2020高考數(shù)學熱點集錦 排列組合和概率

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1、排列組合和概率 【兩年真題重溫】 【2020新課標全國】有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為( )． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意可知播種了1000粒，沒有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項分布，即,而，則.應選B. 【2020年高考課標全國文】設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機模擬方法近似計算由曲線y＝f(x)及直線x＝0，x＝1，y＝0所圍

2、成部分的面積S.先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數(shù)x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個點(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點數(shù)N1，那么由隨機模擬方法可得S的近似值為________． 【答案】 【解析】由0≤f(x)≤1可知曲線y＝f(x)與直線x＝0，x＝1，y＝0圍成了一個曲邊梯形．又產(chǎn)生的隨機數(shù)對在如圖所示的正方形內(nèi)，正方形的面積為1，共有N對數(shù)，即有N個點，且滿足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的有N1個點，即在函數(shù)f(x)圖象上及下方有N1個點，所以由幾何概型的概率公式得：曲線y

3、＝f(x)與x＝0，x＝1，y＝0圍成的面積為×1＝ 命題意圖：本題主要考查二項分布的期望以及隨機變量的性質(zhì)，考查解決應用問題的能力. 【命題意圖猜想】 1. 2020年高考題主要考查等可能事件的概率、相互獨立事件的概率、互斥事件的概率．基礎題目，難度較低，分清事件是什么事件是解題的關(guān)鍵；2020年理科高考題考查二項分布，也是基礎題，清晰二項分布的分辨能力和公式是解題的關(guān)鍵.；2020年文科高考題同教材P140的例4相類似，試題從表面來看難度較大，考生感到無從下手，其實很簡單，面積比就等于點數(shù)比．通過這兩年的試題分析我們可以看出：本熱點的排列組合和概率問題往往結(jié)合在一起考查，且以概率

4、問題為主，單純考查排列組合較少，試題難度不大，為中低檔題。 2.排列與組合問題一直是高考數(shù)學的熱點內(nèi)容之一．從近幾年的高考試題統(tǒng)計分析來看，對排列與組合知識的考查均以應用題的形式出現(xiàn)，題型為選擇題、填空題，題量多是一道，分值為4～5分，屬于中檔題．內(nèi)容以考查排列、組合的基礎知識為主．題目難度與課本習題難度相當，但也有個別題目難度較大，重點考查分析、解決問題的能力及分類討論的數(shù)學思想方法．預測2020年高考，排列、組合及排列與組合的綜合應用仍是高考的重點，同時應注意排列、組合與概率、分布列等知識的結(jié)合，重點考查學生的運算能力與邏輯推理能力． 3.猜想：在2020年的高考題很可能考查單純排列組

5、合問題，而概率問題放在解答題中涉及，試題難度不大，理科難度稍微比文科難度要大一些，命題方向為以分類思想為主。 【最新考綱解讀】 【回歸課本整合】 1.排列數(shù)中、組合數(shù)中. (1)排列數(shù)公式 ；。 (2)組合數(shù)公式 ；規(guī)定，. (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：①；②；③；④；⑤；⑥. 2.解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無序組合．

6、3.解排列組合問題的方法有： （1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。 （2）間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉） （3）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。 9、獨立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨立，互不影響）P(A?B)＝P(A) ? P(B) .提醒：（1）如果事件A、B獨立，那么事件A與、與及事件與也都是獨立事件；（2）如果事件A、

7、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互獨立，那么事件A、B至少有一個發(fā)生的概率是1－P（）＝1－P()P(). 10、獨立事件重復試驗：事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了次的概率(是二項展開式的第k+1項)，其中為在一次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的概率. 提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì).在求解過程中常應用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理，把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同

8、時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：①先設事件A=“…”， B=“…”；②列式計算；③作答. 11.古典概型： 滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型： (1)有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的不同的基本事件只有有限個； (2)等可能性：每個基本事件的發(fā)生都是等可能的． 古典概型中事件的概率計算如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，隨機事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝. 12．幾何概型

9、 區(qū)域A為區(qū)域Ω的一個子區(qū)域，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件的區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型．幾何概型的概率P(A)＝，其中μA表示構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)．μΩ表示試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的長度(面積或體積)． 13、解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”： ① 求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì) 即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種. 第二步，判斷事件的運算 即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件. 第三步，運用公式求解 第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復.

10、 3.解排列、組合的綜合應用問題，要按照“先選后排”的原則進行，即一般是先將符合要求的元素取出(組合)，再對取出的元素進行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、圖形分析法．要根據(jù)實際問題探索分類、分步的技巧，做到層次清楚，條理分明． 4.事件A的概率的計算方法，關(guān)鍵要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一，本試驗是否是等可能的；第二，本試驗的基本事件數(shù)有多少個；第三，事件A是什么？它包含的基本事件有多少．回答好這三個方面的問題，解題才不會出錯． 5．幾何概型的兩個特點：一是無限性，即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是等可

11、能性，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”．即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗的基本事件所占的總面積(總體積、長度)”之比來表示． 【考場經(jīng)驗分享】 1．切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行．分類時要做到不重不漏．對于復雜的計數(shù)問題，可以分類、分步綜合應用． 2．解決排列、組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列、組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關(guān)鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序”．

12、 3．要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符，使復雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解，檢驗算法的正確與否，又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果． 4.幾何概型求解時應注意： (1)對于一個具體問題能否應用幾何概型概率公式計算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當?shù)淖鴺讼?，在此基礎上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應于該坐標系中的一個點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量區(qū)域． (2)由概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應理解為對應于每個試驗結(jié)果的點落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大

13、小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關(guān)． 5.如果題設條件比較復雜，且備選答案數(shù)字較小，可考慮利用窮舉法求解；如果試題難度較大并和其它知識聯(lián)系到一起，感覺不易求解，一般不要花費過多的時間，可通過排除法模糊確定，一般可考慮去掉數(shù)字最大和最小的答案. 【新題預測演練】 1.【山東省萊蕪市2020屆高三上學期期末檢測】 如圖，在一花壇A，B，C，D四個區(qū)域種花，現(xiàn)有4種不同的花供選種， 要求在每塊里種1種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為 A.48 B.60 C.72 D.84 【答案】 D 【解

14、析】當A與C 同色時有4×3×3=36種不同的涂法， 當A與C 不同色時有4×3×2×2=48種不同的涂法，∴共有36+48=84. 2.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學質(zhì)量檢測(二)】 一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，現(xiàn)從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后再從袋中任意取出一個球，求第一次為白球第二次為黑球的概率為 A． B． C． D． 3.【保定市2020學年度第一學期高三期末調(diào)研考試】 已知點滿足，集合，在集合中任取一點，則恰好取到點的概率為 A、 B、 C、 D、1 【答案】B 【解析點所在正方形的面積為2，集合所表

15、示的圓的面積為，所以所求概率為. 4.【2020年高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預測理】 如圖所示，在一個邊長為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線和曲線圍成一個葉形圖（陰影部分），向正方形AOBC內(nèi)隨機投一點（該點落在正方形AOBC內(nèi)任何一點是等可能的），則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是 A． B. C. D. 【答案】D 【解析】 5.【湖北省孝感市2020學年度高中三年級第一次統(tǒng)一考試】 如圖所示，在AB間有四個焊接點,若焊接點脫落，則導致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A、B之間電路不通,則焊接點脫落的不同情況有（）種. A.9 B. 11 C. 13 D. 15 【

16、答案】 C 【解析】按照脫落的個數(shù)多少進行分類.若脫落1個，則有（1）（4）共2種；若脫落2個，有（1、4）（2、3）（1,2）（1,3）（4,2）（4,3）共6種；若脫落3個，有（1,2,3）（1,2,4）（2,3,4）（1,3,4）共4種；若脫落4個，有（1,2,3,4）共1種.綜上共有2+6+4+1=13種. 6.【浙江省2020年高三調(diào)研理科數(shù)學測試卷】 袋中共有8個球，其中3個紅球、2個白球、3個黑球．若從袋中任取3個球，則所取3個 球中至多有1個紅球的概率是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D

17、 【解析】 明確公式中表示為“從8個球取3個球，”的各種情形，表示“至多有1個紅球”的各種情形。解題的關(guān)鍵是將“至多有1個紅球”分為“有一個紅球”和“沒有紅球”兩類. 7.[廣東省深圳市福田區(qū)2020屆數(shù)學科(理)試題詳細解析] 在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為( ). A. B. C. D.w.w.w..c.o.m 【答案】A 【解析】:在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,即時,要使的值介于0到之間,需使或，區(qū)間長度為，由幾何概型知的值介于0到之間的概率為.故選A. w.w.w..c.o.m 8.【河北省唐山市2020

18、屆高三上學期摸底考試數(shù)學】 五名志愿者去四個不同的社區(qū)參加創(chuàng)建文明城市的公益活動，每個社區(qū)至少一人，且甲、乙不能分在同一個社區(qū)，則不同的分配方法有（ ） A. 240種B. 216種C. 120種D.72種 【答案】B 【解析】五名志愿者分成四組，每組至少一人且甲乙不在同一組共有種，再把四組安排到四個社區(qū)，共有. 9.【河北省正定中學2020學年度高三月考（數(shù)學理）】 如圖，設是圖中邊長為的正方形區(qū)域，是內(nèi)函數(shù)圖象下方的點構(gòu)成的區(qū) 域．向中隨機投一點，則該點落入中的概率為 （ ） A． B． C．

19、 D． 【答案】C 【解析】陰影=,. 10.【山西省2020屆高三第二次四校聯(lián)考】 某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正反的概率都是，構(gòu)造數(shù)列，使得 ，記．則的概率為 A. B. C. D. 12.【福州市2020屆第一學期期末高三質(zhì)檢】 在三次獨立重復試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為，由題意有，得，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為． 13.（20

20、20屆河北正定中學高三上學期第二次月考）小波通過做游戲的方式來確定周末活 動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此 點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為 【答案】A 【解析】 14.【唐山市2020學年度高三年級第一學期期末考試】 在具有5個行政區(qū)域的地圖（如圖）上，給這5個區(qū)域著色共使用了4種不同的 顏色，相鄰區(qū)域不使用同一顏色，則有 種不同的著色方法。 【答案】 48 【解析】依題意，一共使用了4種不同的顏色，因5塊區(qū)域，故必有2塊顏色相同.分成2類：若1,5塊顏色相同，則若

21、2,4顏色相同，同理也有24種，故共有48種不同的著色方法. 15.【2020年上海市普通高等學校春季招生考試】 某校要從2名男生和4名女生中選出4人擔任某游泳賽事的志愿者工作，則在選出的志愿者中，男、女生都有的概率為 .（結(jié)果有數(shù)值表示） 【答案】 【解析】根據(jù)限制條件進行分類“1男3女”“2男2女”兩類情況，然后利用公式進行求解。若“1男3女”則有“2男2女”有故 16.（2020屆山東實驗中學第一次診斷考試）已知函數(shù)若都是在區(qū)間[0,4]內(nèi)任取一個數(shù)，則的概率為_______ 17.（2020屆無錫一中高三第一學期期初試卷）從一副沒有大小王的52張撲克牌中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃8”，事件B為“抽得為黑桃”，則事件“A＋B”的概率值是_____________（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）．