互交叉和滲透，考查不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，以及邏輯思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合數(shù)學(xué)能力，充分體現(xiàn)了不等式的知識(shí)所具有的極強(qiáng)的輻射作用考點(diǎn)一一元二次不等式解一元二次不等式，換元法和圖解法是常用的技巧之一，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，互相轉(zhuǎn)化通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更清晰(1)已知函數(shù)f(x

3、)則不等式x(x1)f(x1)1的解集是()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1 Dx|1x1(2)若函數(shù)f(x)(a24a5)x24(a1)x3的圖象恒在x軸上方，則a的取值范圍是()A1a19 B1a19C1a19 D10對(duì)一切xR恒成立(1)解一元二次不等式通常先將不等式化為ax2bxc0或ax2bxc0)的形式，然后求出對(duì)應(yīng)方程的根(若有根的話)，再寫出不等式的解；(2)解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式，可以考慮把不等式的兩邊化成同底數(shù)的冪或同底數(shù)的對(duì)數(shù)的形式，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把它化為代數(shù)不等式，但要注意對(duì)數(shù)不等式的真數(shù)大于零這一隱含條件；(3)求解分段函數(shù)條件下的不等式，應(yīng)按每段

4、定義域?qū)?yīng)下的函數(shù)解析式分別轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；(4)求解一元二次不等式在區(qū)間上恒成立的問(wèn)題一般是把一元二次不等式看作二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的圖象判斷函數(shù)圖象在這個(gè)區(qū)間上與x軸的相對(duì)位置，列出不等式恒成立滿足的條件強(qiáng)化訓(xùn)練1解不等式：(1)1；(2)log(x22x3)log(3x1).考點(diǎn)二簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題熟悉二元一次不等式AxByC0表示平面區(qū)域的判定方法，會(huì)求與平面區(qū)域相關(guān)的整點(diǎn)、面積等問(wèn)題掌握線性規(guī)劃問(wèn)題的解題步驟，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解答設(shè)x，y滿足約束條件求z2xy的最大值和最小值(1)幾何意義法：指根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的特征找到其所代表的幾何意義，結(jié)合圖形求

5、解，它是解決中學(xué)階段線性規(guī)劃問(wèn)題的一般方法，高考范圍內(nèi)的所有線性規(guī)劃問(wèn)題都可采用這一方法常見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義有截距、向量投影(目標(biāo)函數(shù)是整式)、斜率(目標(biāo)函數(shù)是分式)、距離(目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)完全平方式之和)、點(diǎn)線距(目標(biāo)函數(shù)是二元一次因式的絕對(duì)值)等(2)變量替代法：指把目標(biāo)函數(shù)z代換到原約束條件中去，得到新的不等式組，畫出此時(shí)的平面區(qū)域，觀察左右或上下邊界即可得到目標(biāo)函數(shù)z的值域(最值)(3)解不等式法：指在目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的線性規(guī)劃問(wèn)題中，把目標(biāo)函數(shù)z代換到原約束條件中去，得到z的不等式組，直接放縮求解(4)界點(diǎn)定值法：指通過(guò)總結(jié)，若目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的線性規(guī)劃問(wèn)題，

6、對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)最值的最優(yōu)解都是可行域所對(duì)應(yīng)圖形的邊界頂點(diǎn)，這時(shí)要求目標(biāo)函數(shù)的值域，只要把可行域的幾個(gè)頂點(diǎn)代入，找到目標(biāo)函數(shù)幾個(gè)取值中最大的和最小的，即目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值強(qiáng)化訓(xùn)練2設(shè)定點(diǎn)A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件則|cosAOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為_(kāi)考點(diǎn)三基本不等式及其應(yīng)用利用基本不等式及變形求最值，掌握基本不等式及變形求函數(shù)的最大值和最小值；能靈活應(yīng)用基本不等式解答函數(shù)和數(shù)列等綜合問(wèn)題(2020高考陜西卷)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(ab)，其全程的平均時(shí)速為v，則()Aav BvC.v2，而Mx|x1，MNx|x2，U(MN)x|x2【答案】x|x

7、2本題主要考查分式不等式的解法及集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，不等式的解法及集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是高考?？純?nèi)容，要認(rèn)真掌握，并確保得分二、不等式與邏輯條件的交匯(2020云南師大附中月考改編)已知條件p：x23x40；條件q：x26x9m20；若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是_【解析】對(duì)于p：1x4，對(duì)于q討論如下，當(dāng)m0時(shí)，q：3mx3m；當(dāng)m0時(shí)，f(x)0，且不等式f(cos 23)f(4m2mcos )0對(duì)所有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解】令x1x20，則f(0)f(00)f(0)f(0)，所以f(0)0.由題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)xR，f(0)f(xx)f(x)f(x)0，即f(x)

8、f(x)，故f(x)是奇函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x10，所以f(x2x1)f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，則f(x)是增函數(shù)由題意，得f(cos 23)f(4m2mcos )f(2mcos 4m)又f(x)是增函數(shù)，則原不等式等價(jià)于cos 232mcos 4m對(duì)所有恒成立，分離參數(shù)，得m(2cos )4，由于的最大值是42.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(42，)利用函數(shù)性質(zhì)法求解恒成立問(wèn)題，主要的解題步驟是研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)，找到參數(shù)滿足的不等式四、不等式與數(shù)列的交匯已知數(shù)列an中，a13，an12an1(n1)(1)設(shè)bnan1(n1，2，3)，求證

9、：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)設(shè)cn，求證：數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.【證明】(1)由an12an1，得an112(an1)，an1是以a112為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知an122n12n，an2n1，cn，Sn()()()0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))，3x4y的最小值為5.2【解析】由題意知f(x)x2axbb.f(x)的值域?yàn)?，)，b0，即b.f(x).又f(x)c，c，即x.，得26，c9.【答案】9_典例展示解密高考_【例1】【解析】(1)當(dāng)x10，即x1時(shí)，f(x1)(x1)1x.原不等式可化為x(x1)(x)1.由

10、得x21，xR，此時(shí)不等式的解集為x|x1當(dāng)x10，即x1時(shí)，f(x1)x11x，原不等式可化為x(x1)x1.解得1x1，此時(shí)不等式的解集為x|1x1綜上可知，原不等式的解集為x|x0對(duì)一切xR恒成立當(dāng)a24a50時(shí)，有a5或a1.若a5，不等式可化為24x30，不滿足題意；若a1，不等式可化為30，滿足題意當(dāng)a24a50時(shí)，應(yīng)有解得1a19.綜上，可得a的取值范圍是1a4.故原不等式的解集為x|x1，或x4(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為不等式的解集為【例2】【解】法一：(截距法)先作出可行域，如圖(1)中的ABC及其內(nèi)部(陰影部分)，且求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)，作出直線L0：2x

11、y0，再將直線L0平移當(dāng)L0的平行線過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可使z2xy達(dá)到最小值；當(dāng)L0的平行線過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可使z2xy達(dá)到最大值所以zmin，zmax8.圖(1)法二：(變量替代法)將y2xz代入原約束條件，可得把z看作縱軸，畫出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖(2)所示(陰影部分)，可知最高點(diǎn)P(5，8)，最低點(diǎn)Q(1，)，所以zmin，zmax8.圖(2)法三：(解不等式法)由解法二，可知可變?yōu)樗越獾脄8.故z的最大值為8，z的最小值為.法四：(界點(diǎn)定值法)先作出可行域，如圖(1)中的ABC及其內(nèi)部(陰影部分)，可求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)把ABC的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)中求出z值分別為8，1，比較大小，可知z的最大值為8，z的最小值為.強(qiáng)化訓(xùn)練2【解析】|cosAOPx.作出動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示，由圖形，可知當(dāng)點(diǎn)P是直線xy6與y2的交點(diǎn)時(shí)，x取最大值聯(lián)立方程得P(4，2)所以x的最大值為4，即|cosAOP的最大值為4.【答案】4【例3】【解析】設(shè)甲乙兩地相距s，則小王用時(shí)為，v，0ab，a.，av0，y0，z0)，1.當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)zx23xy4y24y26y24y22y2，(1)21，當(dāng)y1時(shí)，的最大值為1.