高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第3節(jié) 指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第3節(jié) 指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第3節(jié) 指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、§3 指數(shù)函數(shù) 1．理解指數(shù)函數(shù)的概念． 2．掌握指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)． 3．利用指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決簡單問題． 1．指數(shù)函數(shù)的定義 函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指數(shù)函數(shù)，其中____是自變量． 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)解析式的結(jié)構(gòu)特征： ①底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)； ②指數(shù)：自變量x； ③系數(shù)：1. 指數(shù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)的三個特征是判斷函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的三個標(biāo)準(zhǔn)，缺一不可． 【做一做1】 下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是( )． A．y＝(－3)x B

2、．y＝－3x C．y＝32x D．y＝2x＋1 2．指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 結(jié)合函數(shù)y＝2x和y＝x的圖像和性質(zhì)，得出指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如下表所示： a＞1 0＜a＜1 圖像 性質(zhì) (1)定義域：___________ (1)定義域：___________ (2)值域：________________ (2)值域：___________ (3)過定點________________， 即x＝0時，y＝1 (3)過定點___________， 即x＝0時，y＝1 (4)當(dāng)x＞0時

3、，y＞1； 當(dāng)x＜0時，0＜y＜1 (4)當(dāng)x＞0時，0＜y＜1； 當(dāng)x＜0時，y＞1 (5)是R上的______ (5)是R上的______ 【做一做2－1】 函數(shù)y＝15x的大致圖像是( )． 【做一做2－2】 函數(shù)y＝x的定義域和值域分別是( )． A．R，R B．(0，＋∞)，(0，＋∞) C．(0，＋∞)，R D．R，(0，＋∞) 3．指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 指數(shù)函數(shù)反映了實數(shù)與正實數(shù)之間的一種__________關(guān)系． 指數(shù)冪ax和1

4、的比較： 當(dāng)x＜0,0＜a＜1或x＞0，a＞1時，ax＞1，即指數(shù)x和0比較，底數(shù)a和1比較，當(dāng)不等號的方向相同時，ax大于1，簡稱為“同大”． 當(dāng)x＜0，a＞1或x＞0,0＜a＜1時，0＜ax＜1，即指數(shù)x和0比較，底數(shù)a和1比較，當(dāng)不等號的方向相反(異)時，ax小于1，簡稱為“異小”． 因此簡稱為“同大異小”． 【做一做3】 比較下列各題中兩個值的大?。? (1)1.82.2__________1.83； (2)0.7－0.3__________0.7－0.4； (3)1.90.4__________0.92.4. 答案：1．x 【做一做1】 C　∵32

5、x＝9x，∴y＝32x＝9x是指數(shù)函數(shù)． 2．(1)R　(1)R　(2)(0，＋∞)　(2)(0，＋∞)　(3)(0,1) (3)(0,1)　(5)增函數(shù)　(5)減函數(shù) 【做一做2－1】 B 【做一做2－2】 D 3．一一對應(yīng) 【做一做3】 (1)＜　(2)＜　(3)＞ 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)中底數(shù)a對函數(shù)圖像有什么影響？ 剖析：設(shè)a＞b＞1＞c＞d＞0，則y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖像如圖所示，從圖中可以看出：在y軸右側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大．

6、 或者說在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的圖像，底數(shù)大的在上邊，也可以說底數(shù)越大越靠近y軸． 題型一 指數(shù)函數(shù)的定義 【例1】 指出下列函數(shù)中哪些是指數(shù)函數(shù)． ①y＝6x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝2·8x；⑥y＝ex；⑦y＝4x2；⑧y＝(2a－1)x. 分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進行判斷． 題型二 求函數(shù)的定義域和值域 【例2】 求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝. 分析：函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，分式問題要使分母不為0，根式問題要使被開方數(shù)有意義，結(jié)合換元法，聯(lián)想函數(shù)的圖像，根據(jù)單調(diào)性等確定值域．

7、 反思：求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域和值域時，要充分考慮指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．對于解析式中某些較復(fù)雜的式子，往往采用換元法求解，這樣可以使問題變得簡潔，避免出錯． 題型三 比較大小 【例3】 比較下列各題中兩個值的大?。? (1)1.72.5,1.73； (2)2.3－0.28,0.67－3.1. 分析：(1)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大?。?2)利用中間量1比較大?。? 反思：比較指數(shù)式大小的方法： (1)單調(diào)性法：比較同底數(shù)冪的大小，可構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．要注意：明確所給的兩個值是哪個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值；明確指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1

8、的大小關(guān)系；最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來判斷． (2)中間量法：比較不同底且不同指數(shù)冪的大小，常借助于中間值1進行比較．利用口訣“同大異小”，判斷指數(shù)冪和1的大?。? 題型四 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用 【例4】 設(shè)a為實數(shù)，f(x)＝a－(x∈R)． (1)證明f(x)在R上為增函數(shù)； (2)試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)． 分析：對于(1)可結(jié)合單調(diào)性的定義及y＝2x為增函數(shù)加以證明．(2)中要使f(x)是奇函數(shù)，則須滿足f(－x)＝－f(x)． 反思：本題主要考查了單調(diào)性和奇偶性的概念及使用方法．在本題(2)中，由于f(x)為奇函數(shù)且在x＝0處有定義，故也可利用f(0)＝0來

9、確定a的值． 題型五 與指數(shù)函數(shù)圖像有關(guān)的問題 【例5】 (1)將函數(shù)y＝3x的圖像向左平移一個單位即可得到函數(shù)________的圖像，將y＝3x的圖像向下平移一個單位即可得到函數(shù)________的圖像； (2)函數(shù)y＝3x的圖像與y＝3－x的圖像關(guān)于________對稱； (3)函數(shù)y＝3x的圖像與y＝－3x的圖像關(guān)于________對稱； (4)函數(shù)y＝3x的圖像與函數(shù)y＝－3－x的圖像關(guān)于________對稱． 反思：1.平移規(guī)律 分左、右平移和上、下平移兩種，遵循“左加右減，上加下減”． 若已知y＝ax的圖像，把y＝ax的圖像向左平移b(b＞0)個單位，則得到y(tǒng)＝ax＋

10、b的圖像；把y＝ax的圖像向右平移b(b＞0)個單位，則得到y(tǒng)＝ax－b的圖像；把y＝ax的圖像向上平移b(b＞0)個單位，則得到y(tǒng)＝ax＋b的圖像，向下平移b(b＞0)個單位，則得到y(tǒng)＝ax－b的圖像． 2．對稱規(guī)律 函數(shù)y＝ax的圖像與y＝a－x的圖像關(guān)于y軸對稱；y＝ax的圖像與y＝－ax的圖像關(guān)于x軸對稱，函數(shù)y＝ax的圖像與y＝－a－x的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱． 題型六 易錯辨析 易錯點 利用換元法時，忽略新元的范圍導(dǎo)致出錯． 【例6】 求函數(shù)y＝x＋x＋1的值域． 錯解：令t＝x，則原函數(shù)可化為y＝t2＋t＋1＝2＋≥，即當(dāng)t＝－時，ymin＝，即原函數(shù)的值域是. 錯因

11、分析：錯解在令t＝x后，沒有注意新元t的范圍．∵x＞0，∴t＞0.忽略新元的范圍導(dǎo)致所求范圍擴大． 答案：【例1】 解：①⑥⑧為指數(shù)函數(shù)；②不是指數(shù)函數(shù)，自變量不在指數(shù)上；③4x的系數(shù)是－1；④中底數(shù)－4＜0，所以不是指數(shù)函數(shù)；⑤8x的系數(shù)是2；⑦中指數(shù)不是自變量x，而是x的函數(shù)x2，故②③④⑤⑦都不是指數(shù)函數(shù)． 【例2】 解：(1)要使函數(shù)有意義，必須x－4≠0， ∴x≠4， 故所求函數(shù)的定義域為{x∈R|x≠4}． ∵x≠4，≠0，∴≠1， 故函數(shù)的值域為{y|y＞0且y≠1}． (2)定義域為R. ∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， ∴≥1＝， 故函數(shù)

12、y＝的值域為{y|y≥}． (3)要使函數(shù)有意義，必須且只需3x－2≥0，即x≥， ∴函數(shù)的定義域為. 設(shè)t＝，則t≥0，y＝5t， ∴y≥50＝1，故所求函數(shù)的值域為[1，＋∞)． 【例3】 解：(1)(單調(diào)性法)由于1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7， 故構(gòu)造函數(shù)y＝1.7x， 則函數(shù)y＝1.7x在R上是增函數(shù)． 又2.5＜3，所以1.72.5＜1.73. (2)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知 2．3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1， 所以2.3－0.28＜0.67－3.1. 【例4】 解：(1)證明：設(shè)x1，x2∈R，x1＜x2，則

13、 f(x1)－f(x2)＝－＝. 由于指數(shù)函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)，且x1＜x2， 所以2x1＜2 x2，即2 x1－2 x2＜0. 又由2x＞0，得2 x1＋1＞0,2 x2＋1＞0. 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 故f(x)在R上為增函數(shù)． (2)若f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)， 即a－＝－. 變形得2a＝＋＝＋＝＝2. 解得a＝1.所以當(dāng)a＝1時，f(x)為奇函數(shù)． 【例5】 (1)y＝3x＋1　y＝3x－1　(2)y軸　(3)x軸　(4)原點 (1)根據(jù)函數(shù)圖像平移的規(guī)律來解決． (2)∵函數(shù)y＝3x中用－x代x，y

14、不變，即得y＝3－x， ∴關(guān)于y軸對稱； (3)∵函數(shù)y＝3x中用－y代y，x不變，即得y＝－3x， ∴關(guān)于x軸對稱． (4)∵函數(shù)y＝3x中用－x代x，用－y代y，即得y＝－3－x，∴關(guān)于原點對稱． 【例6】 正解：令t＝x，則t∈(0，＋∞)，原函數(shù)可化為y＝t2＋t＋1＝2＋. 因為函數(shù)y＝2＋在(0，＋∞)上是增加的，所以y＞1，即原函數(shù)的值域是(1，＋∞)． 1 函數(shù)f(x)＝ax在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )． A．0＜a＜1 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)＞1 D．R 2 函數(shù)y＝0.22x的

15、大致圖像是( )． 3 函數(shù)y＝的值域是( )． A．(－∞，0) B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 4 函數(shù)f(x)＝a3－x＋1(a＞0，a≠1)的圖像恒過定點的坐標(biāo)是__________． 5 比較下列各題中兩個值的大?。? (1)0.8－0.1,0.8－0.2； (2)1.70.3,0.93.1； (3)a1.3，a2.5(a＞0，a≠1)． 答案：1．C　2.B　3.B 4．(3,2)　當(dāng)x＝3時，對于a＞0且a≠1總有f(3)＝a0＋1＝2，即過定點(3,2)． 5．分析：(1)由于底數(shù)相同，利用單調(diào)性法比較大小；(2)由于底數(shù)和指數(shù)均不同，用中間量法比較大??；(3)對底數(shù)a按與1的大小關(guān)系分類討論． 解：(1)由于0＜0.8＜1，所以指數(shù)函數(shù)y＝0.8x在R上為減函數(shù)． 所以0.8－0.1＜0.8－0.2. (2)1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1. (3)當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝ax在R上是增函數(shù)，此時a1.3＜a2.5； 當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝ax在R上是減函數(shù)，此時a1.3＞a2.5. 即當(dāng)a＞1時，a1.3＜a2.5； 當(dāng)0＜a＜1時，a1.3＞a2.5.