福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復習 數(shù)列的綜合應用教案 文

福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復習 數(shù)列的綜合應用教案 文1.數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等，需熟練應用不等式知識解決數(shù)列中的相關(guān)問題.2.數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率、銀行信貸、分期付款、合理定價等.3.解答數(shù)列應用題的基本步驟(1)審題仔細閱讀材料，認真理解題意.(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.(3)求解求出該問題的數(shù)學解.(4)還原將所求結(jié)果還原到原實際問題中.4.數(shù)列應用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.(3)分期付款模型：設貸款總額為a，年利率為r，等額還款數(shù)為b，分n期還完，則ba.難點正本疑點清源1.用函數(shù)的觀點理解等差數(shù)列、等比數(shù)列(1)對于等差數(shù)列，由ana1(n1)ddn(a1d)，當d0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，對應的點(n，an)是位于直線上的若干個離散的點.當d>0時，函數(shù)是增函數(shù)，對應的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d0時，函數(shù)是常函數(shù)，對應的數(shù)列是常數(shù)列；d<0時，函數(shù)是減函數(shù)，對應的數(shù)列是遞減數(shù)列.若等差數(shù)列的前n項和為Sn，則Snpn2qn (p、qR).當p0時，an為常數(shù)列；當p0時，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題.(2)對于等比數(shù)列：ana1qn1.可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解.當a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當a1>0,0<q<1或a1<0，q>1時，等比數(shù)列an是遞減數(shù)列.當q1時，是一個常數(shù)列.當q<0時，無法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個擺動數(shù)列.2.解答數(shù)列綜合問題的注意事項(1)要重視審題、精心聯(lián)想、溝通聯(lián)系；(2)將等差、等比數(shù)列與函數(shù)、不等式、方程、應用性問題等聯(lián)系起來.題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用例1在等比數(shù)列an (nN*)中，a1>1，公比q>0，設bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求bn的前n項和Sn及an的通項an；(3)試比較an與Sn的大小.探究提高在解決等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合題時，恰當?shù)剡\用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可以減少運算量，提高解題速度和準確度，如本例中就合理地應用了等差中項. 已知數(shù)列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1 (n2，q0).(1)設bnan1an (nN*)，證明：bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的nN*，an是an3與an6的等差中項.題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應用例2已知函數(shù)f(x)log2xlogx2(0<x<1)，數(shù)列an滿足f(2an)2n (nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)判斷數(shù)列an的單調(diào)性.探究提高本題融數(shù)列、方程、函數(shù)單調(diào)性等知識為一體，結(jié)構(gòu)巧妙、形式新穎，著重考查學生的邏輯分析能力. 已知定義域為R的二次函數(shù)f(x)的最小值為0，且有f(1x)f(1x)，直線g(x)4(x1)的圖象被f(x)的圖象截得的弦長為4，數(shù)列an滿足a12，(an1an)g(an)f(an)0 (nN*).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)設bn3f(an)g(an1)，求數(shù)列bn的最值及相應的n.題型三數(shù)列與不等式的綜合應用例3已知數(shù)列an，bn滿足a1，anbn1，bn1.(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求數(shù)列bn的通項公式；(3)設Sna1a2a2a3anan1，求實數(shù)a為何值時，4aSn<bn.探究提高由anbn1得到an的表達式，然后利用裂項相消法求得Sn，將4aSn<bn轉(zhuǎn)化為(a1)n2(3a6)n8<0對任意nN*恒成立.利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行分析，設f(x)(a1)x23(a2)x8，對x2的系數(shù)分a1，a>1及a<1三種情況進行分類討論，從而求得使不等式成立的a的取值范圍. 已知函數(shù)f(x)，數(shù)列an滿足a11，an1f，nN*，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn；(3)令bn (n2)，b13，Snb1b2bn，若Sn<對一切nN*成立，求最小正整數(shù)m.題型四數(shù)列的實際應用例4某市2020年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2020年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米？(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參考數(shù)據(jù)：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)探究提高解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過反復讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題，這恰好是數(shù)學實際應用的具體體現(xiàn). 從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某旅游縣區(qū)計劃投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，2020年投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)有促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設n年內(nèi)(2020年為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0)15.用構(gòu)造新數(shù)列的思想解題試題：(12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2Sn·Sn1 (n2).(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)求證：SSS.審題視角(1)從求證內(nèi)容來看，首先要求出Sn.(2)從Sn與Sn1的遞推關(guān)系看，可考慮構(gòu)造新數(shù)列.(3)可考慮用放縮法證明.規(guī)范解答(1)解an2Sn·Sn1 (n2)，SnSn12Sn·Sn1.兩邊同除以Sn·Sn1，得2 (n2)，2分數(shù)列是以2為首項，以d2為公差的等差數(shù)列，3分(n1)·d22(n1)2n，Sn.5分將Sn代入an2Sn·Sn1，得an6分(2)證明S< (n2)，S，當n2時，SSS<；10分當n1時，S.綜上，SSS.12分批閱筆記(1)在數(shù)列的解題過程中，常常要構(gòu)造新數(shù)列，使新數(shù)列成為等差或等比數(shù)列.構(gòu)造新數(shù)列可以使題目變得簡單，而構(gòu)造新數(shù)列要抓住題目信息，不能亂變形.(2)本題首先要構(gòu)造新數(shù)列，其次應用放縮法，并且發(fā)現(xiàn)只有應用放縮法才能用裂項相消法求和，從而把問題解決.事實上：<，也可以看成一個新構(gòu)造：bn.(3)易錯分析：構(gòu)造不出新數(shù)列，從而使思維受阻.不會作不等式的放縮.方法與技巧1.深刻理解等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導過程是解題的關(guān)鍵.兩類數(shù)列性質(zhì)既有相似之處，又有區(qū)別，要在應用中加強記憶.同時，用好性質(zhì)也會降低解題的運算量，從而減少差錯.2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解，在解方程組時，仔細體會兩種情形中解方程組的方法的不同之處.3.數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度.解決此類題目，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價轉(zhuǎn)換”等.4.在現(xiàn)實生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會在實際問題中抽象出數(shù)學模型，并用它解決實際問題.失誤與防范1.等比數(shù)列的前n項和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習.2.數(shù)列的應用還包括實際問題，要學會建模，對應哪一類數(shù)列，進而求解.專題四數(shù)列的綜合應用(時間：60分鐘)A組專項基礎訓練題組一、選擇題1.(2020·安徽)若數(shù)列an的通項公式是an(1)n·(3n2)，則a1a2a10等于()A.15 B.12 C.12 D.152.(2020·福建)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a111，a4a66，則當Sn取最小值時，n等于 ()A.6 B.7 C.8 D.93.設函數(shù)f(x)xmax的導函數(shù)f(x)2x1，則數(shù)列 (nN*)的前n項和是()A. B.C. D.二、填空題4.(2020·江蘇)設1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_.5.已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2，則該數(shù)列前26項的和為_.6.在等差數(shù)列an中，滿足3a47a7，且a1>0，Sn是數(shù)列an前n項的和，若Sn取得最大值，則n_.三、解答題7.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn·2n1>50成立的最小正整數(shù)n的值.8.某人有人民幣1萬元，若存入銀行，年利率為6%；若購買某種股票，年分紅利為24%，每年儲蓄的利息和買股票所分的紅利都存入銀行.(1)問買股票多少年后，所得紅利才能和原來的投資款相等？(2)經(jīng)過多少年，買股票所得的紅利與儲蓄所擁有的人民幣相等？(精確到整年)(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1.060.025 3)B組專項能力提升題組一、選擇題1.an是等差數(shù)列，a28，S10185，從an中依次取出第3項，第9項，第27項，第3n項，按原來的順序排成一個新數(shù)列bn，則bn等于 ()A.3n12 B.3n12C.3n2 D.3n22.已知數(shù)列an的通項公式為anlog2 (nN*)，設其前n項和為Sn，則使Sn<5成立的自然數(shù)n ()A.有最小值63 B.有最大值63C.有最小值31 D.有最大值313.已知數(shù)列an滿足3an1an4 (nN*)且a19，其前n項和為Sn，則滿足不等式|Snn6|<的最小正整數(shù)n是 ()A.5 B.6 C.7 D.8二、填空題4.(2020·陜西)植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為_米.5.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：12345678910按照以上排列的規(guī)律，第n行(n3)從左向右的第3個數(shù)為_.6.對正整數(shù)n，若曲線yxn (1x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數(shù)列的前n項和為_.三、解答題7.已知數(shù)列an滿足a12，an1an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bnnan·2n，求數(shù)列bn的前n項和Sn.8.已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d>0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列的第二項、第三項、第四項.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn (nN*)，Snb1b2bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有Sn>總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由.答案題型分類·深度剖析例1(1)證明bnlog2an，bn1bnlog2log2q為常數(shù)，數(shù)列bn為等差數(shù)列且公差dlog2q.(2)Snan25n (nN*)(3)解顯然an25n>0，當n9時，Sn0，n9時，an>Sn.a116，a28，a34，a42，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S410，S510，S69，S77，S84，當n3,4,5,6,7,8時，an<Sn；當n1,2或n9時，an>Sn.變式訓練1(1)證明由題設an1(1q)anqan1 (n2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1，n2.由b1a2a11，q0，所以bn是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.(2)an(3)解由(2)，當q1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q1.由a3a6a9a3可得q5q2q2q8，由q0得q311q6，整理得(q3)2q320，解得q32或q31(舍去).于是q.另一方面，anan3(q31)，an6an(1q6).由可得anan3an6an，即2anan3an6，nN*.所以對任意的nN*，an是an3與an6的等差中項.例2解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann±.0<x<1，0<2an<1，an<0.ann.(2)<1，又an<0，an1>an，an是遞增數(shù)列.變式訓練2(1)f(x)(x1)2(2)ann11(3)解bn3(an1)24(an11)，令bny，un1，則y332.nN*，u的值分別為1，經(jīng)比較距最近，當n3時，bn有最小值是，當n1時，bn有最大值是0.例3(1)b1，b2，b3，b4(2)bn(3)解an1bn，Sna1a2a2a3anan1.4aSnbn.由條件可知(a1)n2(3a6)n8<0在1，)上恒成立即可滿足條件.設f(x)(a1)x23(a2)x8，則a1時，f(x)3x8<0，恒成立；a>1時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立；a<1時，對稱軸x·<0.f(x)在1，)上為單調(diào)遞減函數(shù).f(1)(a1)(3a6)84a15<0.a<，a<1時，4aSn<bn恒成立.綜上知，a1時，4aSn<bn恒成立.變式訓練3(1)ann(2)(2n23n)(3)2 012例4解(1)設中低價房面積形成數(shù)列an，由題意可知an是等差數(shù)列，其中a1250，d50，則Sn250n×5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整數(shù)，n10.到2020年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米.(2)設新建住房面積形成數(shù)列bn，由題意可知bn是等比數(shù)列，其中b1400，q1.08，則bn400×(1.08)n1.由題意可知an>0.85bn，有250(n1)×50>400×(1.08)n1×0.85.當n5時，a5<0.85b5，當n6時，a6>0.85b6，滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.到2020年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.變式訓練4(1)an4 000×，bn1 600×(2)解設經(jīng)過n年，旅游業(yè)的總收入超過總投入，由此bnan>0，即1 600×4 000×>0，令xn，代入上式得5x27x2>0，解此不等式，得x<，或x>1(舍去)，即n<，由此得n5.答至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.課時規(guī)范訓練A組1.A2.A3.A4.5.106.97.解(1)設此等比數(shù)列為a1，a1q，a1q2，a1q3，其中a10，q0.由題意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22).×7得6a1q315a1q26a1q0，即2q25q20，解得q2或q.等比數(shù)列an單調(diào)遞增，a12，q2，an2n.(2)由(1)得bnn·2n，Snb1b2bn(1×22×22n·2n).設Tn1×22×22n·2n，則2Tn1×222×23n·2n1.由，得Tn1×21×221·2nn·2n12n12n·2n1(1n)·2n12，Tn(n1)·2n12.Sn(n1)·2n12.要使Snn·2n1>50成立，即(n1)·2n12n·2n1>50，即2n>26.2416<26,2532>26，且y2x是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件的n的最小值為5.8.解設該人將1萬元購買股票，x年后所得的總紅利為y萬元，則y24%24%(16%)24%(16%)224%(16%)x124%(11.061.0621.06x1)4(1.06x1).(1)由題意，得4(1.06x1)1，1.06x.兩邊取常用對數(shù)，得xlg 1.06lg lg 5lg 413lg 2.x4.(2)由題意，得4(1.06x1)(16%)x，1.06x.解得x5.答(1)買股票4年后所得的紅利才能和原來的投資款相等；(2)經(jīng)過大約5年，買股票所得的紅利與儲蓄所擁有的人民幣相等.B組1.A2.A3.C4.2 0005.6.2n127.(1)an，nN*(2)Snn·2n18.解(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.a11，解得d2，d0(舍).an2n1 (nN*).(2)bn，Snb1b2bn.假設存在整數(shù)t滿足Sn>總成立，又Sn1Sn>0，數(shù)列Sn是單調(diào)遞增的.S1為Sn的最小值，故<，即t<9.又tZ，適合條件的t的最大值為8.