福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復習 數(shù)列的綜合應用教案 文

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1、福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復習 數(shù)列的綜合應用教案 文1.數(shù)列常與不等式結合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等，需熟練應用不等式知識解決數(shù)列中的相關問題.2.數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率、銀行信貸、分期付款、合理定價等.3.解答數(shù)列應用題的基本步驟(1)審題仔細閱讀材料，認真理解題意.(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的結構和特征.(3)求解求出該問題的數(shù)學解.(4)還原將所求結果還原到原實際問題中.4.數(shù)列應用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(

2、或減少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.(3)分期付款模型：設貸款總額為a，年利率為r，等額還款數(shù)為b，分n期還完，則ba.難點正本疑點清源1.用函數(shù)的觀點理解等差數(shù)列、等比數(shù)列(1)對于等差數(shù)列，由ana1(n1)ddn(a1d)，當d0時，an是關于n的一次函數(shù)，對應的點(n，an)是位于直線上的若干個離散的點.當d0時，函數(shù)是增函數(shù)，對應的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d0時，函數(shù)是常函數(shù)，對應的數(shù)列是常數(shù)列；d0，q1或a10,0q0,0q1或a11時，等比數(shù)列an是遞減數(shù)列.當q1時，是一個常數(shù)列.當q1，公比

3、q0，設bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求bn的前n項和Sn及an的通項an；(3)試比較an與Sn的大小.探究提高在解決等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合題時，恰當?shù)剡\用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質可以減少運算量，提高解題速度和準確度，如本例中就合理地應用了等差中項. 已知數(shù)列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1 (n2，q0).(1)設bnan1an (nN*)，證明：bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的nN*，an是an3與an6的等差中項.題型二數(shù)列與函數(shù)的綜

4、合應用例2已知函數(shù)f(x)log2xlogx2(0x1)，數(shù)列an滿足f(2an)2n (nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)判斷數(shù)列an的單調性.探究提高本題融數(shù)列、方程、函數(shù)單調性等知識為一體，結構巧妙、形式新穎，著重考查學生的邏輯分析能力. 已知定義域為R的二次函數(shù)f(x)的最小值為0，且有f(1x)f(1x)，直線g(x)4(x1)的圖象被f(x)的圖象截得的弦長為4，數(shù)列an滿足a12，(an1an)g(an)f(an)0 (nN*).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)設bn3f(an)g(an1)，求數(shù)列bn的最值及相應的n.題型三數(shù)列與不等式

5、的綜合應用例3已知數(shù)列an，bn滿足a1，anbn1，bn1.(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求數(shù)列bn的通項公式；(3)設Sna1a2a2a3anan1，求實數(shù)a為何值時，4aSnbn.探究提高由anbn1得到an的表達式，然后利用裂項相消法求得Sn，將4aSnbn轉化為(a1)n2(3a6)n81及a1三種情況進行分類討論，從而求得使不等式成立的a的取值范圍. 已知函數(shù)f(x)，數(shù)列an滿足a11，an1f，nN*，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn；(3)令bn (n2)，b13，Snb1b2bn，若Sn對一切nN*成立，

6、求最小正整數(shù)m.題型四數(shù)列的實際應用例4某市2020年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2020年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米？(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參考數(shù)據(jù)：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)探究提高解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數(shù)學問題，通過反復讀題，列出有關信息，轉化為數(shù)列的有關問

7、題，這恰好是數(shù)學實際應用的具體體現(xiàn). 從社會效益和經濟效益出發(fā)，某旅游縣區(qū)計劃投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，2020年投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)有促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設n年內(2020年為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式；(2)至少經過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0)15.用構造新數(shù)列的思想解題試題：(12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2SnSn1 (n2).(1

8、)求數(shù)列an的通項公式an；(2)求證：SSS.審題視角(1)從求證內容來看，首先要求出Sn.(2)從Sn與Sn1的遞推關系看，可考慮構造新數(shù)列.(3)可考慮用放縮法證明.規(guī)范解答(1)解an2SnSn1 (n2)，SnSn12SnSn1.兩邊同除以SnSn1，得2 (n2)，2分數(shù)列是以2為首項，以d2為公差的等差數(shù)列，3分(n1)d22(n1)2n，Sn.5分將Sn代入an2SnSn1，得an6分(2)證明S (n2)，S，當n2時，SSS；10分當n1時，S.綜上，SSS.12分批閱筆記(1)在數(shù)列的解題過程中，常常要構造新數(shù)列，使新數(shù)列成為等差或等比數(shù)列.構造新數(shù)列可以使題目變得簡單，

9、而構造新數(shù)列要抓住題目信息，不能亂變形.(2)本題首先要構造新數(shù)列，其次應用放縮法，并且發(fā)現(xiàn)只有應用放縮法才能用裂項相消法求和，從而把問題解決.事實上：0，Sn是數(shù)列an前n項的和，若Sn取得最大值，則n_.三、解答題7.已知單調遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n150成立的最小正整數(shù)n的值.8.某人有人民幣1萬元，若存入銀行，年利率為6%；若購買某種股票，年分紅利為24%，每年儲蓄的利息和買股票所分的紅利都存入銀行.(1)問買股票多少年后，所得紅利才能和原來的投資款相

10、等？(2)經過多少年，買股票所得的紅利與儲蓄所擁有的人民幣相等？(精確到整年)(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1.060.025 3)B組專項能力提升題組一、選擇題1.an是等差數(shù)列，a28，S10185，從an中依次取出第3項，第9項，第27項，第3n項，按原來的順序排成一個新數(shù)列bn，則bn等于 ()A.3n12 B.3n12C.3n2 D.3n22.已知數(shù)列an的通項公式為anlog2 (nN*)，設其前n項和為Sn，則使Sn5成立的自然數(shù)n ()A.有最小值63 B.有最大值63C.有最小值31 D.有最大值313.已知數(shù)列an滿足3an1an4 (n

11、N*)且a19，其前n項和為Sn，則滿足不等式|Snn6|0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列的第二項、第三項、第四項.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn (nN*)，Snb1b2bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有Sn總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由.答案題型分類深度剖析例1(1)證明bnlog2an，bn1bnlog2log2q為常數(shù)，數(shù)列bn為等差數(shù)列且公差dlog2q.(2)Snan25n (nN*)(3)解顯然an25n0，當n9時，Sn0，n9時，anSn.a116，a28，a34，a42，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S

12、410，S510，S69，S77，S84，當n3,4,5,6,7,8時，anSn.變式訓練1(1)證明由題設an1(1q)anqan1 (n2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1，n2.由b1a2a11，q0，所以bn是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.(2)an(3)解由(2)，當q1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q1.由a3a6a9a3可得q5q2q2q8，由q0得q311q6，整理得(q3)2q320，解得q32或q31(舍去).于是q.另一方面，anan3(q31)，an6an(1q6).由可得anan3an6an，即2anan3an6，nN*.所以對任意的nN*，a

13、n是an3與an6的等差中項.例2解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann.0x1，02an1，an0.ann.(2)1，又anan，an是遞增數(shù)列.變式訓練2(1)f(x)(x1)2(2)ann11(3)解bn3(an1)24(an11)，令bny，un1，則y332.nN*，u的值分別為1，經比較距最近，當n3時，bn有最小值是，當n1時，bn有最大值是0.例3(1)b1，b2，b3，b4(2)bn(3)解an1bn，Sna1a2a2a3anan1.4aSnbn.由條件可知(a1)n2(3a6)n80在1，)上恒成立即可滿足條件.設f(x)(a1)x23(a2

14、)x8，則a1時，f(x)3x81時，由二次函數(shù)的性質知不可能成立；a1時，對稱軸x0.f(x)在1，)上為單調遞減函數(shù).f(1)(a1)(3a6)84a150.a，a1時，4aSnbn恒成立.綜上知，a1時，4aSn0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85.當n5時，a50.85b6，滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.到2020年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.變式訓練4(1)an4 000，bn1 600(2)解設經過n年，旅游業(yè)的總收入超過總投入，由此bnan0，即1 6004 0000，令xn，代入上式得5x27x20，解此不

15、等式，得x1(舍去)，即n50成立，即(n1)2n12n2n150，即2n26.241626，且y2x是單調遞增函數(shù)，滿足條件的n的最小值為5.8.解設該人將1萬元購買股票，x年后所得的總紅利為y萬元，則y24%24%(16%)24%(16%)224%(16%)x124%(11.061.0621.06x1)4(1.06x1).(1)由題意，得4(1.06x1)1，1.06x.兩邊取常用對數(shù)，得xlg 1.06lg lg 5lg 413lg 2.x4.(2)由題意，得4(1.06x1)(16%)x，1.06x.解得x5.答(1)買股票4年后所得的紅利才能和原來的投資款相等；(2)經過大約5年，買股票所得的紅利與儲蓄所擁有的人民幣相等.B組1.A2.A3.C4.2 0005.6.2n127.(1)an，nN*(2)Snn2n18.解(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.a11，解得d2，d0(舍).an2n1 (nN*).(2)bn，Snb1b2bn.假設存在整數(shù)t滿足Sn總成立，又Sn1Sn0，數(shù)列Sn是單調遞增的.S1為Sn的最小值，故，即t9.又tZ，適合條件的t的最大值為8.